エアランゲンプログラム
これは、エアランゲン計画の父、フェリックス・クリスチャン・クライン氏の画像です。
エアランゲン計画の父、フェリックス・クリスチャン・クライン。

数学におけるエアランゲン プログラムは、群理論と射影幾何学に基づいて幾何学を特徴付ける方法です。 1872 年にフェリックス・クラインによって『Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forshungen』として出版されました。この名前は、クラインが勤務していたエアランゲン・ニュルンベルク大学にちなんで名付けられました。

1872年までに非ユークリッド幾何学は出現しましたが、その階層構造や関係性を明らかにする方法がありませんでした。クラインの方法は、以下の3つの点で根本的に革新的でした。

  • 射影幾何学は、彼が考察した他のすべての幾何学の統一枠として強調されました。特に、ユークリッド幾何学はアフィン幾何学よりも制約が多く、アフィン幾何学は射影幾何学よりも制約が厳しいものでした。
  • クラインは、対称性の概念を抽象化するために代数的手法を使用する数学の分野である群論が幾何学の知識を体系化する最も有用な方法であると提唱しました。当時、群論はガロア理論の形ですでに方程式の理論に導入されていました。

その後、エリー・カルタンはクラインの同次モデル空間を特定の主束上のカルタン接続に一般化し、リーマン幾何学を一般化しました。

19世紀の幾何学の問題点

ユークリッド以来、幾何学は2次元 (平面幾何学) または3次元 (立体幾何学) のユークリッド空間の幾何学を意味してきた。19世紀前半には、状況を複雑にするいくつかの発展があった。数学の応用には4次元以上の幾何学が必要となり、伝統的なユークリッド幾何学の基礎を綿密に精査した結果、平行線公理が他の公理から独立していることが明らかになり、非ユークリッド幾何学が誕生した。クラインは、これらすべての新しい幾何学は、ポンスレ、メビウス、ケーリーらによって既に展開されている射影幾何学の特殊なケースに過ぎないという考えを提唱した。クラインはまた、数理物理学者に対して、射影の範囲を適度に培うだけでも大きな利益がもたらされるかもしれないと強く示唆した。

クラインはあらゆる幾何学に、基礎となる対称性群を関連付けました。したがって、幾何学の階層は、これらの群の階層と、それらの不変量の階層として数学的に表現されます。たとえば、長さ、角度、面積はユークリッド対称群に対して保存されますが、最も一般的な射影変換では、接続構造と複比のみが保存されます。アフィン幾何学で保存される平行性の概念は、射影幾何学では意味がありません。次に、幾何学から基礎となる対称性群を抽象化することで、それらの関係をグループレベルで再構築できます。アフィン幾何学の群は射影幾何学の群のサブグループであるため、射影幾何学の不変量の概念はアフィン幾何学で演繹的に意味を持ちますが、その逆は成り立ちません。必要な対称性を削除すると、理論はより強力になりますが、概念と定理は少なくなります（より深く、より一般的なものになります）。

均質空間

言い換えれば、「伝統的な空間」は同質空間ですが、一意に定まる群に対しては同質空間ではありません。群を変えると、適切な幾何学的言語も変わります。

今日の言語では、古典幾何学に関わる群はすべてリー群、すなわち古典群としてよく知られています。具体的な関係は専門用語を用いて非常に簡潔に記述されています。

例

たとえば、n実数値次元の射影幾何学の群は、 n次元実射影空間の対称群（スカラー行列で割った次数n + 1の一般線型群）です。アフィン群は、無限遠で選択された超平面を尊重する（点ごとに固定するのではなく、自分自身に写像する）部分群になります。この部分群は既知の構造（次数nの一般線型群と並進の部分群との半直積）を持ちます。この説明から、どの特性が「アフィン」であるかがわかります。ユークリッド平面幾何学の用語では、平行四辺形はアフィンです。なぜなら、アフィン変換では常に 1 つの平行四辺形が別の平行四辺形に変換されるからです。円はアフィンではありません。なぜなら、アフィンせん断によって円は楕円に変換されるからです。

アフィン幾何学とユークリッド幾何学の関係を正確に説明するには、アフィン群におけるユークリッド幾何学の群を明確にする必要があります。ユークリッド群は、実際には（前述のアフィン群の説明を用いると）、直交群（回転と鏡映）と並進群の半直積です。（詳細は クライン幾何学を参照。）

後の作品への影響

エアランゲン プログラムの長期的な影響は、純粋数学のあらゆる分野で見ることができます (たとえば、合同性 (幾何学)における暗黙の使用を参照 )。また、対称群を使用した変換と合成の考え方は、物理学の標準となっています。

同相写像の下で不変な性質を用いて位相幾何学が日常的に説明されると、その根底にある考え方が実際にどのように機能しているかが分かります。関係する群はほとんどの場合無限次元であり、リー群ではありませんが、その考え方は同じです。もちろん、これは主にクラインの教育的影響を物語っています。HSMコクセターなどの著書では、幾何学を「配置」するのにエアランゲン・プログラムのアプローチが日常的に使用されていました。教育用語では、このプログラムは変換幾何学となりましたが、ユークリッドのスタイルよりも強い直観に基づいている一方で、論理体系に変換するのが難しいという点で、一長一短です。

ジャン・ピアジェは著書『構造主義』（1970年）の中で、「ブルバキのような現代の構造主義数学者の目には、エアランゲン・プログラムは構造主義の部分的な勝利にしか過ぎない。なぜなら、彼らは幾何学だけでなく、すべての数学を構造という概念に従属させたいと考えているからだ」と述べている。

幾何学とその群において、群の元は幾何学の運動と呼ばれることがあります。例えば、双曲幾何学のポアンカレ半平面モデルは、双曲運動に基づく展開を通して理解することができます。このような展開により、超平行定理を逐次運動によって 系統的に証明することが可能になります。

エアランゲン計画からの抽象的なリターン

同型自己同型群を持つ2つ以上の異なる幾何学が存在することは非常によくあることです。そこで、エアランゲン計画を抽象群から幾何学へと読み解くという問題が生じます。

一例を挙げると、向きのある（つまり鏡映を含まない）楕円幾何学（つまり、 n球面の表面で、対点が同一視されている）と向きのある球面幾何学（同じ非ユークリッド幾何学だが、対点が同一視されていない）は、偶数 n に対して同型自己同型群 SO( n +1) を持ちます。これらは異なる幾何学のように見えるかもしれません。しかし、実際には、これらの幾何学は非常に密接に関連しており、明確に区別できるほどです。

別の例を挙げると、曲率半径の異なる楕円幾何学は同型自己同型群を持ちます。しかし、このような幾何学はすべて同型であるため、これは批判とはみなされません。一般リーマン幾何学はプログラムの範疇外です。

複素数、双対数、倍数（分割複素数とも呼ばれる）は、群SL(2 , R )とその部分群H=A、N、Kに対して、同次空間SL(2, R )/Hとして現れる。 [ 1 ]群SL(2, R )は、これらの同次空間に対して線型分数変換によって作用し、それぞれの幾何学の大部分は、エルランゲン計画から均一な方法で得ることができる。

物理学の分野でもさらに注目すべき例がいくつか出てきました。

まず、n次元双曲幾何学、n次元ド・ジッター空間、( n −1)次元反転幾何学はすべて同型自己同型群を持ち、

お（n、1）/C2、 {\displaystyle \mathrm {O} (n,1)/\mathrm {C} _{2},\ }

n ≥ 3の直交ローレンツ群。しかし、これらは明らかに異なる幾何学である。ここで物理学から興味深い結果がいくつか出てくる。3つの幾何学のそれぞれにおいて、物理モデルはいくつかのモデルに対して「双対」であることが示された。

繰り返しになりますが、n次元反ド・ジッター空間と「ローレンツ的」なシグネチャを持つ( n −1)次元共形空間（3次元以上では逆幾何学と同一の「ユークリッド的」なシグネチャを持つ共形空間とは対照的）は、同型な自己同型群を持ちますが、異なる幾何学です。繰り返しになりますが、物理学には両空間の間に「双対性」を持つモデルが存在します。詳細については AdS/CFTを参照してください。

SU(2,2)の被覆群はSO(4,2)の被覆群と同型であり、SO(4,2)は4次元共形ミンコフスキー空間と5次元反ド・ジッター空間および複素4次元ツイスター空間の対称群である。

したがって、エアランゲン計画は、物理学の双対性との関連で、依然として有望であると考えられる。

カテゴリーを導入した画期的な論文の中で、サンダース・マクレーンとサミュエル・アイレンバーグは次のように述べている。「これは、変換群を持つ幾何学的空間が写像代数を持つカテゴリーに一般化されるという意味で、クライン・アーランガー・プログラムの延長とみなすことができる。」[ 2 ]

エアランゲン計画と幾何学における群論に関するチャールズ・エアレスマンの研究との関係については、プラディネスによる以下の論文で考察されている。[ 3 ]

数理論理学においては、エアランゲン・プログラムはアルフレッド・タルスキの論理概念の分析にもインスピレーションを与えた。[ 4 ]

参考文献

ウィキブック幾何学には、グループに関するページがあります。
  1. ^ Kisil, Vladimir V. (2012).メビウス変換の幾何学. SL(2,R) の楕円作用、放物作用、双曲作用. ロンドン: インペリアル・カレッジ・プレス. p. xiv+192. doi : 10.1142/p835 . ISBN 978-1-84816-858-9。
  2. ^ S. EilenbergとS. Mac Lane、「自然同値性の一般理論」、Trans. Amer. Math. Soc.、58:231–294、1945年（p. 237）。この点は、Jean-Pierre Marquis（2009）、「幾何学的観点から：カテゴリー理論の歴史の研究」、Springer、 ISBNで詳しく説明されています。 978-1-4020-9383-8
  3. ^ Jean Pradines, In Ehresmann 's footsteps: from group geometries to groupoid geometries (English summary) Geometry and topology of manifolds, 87–157, Banach Center Publ., 76, Polish Acad. Sci., Warsaw, 2007.
  4. ^ Luca Belotti、論理的概念に関する Tarski、Synthese、404-413、2003。
リー、クライン、カルタンの研究を網羅しています。139ページでグッゲンハイマーは「クライン幾何学とは、推移的変換群の幾何学的不変量の理論である（エアランゲン・プログラム、1872年）」と述べてこの分野を要約しています。
  • トーマス・ホーキンス (1984)「フェリックス・クラインのエルランガー・プログラム：数学史におけるその位置づけについての考察」、Historia Mathematica 11:442–70。
  • 「エアランゲン・プログラム」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
  • Lizhen Ji と Athanase Papadopoulos (編集者) (2015) Sophus Lie と Felix Klein: エアランゲン プログラムと数学および物理学へのその影響、IRMA 数学および理論物理学講義 23、European Mathematical Society Publishing House、チューリッヒ。
  • Felix Klein (1872) 「Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forshungen」 (「幾何学における最近の研究の比較検討」)、Mathematische Annalen、43 (1893) pp. 63–100 (別名: Gesammelte Abh. Vol. 1、Springer、1921、pp. 460–497)。
メレン・ハスケルによる英訳がBull. NY Math. Soc 2 (1892–1893): 215–249に掲載された。
エアランゲンプログラムのオリジナルのドイツ語テキストは、ミシガン大学のオンラインコレクション[1]で閲覧できるほか、[2]でもHTML形式で閲覧できる。
ジョン・バエズが管理するエアランゲン計画に関する中心的な情報ページは[3]にあります。
( Elementarmathematik vom höheren Standpunkte ausの翻訳、Teil II: Geometrie、Springer 発行、1924 年)。エアランゲン プログラムに関するセクションがあります。
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