本質的な次元

数学において、本質次元（せいてんじんげん、英: essence dimension）とは、代数群や二次形式といった特定の代数構造に対して定義される不変量である。J . BuhlerとZ. Reichstein ^[1]によって導入され、その最も一般的な定義はA. Merkurjev ^[2]によってなされた。

基本的に、本質的次元は定義体によって代数構造の複雑さを測定します。たとえば、体 K 上の二次形式 q : V → K (ここでVはKベクトル空間)は、 VのK基底e ₁ ,..., e _nが存在し、 q を、すべての係数a ij_がLに属する形式で表現できる場合、 Kのサブフィールド L上で定義されていると言えます。Kの標数が2 と異なる場合、すべての二次形式は対角化可能です。したがって、qにはn個の元によって生成される定義体があります。技術的には、常に (固定の) 基底体k上で作業し、対象の体KとLにはkが含まれていると想定されます。q の本質的次元は、 qが定義されているKのサブフィールドLのk上の最小超越次数として定義されます。 $q\left(\sum x_{i}e_{i}\right)=\sum a_{ij}x_{i}x_{j}$

正式な定義

任意の体kを固定し、 $Fields$ / kを、包含を射とするkの有限生成体拡大のカテゴリとする。（共変）関手F : $Fields$ / k → $Set を$ 考える。体拡大K / kとF ( K / k )の元aに対して、a の定義体は中間体K / L / kであり、a はLをKに包含することによって誘導される写像F ( L / k ) → F ( K / k )の像に含まれる。

a の本質次元はed ( a ) と表記され、 aの定義体のk上の最小超越次数である。関数Fの本質次元はed( F ) と表記され、F ( K / k )のすべての元aと $Fields$ / kの対象K / kにとったed( a ) の上限値である。

例

二次形式の本質的次元:自然数 nに対して、 K 上の非退化n次元二次形式の同型類の集合への体拡大K / k をとり、二次形式 q : V → Lの_同型 $類$ を二 $次$ 形式の同型類に送る写像への射L / k → K / k ( LをKに含めることによって与えられる) をとる関数Q n : Fields / k → Setを考える。 $q_{K}:V\otimes _{L}K\to K$
代数群の本質次元： k上の代数群Gに対して H ¹ (−, G ) ： $体$ / k → K / kをK上のG -トーソルの同型類全体の集合（fppf -位相）に体拡大する関数 $を設定する$ 。この関数の本質次元は代数群 G の本質次元と呼ばれ、 ed( G )と表記される。
ファイバー化されたカテゴリーの本質的次元: がアフィンkスキームのカテゴリー上にファイバー化されたカテゴリーで、関手によって与えられるものとします。たとえば、は種数gの曲線のモジュライスタック、または代数群の分類スタックになります。それぞれのに対して、ファイバーp ⁻¹ ( A ) 内のオブジェクトの同型類がセットを形成すると仮定します。すると、ファイバー内の同型類のセットにフィールド拡張K / kを取って、関手F _p : $Fields$ / k → $Set が$ 得られます。ファイバー化されたカテゴリーの本質的次元は、対応する関手F _pの本質的次元として定義されます。代数群Gの分類スタックの場合、その値はGの以前に定義された本質的次元と一致します。 ${\mathcal {F}}$ $Aff/k$ $p:{\mathcal {F}}\to Aff/k.$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {M}}_{g}$ ${\mathcal {BG}}$ $A\in Aff/k$ $p^{-1}(Spec(K))$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}={\mathcal {BG}}$

既知の結果

線形代数群 Gの本質的次元は常に有限であり、ジェネリック自由表現の最小次元からGの次元を引いた値によって制限されます。
代数的に閉じた体k上のスピン群Gの場合、本質的な次元はOEIS : A280191に記載されています。
k上の有限代数p群の本質的次元は、基本体kに原始p乗根が含まれる場合、忠実な表現の最小次元に等しくなります。
対称群S _n ( k上の代数群として見た)の本質的次元は、 n ≤ 5 (すべての基本体kに対して)、n = 6 (特性kが 2 でないとき)、およびn = 7 (特性 0 のとき) に対して既知です。
T を素数pのべき乗次数のガロア分解体L / kを許容する代数トーラスとする。Tの本質次元は、有限個の余核を持ちpと互いに素な位数を持つGal( L / k )-格子P → X ( T )の準同型核の最小階数に等しい。ここでPは置換格子である。

参考文献

^ Buhler, J.; Reichstein, Z. (1997). 「有限群の本質的次元について」. Compositio Mathematica . 106 (2): 159– 179. doi : 10.1023/A:1000144403695 .
^ Berhuy, G.; Favi, G. (2003). 「本質的次元：関数論的視点（A. Merkurjev に倣って）」. Documenta Mathematica 8 : 279–330 (電子版).

[1] Buhler, J.; Reichstein, Z. (1997). 「有限群の本質的次元について」. Compositio Mathematica . 106 (2): 159– 179. doi : 10.1023/A:1000144403695 .

[2] Berhuy, G.; Favi, G. (2003). 「本質的次元：関数論的視点（A. Merkurjev に倣って）」. Documenta Mathematica 8 : 279–330 (電子版).