エウジェニオ・カラビ
イタリア生まれのアメリカの数学者（1923–2023）

エウジェニオ・カラビ
カラビ 1960年代頃
生まれる（1923年5月11日）1923年5月11日
ミラノ、イタリア王国
死亡2023年9月25日（2023年9月25日）（100歳）
ペンシルベニア州ブリンマー、米国
母校
知られている
受賞歴
科学者としてのキャリア
フィールド微分幾何学
機関
論文ケーラー多様体の等長複素解析的埋め込み （1950）
博士課程の指導教員サロモン・ボクナー
博士課程の学生シウ・シオン・チェン

エウジェニオ・カラビ（1923年5月11日 - 2023年9月25日）はイタリア生まれのアメリカの数学者であり、ペンシルベニア大学のトーマス・A・スコット数学教授であり、微分幾何学、偏微分方程式とその応用を専門としていた。

幼少期と教育

カラビは1923年5月11日、イタリアのミラノでユダヤ人の家庭に生まれました。[1]彼の姉はジャーナリストのトゥッリア・ツェヴィ・カラビです。1938年、一家は人種差別法のためにイタリアを離れ、1939年にアメリカ合衆国に移住しました。[2] [3]

1939年秋、わずか16歳だったカラビはマサチューセッツ工科大学に入学し、化学工学を専攻した。 1943年にアメリカ軍に徴兵され、第二次世界大戦に従軍したため、学業は中断された。 1946年に除隊後、カラビは復員兵援護法（GI Bill）に基づき学士号を取得し、パトナム・フェローとなった。[3] [4] 1947年にイリノイ大学アーバナ・シャンペーン校で数学の修士号を取得し、1950年にはプリンストン大学で数学の博士号を取得した。「ケーラー多様体の等長複素解析的埋め込み」と題された博士論文は、サロモン・ボクナーの指導の下で執筆された。[5]

学歴

1951年から1955年までルイジアナ州立大学の助教授を務め、1955年にミネソタ大学に移り、1960年に教授となった。1964年、カラビはペンシルベニア大学の数学教授に就任した。ハンス・ラーデマッハーの退職に伴い、 1968年にペンシルベニア大学のトーマス・A・スコット数学教授に任命された。 1994年に名誉教授となり、2014年には同大学から名誉理学博士号を授与された。[6] [7] [8]

1982年、カラビは米国科学アカデミーに選出された。[9] 1991年にはアメリカ数学会からリロイ・P・スティール賞を受賞し、その功績は「大域微分幾何学、特に複素微分幾何学に関する基礎研究」が「この分野の展望を大きく変えた」と評価された。[8] 2012年、アメリカ数学会フェローとなった。[10] 2021年、イタリア共和国功労勲章コマンドールを授与された。[11] [7]

カラビは1952年にジュリアナ・セグレと結婚し、一男一女をもうけた。2023年9月25日、100歳で亡くなった。[7] [12]

研究

カラビは微分幾何学の分野に多くの貢献をした。ここでは論じていないが、マクスウェル・ローゼンリヒトとの長直線の正則版の構築、空間形式のモジュライ空間の研究、与えられた微分形式が調和的となるような計量が見出せる場合の特徴づけ、そしてアフィン幾何学に関する様々な研究など、その他の貢献も含まれる。2021年の著作集へのコメントにおいて、カラビは「最も誇りに思う」論文として「凸型の不適正なアフィン超球面とK.ヨルゲンスの定理の一般化」を挙げている。[13]

ケーラー幾何学

1954年の国際数学者会議で、カラビはケーラー計量のリッチ曲率をどのように規定できるかに関する定理を発表しました。 [C54]彼は後に連続の方法による証明に欠陥があることを発見し、その結果はカラビ予想として知られるようになりました。 1957年、カラビは予想を命題として述べた論文を発表しましたが、明らかに不完全な証明でした。[C57]彼は、問題の解はどれも一意に定義されなければならないという完全な証明を与えましたが、存在の問題を特定の偏微分方程式の事前評価を確立する問題に還元することしかできませんでした。 1970年代に、シン・トン・ヤウはカラビ予想に取り組み始め、最初はそれを反証しようとしました。数年の研究の後、彼は予想の証明を見つけ、その妥当性に関するいくつかの顕著な代数幾何学的帰結を確立することができました。この予想の特殊な例として、リッチ曲率がゼロのケーラー計量がいくつかの複素多様体上に確立されている。これらは現在カラビ・ヤウ計量として知られている。これらは1980年代以降、弦理論研究において重要になってきた。[14] [15] [16]

1982年、カラビは、定スカラー曲率のケーラー計量を求める提案として、現在ではカラビフローとして知られる幾何学的フローを導入した。[C82a]より広く、カラビは極限ケーラー計量の概念を導入し、（他の結果の中でも）それらがカラビ汎関数の厳密な大域的最小値を与えることと、任意の定スカラー曲率計量もまた大域的最小値となることを確立した。[C85]その後、カラビとシウシオン・チェンは、トシキ・マブチによって導入された計量の広範な研究を行い、カラビフローが任意の2つのケーラー計量間のマブチ距離を縮めることを証明した。[CC02]さらに、彼らは、マブチ計量がケーラー計量の空間に非正曲率のアレクサンドロフ空間の構造を与えることを示した。 彼らの研究の技術的な難しさは、無限次元のコンテキストにおける測地線が微分可能性が低い場合があることである。[14]

カラビのよく知られた構成法は、曲率が下方に有界であるエルミートベクトル束の全空間に完全ケーラー計量を与える。[C79]基底が完全ケーラー・アインシュタイン多様体であり、ベクトル束が階数1で定曲率を持つ場合、全空間に完全ケーラー・アインシュタイン計量が得られる。複素空間形の余接束の場合は、超ケーラー計量が得られる。江口・ハンソン空間はカラビの構成法の特別な場合である。[14]

幾何学的解析

カラビはリーマン幾何学においてラプラス比較定理を発見した。これは、リーマン距離関数に適用されたラプラス・ベルトラミ作用素とリッチ曲率 を関連付けるものである。[C58a]リーマン距離関数 は一般にどこでも微分可能ではないため、この定理の大域的バージョンを定式化することは困難である。カラビは、マイケル・クランドールとピエール＝ルイ・リオンズによって導入された後の粘性解よりも古い、一般化された微分不等式の概念を利用した。エバーハルト・ホップの強最大原理を粘性解の概念に拡張することにより、カラビは自身のラプラス比較定理を用いてジョセフ・ケラーとロバート・オッサーマンの最近の結果をリーマン幾何学の文脈に拡張することができた。最大原理の異なる用法に基づくさらなる拡張は、後にシウ・ユエン・チェンとヤウ らによって発見された。 [14] [17] [18]

極小曲面に対する古典的なベルンシュタイン問題と並行して、カラビは極大曲面に対する類似の問題を検討し、低次元でその問題を解決した。[C70]極大曲面に対するベルンシュタイン問題の無条件解は、後にシュウ・ユエン・チェンとシン・トン・ヤウによって、リーマン距離関数の微分不可能性を回避するためにカラビが開発したカラビトリックを利用して見つかった。類似の研究で、カラビは以前、ユークリッド空間全体で定義され、「右辺」が 1 に等しいモンジュ–アンペール方程式の凸解を検討していた。コンラッド・ヨルゲンスは以前、この問題を 2 変数の関数について研究し、どの解も 2 次多項式であることを証明していた。この問題をアフィン幾何学の問題として解釈することにより、カラビはラプラシアン比較定理に関する以前の研究を適用して、ヨルゲンスの研究をいくつかの高次元に拡張することができた。[C58b]この問題は後にアレクセイ・ポゴレロフによって完全に解決され、その結果は一般にヨルゲンス・カラビ・ポゴレロフの定理として知られています。[19]

後にカラビはアフィン超球面の問題を検討し、まずルジャンドル変換によって特定のモンジュ＝アンペール方程式が解けるような曲面を特徴付けた。カラビは、ヨルゲンスの定理を拡張する以前の手法を適用することで、完全アフィン楕円超球面を分類することに成功した。[C72]その後、チェンとヤウによってさらなる結果が得られた。[19] [20]

微分幾何学

カラビとベノ・エックマンは1953年にカラビ・エックマン多様体を発見した。[CE53]これはケーラー計量を許容しない単連結複素多様体として注目される。[21] [22]

小平邦彦の最近の研究に触発され、カラビとエドアルド・ヴェゼンティーニは、カルタン領域のコンパクト正則商の無限小剛性について考察した。[CV60]ボッホナーの手法と小平による層コホモロジーの発展を用いて、彼らは高次元の場合の剛性を証明した。彼らの研究は、ジョージ・モストウとグリゴリー・マルグリスの後の研究に影響を与えた。彼らは、カラビとヴェゼンティーニのような無限小剛性の結果を理解しようとする試みから、大域剛性の結果を確立した。また、アトレ・セルバーグとアンドレ・ヴェイユの関連研究も行った。[23]

カラビとローレンス・マルクスは、ロレンツ幾何学における正曲率の空間形式の問題について考察した。[CM62]ジョセフ・A・ウルフが「非常に驚くべき」と評した彼らの結果は、[24]基本群は有限でなければならないこと、そして対応するド・ジッター時空の等長変換群（向き付け可能性の条件下で）は赤道球面上の等長変換に忠実に作用することを主張している。このように、彼らの空間形式の問題は、正曲率のリーマン空間形式の問題に帰着する。 [25] [26]

1950年代のジョン・ナッシュの研究は、等長埋め込みの問題を検討した。彼の研究は、そのような埋め込みが非常に柔軟で変形可能であることを示した。カラビは、博士論文で、複素幾何学的空間形式への正則等長埋め込みの特殊なケースを検討していた。[C53]彼の顕著な結果は、そのような埋め込みが、問題の空間形式の固有の幾何学と曲率によって完全に決定されることを示している。さらに、彼は、ケーラーポテンシャルから構築され、リーマン距離関数を模倣する局所的に定義された関数であるディアスタティック関数を導入することにより、存在の問題を研究することができた。カラビは、正則等長埋め込みはディアスタティック関数を保存しなければならないことを証明した。その結果、彼は正則等長埋め込みの局所的存在の基準を得ることができた。[22]

その後、カラビは球面上の2次元極小曲面（高次元）を研究した。 [C67]彼は、位相的に球面的な極小曲面の面積は離散的な値しか取れないこと、また、その曲面自体は特定のエルミート対称空間内の有理曲線によって分類されることを証明した。[27] [28] [29]

主な出版物

カラビは50本未満の研究論文を執筆した。

C53。
カラビ, エウジェニオ (1953). 「複素多様体の等長埋め込み」Annals of Mathematics . Second Series. 58 (1): 1– 23. doi :10.2307/1969817. JSTOR  1969817. MR  0057000. Zbl  0051.13103.
CE53。
Calabi, Eugenio; Eckmann, Beno (1953). 「代数的ではないコンパクト複素多様体のクラス」Annals of Mathematics . Second Series. 58 (3): 494– 500. doi :10.2307/1969750. JSTOR  1969750. MR  0057539. Zbl  0051.40304.
C54。
Calabi, E. (1954). 「ケーラー計量の空間」(PDF) . Gerretsen, Johan C. H.; De Groot, Johannes (編). Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954. 第2巻. アムステルダム: North-Holland Publishing Co. pp.  206– 207.
C57。
カラビ, エウジェニオ (1957). 「消失正準類を持つケーラー多様体について」.フォックス, RH (編).代数幾何学と位相幾何学. S. レフシェッツ記念シンポジウム. プリンストン, ニュージャージー:プリンストン大学出版局. pp.  78– 89. doi :10.1515/9781400879915-006. ISBN 9781400879915. MR  0085583. Zbl  0080.15002.{{cite conference}}: CS1 メンテナンス: ISBN エラーを無視 (リンク)
C58a。
Calabi, E. (1958). 「E. Hopf の最大原理の拡張とリーマン幾何学への応用」. Duke Mathematical Journal . 25 : 45– 56. doi :10.1215/S0012-7094-58-02505-5. MR  0092069. Zbl  0079.11801. （訂正：  doi :10.1215/S0012-7094-59-02672-9）
C58b。
カラビ, エウジェニオ (1958). 「凸型不適切アフィン超球面とK. ヨルゲンスの定理の一般化」.ミシガン数学ジャーナル. 5 (2): 105– 126. doi : 10.1307/mmj/1028998055 . MR  0106487. Zbl  0113.30104.
CV60。
Calabi, Eugenio; Vesentini, Edoardo (1960). 「コンパクトで局所対称なケーラー多様体について」Annals of Mathematics . Second Series. 71 (3): 472– 507. doi :10.2307/1969939. JSTOR  1969939. MR  0111058. Zbl  0100.36002.
CM62。
Calabi, E.; Markus, L. (1962). 「相対論的空間形式」Annals of Mathematics . Second Series. 75 (1): 63– 76. doi :10.2307/1970419. JSTOR  1970419. MR  0133789. Zbl  0101.21804.
C67。
カラビ, エウジェニオ (1967). 「ユークリッド球面における曲面の極小浸漬」. Journal of Differential Geometry . 1 ( 1–2 ): 111– 125. doi : 10.4310/jdg/1214427884 . MR  0233294. Zbl  0171.20504.
C70。
Calabi, Eugenio (1970). 「いくつかの非線形方程式に対するバーンスタイン問題の例」. Chern, Shiing-Shen ; Smale, Stephen (編). Global Analysis . アメリカ数学会夏期講習会（カリフォルニア大学バークレー校、1968年7月1日～26日開催）. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 第15巻. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. pp.  223– 230. doi :10.1090/pspum/015. ISBN 9780821814154. MR  0264210. Zbl  0211.12801.
C72。
カラビ、エウジェニオ（1972年）。完全なアフィン超球。私。 Convegno di Geometria Differenziale (マッジョ 24-28 1971)。 Convegno di Analisi Numerica (1972 年 10 月 13 日、ジェナイオ)。アルタ・マテマティカ国立研究所、ローマ。シンポジア・マテマティカ。 Vol. X. ロンドン: Academic Press。19 ～ 38ページ 。MR  0365607。Zbl 0252.53008  。
C79。
カラビ、E. (1979)。 「正則性と繊維性のメトリクス」。高等師範科学誌。カトリエーム・シリーズ。12 (2): 269–294 .土井: 10.24033/asens.1367。MR  0543218。Zbl 0431.53056  。
C82。
Calabi, Eugenio (1982). 「極限ケーラー計量」. Yau, Shing-Tung (編). Seminar on Differential Geometry . Annals of Mathematics Studies. Vol. 102. プリンストン大学出版局, ニュージャージー州, プリンストン,  259– 290. doi :10.1515/9781400881918-016. ISBN 9781400881918. MR  0645743. Zbl  0487.53057.
C85。
Calabi, Eugenio (1985). 「極限ケーラー計量 II」. Chavel, I.; Farkas, HM (編).微分幾何学と複素解析. ベルリン: Springer . pp.  95– 114. doi :10.1007/978-3-642-69828-6_8. ISBN 978-3-642-69830-9. MR  0780039. Zbl  0574.58006.
CC02。
Calabi, E.; Chen, XX (2002). 「ケーラー計量の空間 II」. Journal of Differential Geometry . 61 (2): 173– 193. doi : 10.4310/jdg/1090351383 . MR  1969662. Zbl  1067.58010.

カラビの全集は2021年に出版されました。

参考文献

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  4. ^ 「パトナム・コンペティション個人およびチーム優勝者」アメリカ数学会. 2021年12月10日閲覧。
  5. ^ 数学系譜プロジェクトのEugenio Calabi
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  7. ^ abc Miles, Gary (2023年9月28日). 「天才児で著名な数学者であり、ペンシルベニア大学名誉教授でもあったエウジェニオ・カラビ氏が100歳で死去」フィラデルフィア・インクワイアラー紙. 2023年9月29日閲覧。
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さらに読む

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  • ブルギニヨン、ジャン・ピエール(1996)。 「エウジェニオ・カラビとケーラーの指標」。デ・バルトロメイス、パオロにて。トリチェッリ、フランコ。ヴェセンティーニ、エドアルド（編）。多様体と幾何学。 1993 年 9 月にピサで開催された E. カラビの 70 歳の誕生日を記念した微分幾何学会議。Symposia Mathematica。 Vol. 36. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ページ 61–85。ISBN​​ 0-521-56216-3. MR  1410068. Zbl  0911.53002.
  • Bourguignon, ジャン・ピエール;センドルジ、バラズ（2023年6月28日）。 「100歳のジーン・カラビ – エウジェニオ・カラビとの忘れられない出会い」。ヨーロッパ数学協会雑誌。 No. 128。30  ～ 35ページ。土井: 10.4171/MAG/144。
  • ナディス、スティーブ（2023年10月16日）「空間の形を彫刻した数学者」Quanta Magazine。
  • 陳秀雄編(2024 年 11 月)。 「エウジェニオ・カラビの遺産（1923–2023）」（PDF）。アメリカ数学協会の通知。71 (11): 1502 ～ 1519 年。土井: 10.1090/noti3084。
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