オイラーの四平方恒等式

数学において、オイラーの四平方恒等式は、それぞれが 4 つの平方数の和である 2 つの数の積は、それ自体が 4 つの平方数の和であるということを述べています。

代数的恒等式

可換環からの任意の四重項のペアに対して、次の式は等しい。

（1つの12+1つの22+1つの32+1つの42）（b12+b22+b32+b42）＝（1つの1b1−1つの2b2−1つの3b3−1つの4b4）2+（1つの1b2+1つの2b1+1つの3b4−1つの4b3）2+（1つの1b3−1つの2b4+1つの3b1+1つの4b2）2+（1つの1b4+1つの2b3−1つの3b2+1つの4b1）2。{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[3mu]&\qquad =\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\right)^{2}\\[3mu]&\qquad \qquad +\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}.\end{aligned}}}

オイラーは1748年5月4日付のゴールドバッハ宛の手紙の中でこの等式について述べている[ 1 ] [ 2 ] （ただし、彼は上記とは異なる符号表記法を用いている）。これは初等代数学で検証できる。

この恒等式は、ラグランジュが四平方定理を証明するために用いました。より具体的には、素数に対して定理 を証明すれば十分であり、その後、より一般的な定理が導かれることを意味します。上記の符号規則は、2つの四元数を乗じて得られる符号に対応しています。他の符号規則は、任意の を に、および／または任意の をに置き換えることで得られます。 1つのけ{\displaystyle a_{k}}−1つのけ{\displaystyle -a_{k}}bけ{\displaystyle b_{k}}−bけ{\displaystyle -b_{k}}

とが実数の場合、この恒等式は、2つの四元数の積の絶対値がそれらの絶対値の積に等しいという事実を表します。これは、複素数に対するブラフマグプタ・フィボナッチの2平方恒等式と同じです。この性質は、合成代数の決定的な特徴です。 1つのけ{\displaystyle a_{k}}bけ{\displaystyle b_{k}}

ハーヴィッツの定理は、形式の同一性は、

（1つの12+1つの22+1つの32+⋯+1つのn2）（b12+b22+b32+⋯+bn2）＝c12+c22+c32+⋯+cn2{\displaystyle \left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\dots +a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\dots +b_{n}^{2}\right)=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\dots +c_{n}^{2}}

ここで、は の双線形関数であり、 はn = 1、2、4、または 8 の 場合にのみ可能です。c私{\displaystyle c_{i}}1つの私{\displaystyle a_{i}}b私{\displaystyle b_{i}}

四元数を用いた同一性の証明

コメント: オイラーの四平方恒等式の証明は、単純な代数的評価によって行われます。四元数は四平方恒等式から派生します。四平方恒等式は、4次元ベクトルの2つの内積の積として表すことができ、再び4次元ベクトルの内積となります: ( a · a )( b · b ) = ( a × b )·( a × b )。これは四元数の乗法則a × bを定義しており、これはオイラーの恒等式と四元数に関する数学を単純に反映しています。四元数は、いわば四平方恒等式の「平方根」です。では、証明を続けましょう。

とを四元数のペアとする。それらの四元数共役はそれぞれ とである。すると α＝1つの1+1つの2私+1つの3j+1つの4け{\displaystyle \alpha =a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k}β＝b1+b2私+b3j+b4け{\displaystyle \beta =b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k}α∗＝1つの1−1つの2私−1つの3j−1つの4け{\displaystyle \alpha ^{*}=a_{1}-a_{2}i-a_{3}j-a_{4}k}β∗＝b1−b2私−b3j−b4け{\displaystyle \beta ^{*}=b_{1}-b_{2}i-b_{3}j-b_{4}k}

あ:=αα∗＝1つの12+1つの22+1つの32+1つの42{\displaystyle A:=\alpha \alpha ^{*}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}

そして

B:=ββ∗＝b12+b22+b32+b42。{\displaystyle B:=\beta \beta ^{*}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}.}

これら2つの積は であり、は実数なので四元数 と可換であり、次の式が得られる。 あB＝αα∗ββ∗{\displaystyle AB=\alpha \alpha ^{*}\beta \beta ^{*}}ββ∗{\displaystyle \beta \beta ^{*}}α∗{\displaystyle \alpha^{*}}

あB＝αββ∗α∗。{\displaystyle AB=\alpha \beta \beta ^{*}\alpha ^{*}.}

四元数はと共役するため、上記では括弧は不要です。積の共役は、積の因数の共役の交換積に等しいので、

あB＝αβ（αβ）∗＝γγ∗{\displaystyle AB=\alpha \beta (\alpha \beta )^{*}=\gamma \gamma ^{*}}

とのハミルトン積はどこでしょうか: γ{\displaystyle \gamma}α{\displaystyle \alpha}β{\displaystyle \beta}

γ＝（1つの1+⟨1つの2、1つの3、1つの4⟩）（b1+⟨b2、b3、b4⟩）＝1つの1b1+1つの1⟨b2、 b3、 b4⟩+⟨1つの2、 1つの3、 1つの4⟩b1+⟨1つの2、 1つの3、 1つの4⟩⟨b2、 b3、 b4⟩＝1つの1b1+⟨1つの1b2、 1つの1b3、 1つの1b4⟩+⟨1つの2b1、 1つの3b1、 1つの4b1⟩−⟨1つの2、 1つの3、 1つの4⟩⋅⟨b2、 b3、 b4⟩+⟨1つの2、 1つの3、 1つの4⟩×⟨b2、 b3、 b4⟩＝1つの1b1+⟨1つの1b2+1つの2b1、 1つの1b3+1つの3b1、 1つの1b4+1つの4b1⟩−1つの2b2−1つの3b3−1つの4b4+⟨1つの3b4−1つの4b3、 1つの4b2−1つの2b4、 1つの2b3−1つの3b2⟩＝（1つの1b1−1つの2b2−1つの3b3−1つの4b4）+⟨1つの1b2+1つの2b1+1つの3b4−1つの4b3、 1つの1b3+1つの3b1+1つの4b2−1つの2b4、 1つの1b4+1つの4b1+1つの2b3−1つの3b2⟩γ＝（1つの1b1−1つの2b2−1つの3b3−1つの4b4）+（1つの1b2+1つの2b1+1つの3b4−1つの4b3）私+（1つの1b3+1つの3b1+1つの4b2−1つの2b4）j+（1つの1b4+1つの4b1+1つの2b3−1つの3b2）け。{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\left(a_{1}+\langle a_{2},a_{3},a_{4}\rangle \right)\left(b_{1}+\langle b_{2},b_{3},b_{4}\rangle \right)\\[3mu]&=a_{1}b_{1}+a_{1}\langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle b_{1}+\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \\[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{4}b_{1}\rangle \\&\qquad -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \\[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle \\&\qquad -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})\\&\qquad +\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]\gamma &=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{aligned}}}

それから

γ∗=(a1b1−a2b2−a3b3−a4b4)−(a1b2+a2b1+a3b4−a4b3)i−(a1b3+a3b1+a4b2−a2b4)j−(a1b4+a4b1+a2b3−a3b2)k.{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{*}&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad -(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j-(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{aligned}}}

がスカラー部分で、がベクトル部分である場合、 γ=r+u→{\displaystyle \gamma =r+{\vec {u}}}r{\displaystyle r}u→=⟨u1,u2,u3⟩{\displaystyle {\vec {u}}=\langle u_{1},u_{2},u_{3}\rangle }γ∗=r−u→{\displaystyle \gamma ^{*}=r-{\vec {u}}}

γγ∗=(r+u→)(r−u→)=r2−ru→+ru→−u→u→=r2+u→⋅u→−u→×u→=r2+u→⋅u→=r2+u12+u22+u32.{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma \gamma ^{*}&=(r+{\vec {u}})(r-{\vec {u}})=r^{2}-r{\vec {u}}+r{\vec {u}}-{\vec {u}}{\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {u}}\times {\vec {u}}\\&=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=r^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}.\end{aligned}}}

それで、

AB=γγ∗=(a1b1−a2b2−a3b3−a4b4)2+(a1b2+a2b1+a3b4−a4b3)2+(a1b3+a3b1+a4b2−a2b4)2+(a1b4+a4b1+a2b3−a3b2)2.{\displaystyle {\begin{aligned}AB=\gamma \gamma ^{*}&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}.\end{aligned}}}

フィスターの正体

フィスターは任意の偶数乗に対して別の平方恒等式を発見した：[ 3 ]

が1 セットの変数の有理関数であり、それぞれが分母 を持つ場合、すべての に対して が可能です。 ci{\displaystyle c_{i}}ci{\displaystyle c_{i}}n=2m{\displaystyle n=2^{m}}

したがって、別の 4 平方の恒等式は次のようになります。 (a12+a22+a32+a42)(b12+b22+b32+b42)=(a1b4+a2b3+a3b2+a4b1)2+(a1b3−a2b4+a3b1−a4b2)2+(a1b2+a2b1+a3u1b12+b22−a4u2b12+b22)2+(a1b1−a2b2−a4u1b12+b22−a3u2b12+b22)2{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[5mu]&\quad =\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}\right)^{2}\\&\quad \qquad +\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}}

ここで、およびは次のように与えられる。 u1{\displaystyle u_{1}}u2{\displaystyle u_{2}}u1=b12b4−2b1b2b3−b22b4u2=b12b3+2b1b2b4−b22b3{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}\\u_{2}&=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}\end{aligned}}}

ちなみに、次の恒等式も成り立ちます。

u12+u22=(b12+b22)2(b32+b42){\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)^{2}\left(b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)}

参照

参考文献

  1. ^レオンハルト・オイラー：生涯、仕事、そして遺産、REブラッドリーとCEサンディファー（編）、エルゼビア、2007年、193ページ
  2. ^数学的進化、A.シェニッツァーとJ.スティルウェル（編）、アメリカ数学協会、2002年、174ページ
  3. ^コネチカット大学のキース・コンラッド・フィスターの平方和定理
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