ダベンポート連鎖回転
物体に固定された特定の軸を中心とした連鎖的な固有回転

物理学と工学において、ダベンポート連鎖回転とは、物体に固定された特定の軸を中心とした3つの連鎖した固有 回転です。オイラー回転とテイト・ブライアン回転は、ダベンポートの一般回転分解の特殊なケースです。回転角は「ダベンポート角」と呼ばれます。これは、回転を3つの連続に分解するという一般的な問題が、ポール・B・ダベンポートによって最初に研究されたためです。[1]

非直交回転座標系は、剛体に剛体として固定されていると想像できる。この場合、局所座標系と呼ばれることもある。回転軸が運動体と一体であることを考えると、一般化された回転は2つのグループに分けられる（ここで、 x、y、zは非直交運動座標系を指す）。

一般化オイラー回転
（zxz、xyx、yzy、zyz、xzx、yxy）
一般化テイト・ブライアン回転
（xyz、yzx、zxy、xzy、zyx、yxz）

一般化オイラー回転は第 1 軸と第 3 軸が重なり合う退化したケースであるため、ほとんどのケースは 2 番目のグループに属します。

ダベンポートの回転定理

ダベンポートのステップ1と3の可能な軸（ステップ2としてZを指定）

回転を固有軸の周りの3つの合成運動に分解する一般的な問題は、 P.ダベンポートによって「一般化オイラー角」という名前で研究されましたが、後にこれらの角度はM.シュスターとL.マークリーによって「ダベンポート角」と名付けられました。[2]

一般的な問題は、3つの既知の軸が与えられた場合の回転の行列分解を求めることである。場合によっては、軸の1つが重複していることもある。この問題は行列の分解問題と等価である。[3]

ダベンポートは、非直交軸を用いた3つの要素回転を組み合わせることで、任意の向きを実現できることを証明しました。要素回転は、固定座標系の軸を中心とする回転（外在回転）と、最初は固定座標系と一致し、各要素回転ごとに向きが変化する回転座標系の軸を中心とする回転（内在回転）のいずれかで行われます。

ダベンポートの定理によれば、2番目の軸が他の2つの軸に垂直である場合にのみ、一意の分解が可能である。したがって、軸1と軸3は軸2に直交する平面上になければならない。[2]

したがって、オイラー連鎖回転とテイト・ブライアン連鎖回転における分解は、この特殊なケースです。テイト・ブライアンの場合は軸1と軸3が直交している場合に現れ、オイラーの場合は軸1と軸3が重なり合っている場合に現れます。

完全なローテーションシステム

図1.飛行機が平面上に停止している

ダベンポート回転の集合は、その合成によって空間の任意の回転を生成できる場合、完全であると言われる。行列の用語で言えば、行列式が+1となるような空間の任意の直交行列を生成できる場合、完全である。行列積の非可換性のため、回転系は順序付けられていなければならない。

場合によっては、根本的な問題の幾何学的形状によって順序が決められることがあります。例えば、車両の場合、「前方」方向を指す特別な軸を持つため、6通りの回転の組み合わせのうち1つだけが有用です。興味深い構成は、航空機の進行方向と仰角をそれぞれ1つの独立した回転で制御できるものです。

隣の図では、ヨー、ピッチ、ロール（YPR）構成により、最初の2つの角度で航空機の方向を調整できます。YRPのような別の構成では、翼軸の方向を特定できますが、これは明らかにほとんどの場合に役立ちません。

テイト・ブライアン連鎖

図2.航空機の主軸

テイト・ブライアン回転は、第1軸と第3軸が互いに直交する特殊なケースです。図1に示すような慣例に従う参照フレーム ⟨ x , y , z ⟩と、図2に示すようなヨー軸、ピッチ軸、ロール軸を持つ平面（図では平面⟨ x , y ⟩上に水平）を仮定し、ヨー軸、ピッチ軸、ロール軸の順にY軸、P軸、R軸の固有回転をそれぞれ実行すると、図3に示すような結果が得られます。

図3.ヨー、ピッチ、ロール回転後の機首方位、仰角、バンク角（Z-Y'-X''）

はじめに：

  • 平面の回転軸は基準系のx軸上にあります
  • 平面ピッチ軸は参照フレームのy軸上にある
  • 平面ヨー軸は参照フレームのZ軸上にある

回転はヨー、ピッチ、ロールの順に適用されます。これらの条件では、機首方位（水平面上の角度）は適用されたヨーと等しくなり、仰角はピッチと等しくなります。

3次元における3つのTait-Bryan回転の行列式は次のとおりです。

R × （ ϕ ） ＝ R o l l （ ϕ ） ＝ [ 1 0 0 0 cos ⁡ ϕ − 正弦 ⁡ ϕ 0 正弦 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ] R y （ θ ） ＝ P 私 t c h （ θ ） ＝ [ cos ⁡ θ 0 正弦 ⁡ θ 0 1 0 − 正弦 ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ] R z （ ψ ） ＝ Y a w （ ψ ） ＝ [ cos ⁡ ψ − 正弦 ⁡ ψ 0 正弦 ⁡ ψ cos ⁡ ψ 0 0 0 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\\R_{x}(\phi)=\mathrm {ロール} (\phi)&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta)=\mathrm {ピッチ} (\theta)&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi)=\mathrm {ヨー} (\psi)&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

合成回転行列は

M ＝ Y a w （ ψ ） P 私 t c h （ θ ） R o l l （ ϕ ） ＝ R z （ ψ ） R y （ θ ） R × （ ϕ ） . {\displaystyle {\begin{aligned}M&=\mathrm {ヨー} (\psi )\,\mathrm {ピッチ} (\theta )\,\mathrm {ロール} (\phi )\\&=R_{z}(\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi ).\end{aligned}}}

ヨー、ピッチ、ロールの 6 つの可能な組み合わせのうち、この組み合わせは、方向 (ロール軸の方向) が回転の 1 つ (ヨー) と等しく、仰角 (ロール軸と水平面の角度) が回転のもう 1 つ (ピッチ) と等しい唯一の組み合わせです。

オイラー連鎖回転

適切なオイラー角を適用するための航空機の開始位置

オイラー回転は、第1回転軸と第3回転軸が重なり合う特殊なケースとして現れます。これらのオイラー回転は、惑星などの剛体の運動を研究するために考えられた真オイラー角と関連しています。回転軸の方向を定義する角度は、通常「自転軸の経度」または「交点の経度」と呼ばれ、「方位」という名前は惑星には意味をなさないため、使用されません。

いずれにせよ、オイラー回転は乗り物について話す際にも使えますが、奇妙な挙動をします。垂直軸が角度の原点となるため、「仰角」ではなく「傾斜」と呼ばれます。前述のように、乗り物の姿勢を記述する際には、前方を指す軸が考慮されるため、回転の可能な組み合わせのうち、実際に使えるのは1つだけです。

組み合わせは、軸の取り方と平面の初期位置によって異なります。図に示されているものを使用し、軸が繰り返されるように回転を組み合わせると、ロール、ピッチ、ロールの組み合わせのみで、経度と傾斜をそれぞれ1回転で制御できます。

乗算する 3 つの行列は次のとおりです。

R z （ ϕ ） ＝ R o l l 1 （ ϕ ） ＝ [ cos ⁡ ϕ − 正弦 ⁡ ϕ 0 正弦 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 0 0 0 1 ] R y （ θ ） ＝ P 私 t c h （ θ ） ＝ [ cos ⁡ θ 0 正弦 ⁡ θ 0 1 0 − 正弦 ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ] R z （ ψ ） ＝ R o l l 2 （ ψ ） ＝ [ cos ⁡ ψ − 正弦 ⁡ ψ 0 正弦 ⁡ ψ cos ⁡ ψ 0 0 0 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}R_{z}(\phi )=\mathrm {Roll} _{1}(\phi )&={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {ピッチ} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {ロール} _{2}(\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

この規則では、ロール1 は「方向」を、ピッチは「傾斜」（仰角の補完）を、ロール2 は「傾き」を課します。

外在回転への変換

オイラー角（ α、β、γ）＝（−60°、30°、45°）で表される回転（z-x'-z''固有回転を使用）
zxz外部回転を使用して、(γ, β, α) = (45°, 30°, −60°) で表される同じ回転

ダベンポート回転は、移動する物体に固定された軸の重要性のため、通常は固有の回転構成として研究されますが、より直感的に理解しやすいように、外在的な回転構成に変換することもできます。

任意の外在回転は、同じ角度で要素回転の順序が逆の内在回転と等価であり、その逆も同様である。例えば、角度α、β、γによる内在回転x-y'-z″ は、角度γ、β、αによる外在回転zyxと等価である。どちらも行列で表される 。

R ＝ X （ α ） Y （ β ） Z （ γ ） {\displaystyle R=X(\alpha)Y(\beta)Z(\gamma)}

ここで、、、は対応する角度の基本回転行列です。これらの行列の積、は列ベクトルにあらかじめ乗算する必要があります。回転行列の定義には曖昧さがあり、定義によっては行ベクトルが使用される場合があることに注意してください。 X （ α ） {\displaystyle X(\alpha)} Y （ β ） {\displaystyle Y(\beta)} Z （ γ ） {\displaystyle Z(\gamma)} R {\displaystyle R}

物理的な動きとの関係

固有回転

固有回転は、回転座標系XYZの軸を中心に発生する基本的な回転であり、各基本回転ごとに向きが変わります。XYZ系は回転しますが、xyzは固定されています。XYZとxyzが重なり合う状態から始めて、3つの固有回転を組み合わせることで、XYZの任意の目標向きに到達できます。オイラー角またはテイト・ブライアン角（α、β、γ）は、これらの基本回転の振幅です。例えば、目標向きには次のように到達できます

  • XYZ座標系はZ軸（ Z軸と一致）を中心にα回転します。X軸はノードの線上にあります。
  • XYZ系は、回転したX軸を中心にβだけ回転します。Z軸は最終的な方向になり、X軸はノードの線上に残ります。
  • XYZシステムは、新しいZ軸を中心にγだけ 3 回目に回転します。

上記の表記法を使用すると、次のようにまとめることができます。XYZ システムの 3 つの基本的な回転は、z、x ' 、z ″ を中心に発生します。実際、このシーケンスは、多くの場合、 z-x'-z″と表記されます。適切なオイラー角とテイトブライアン角の両方に関連付けられた回転軸のセットは、通常、この表記法を使用して命名されます (詳細については上記を参照)。同じシーケンスが単にzxz、ZXZ、または3-1-3と呼ばれることもありますが、この表記法は、外部回転に使用される表記法と同じである可能性があるため、あいまいになる可能性があります。この場合、回転が固有か外部か個別に指定する必要があります。

回転行列は、一連の固有の回転を表すために使用できます。例えば、

R ＝ X （ α ） Y （ β ） Z （ γ ） {\displaystyle R=X(\alpha)Y(\beta)Z(\gamma)}

列ベクトルを前置乗算する場合、軸x-y'-z″を中心とした固有回転の合成を表します。これは標準的な方法ですが、回転行列の定義には曖昧さがあることに注意してください。

外在的回転

外在回転は、固定座標系xyzの軸を中心に発生する基本的な回転です。XYZ系は回転しますが、xyzは固定です。XYZ が xyz と重なり合う状態から始めて、3つの外在回転を組み合わせることで、XYZの任意の目標方向に到達できます。オイラー角またはテイト・ブライアン角 ( α、β、γ ) は、これらの基本的な回転の振幅です。例えば、目標方向は次のようにして到達できます。

  • XYZ系はZ軸を中心にα回転します。X軸はX軸に対してαの角度をなします。
  • XYZ系は再びx軸を中心にβ回転します。Z軸はz軸に対してβの角度をなします。
  • XYZシステムは、z軸を中心にγだけ3 回目に回転します。

まとめると、3つの基本的な回転はz、x、zを中心に発生します。実際、この順序はしばしばzxz（または 3-1-3 ）と表記されます。真オイラー角とテイト・ブライアン角の両方に関連する回転軸の組は、一般的にこの表記法で命名されます（詳細は上記を参照）。

回転行列は、外在的回転の列を表すために使用できます。例えば、

R ＝ Z （ γ ） Y （ β ） X （ α ） {\displaystyle R=Z(\gamma)Y(\beta)X(\alpha)}

列ベクトルを前置乗算する場合、軸xyzを中心とした外在回転の合成を表します。これは標準的な手法ですが、回転行列の定義には曖昧さがあることに注意してください。

固有回転と外在回転の変換

オイラー角（ α、β、γ）＝（−60°、30°、45°）で表される回転（z-x'-z''固有回転を使用）
zxz外部回転を使用して、(γ, β, α) = (45°, 30°, −60°) で表される同じ回転

任意の外在回転は、同じ角度で要素回転の順序が逆の内在回転と等価であり、その逆も同様である。例えば、角度α、β、γによる内在回転x-y'-z″ は、角度γ、β、αによる外在回転zyxと等価である。どちらも行列で表される 。

R ＝ X （ α ） Y （ β ） Z （ γ ） {\displaystyle R=X(\alpha)Y(\beta)Z(\gamma)}

列ベクトルを事前に乗算するために が使用される場合。これは標準的な手法ですが、回転行列の定義には曖昧さがあることに注意してください。 R {\displaystyle R}

乗算前のケースにおける変換の証明

固有回転シーケンスx-y'-z''の回転行列は、右から左への連続的な固有要素回転によって得られます。

R ＝ Z ″ Y ′ X . {\displaystyle R=Z''Y'X.}

このプロセスでは、固有の回転シーケンスにおいて関連する3つのフレームがあります。フレーム0を初期フレーム、フレーム1をx軸周りの最初の回転後、フレーム2をy'軸周りの2番目の回転後、フレーム3をz'' 軸周りの3番目の回転後とします。

これら3つのフレーム間で回転行列を表現できるため、左肩のインデックスを用いて表現フレームを表すことにします。以下の表記は、フレームa をフレームbに変換し、フレームcで表現される回転行列を意味します 。

c R a → b . {\displaystyle {}^{c}\!R_{a\rightarrow b}.}

回転が発生するフレームで表された固有要素回転行列は、対応する外部要素回転行列と同じ値を持ちます。

0 R 1 → 0 ＝ X 、 1 R 2 → 1 ＝ Y 、 2 R 3 → 2 ＝ Z . {\displaystyle {}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}=X,\quad {}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}=Y,\quad {}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}=Z.}

フレーム0で表される 固有要素回転行列Y'とZ''は、他の形式で表現することもできます。

Y ′ ＝ 0 R 2 → 1 ＝ 0 R 1 → 0 1 R 2 → 1 0 R 1 → 0 − 1 ＝ X Y X − 1 Z ″ ＝ 0 R 3 → 2 ＝ 0 R 1 → 0 1 R 3 → 2 0 R 1 → 0 − 1 ＝ X （ 1 R 2 → 1 2 R 3 → 2 1 R 2 → 1 − 1 ） X − 1 ＝ X Y Z Y − 1 X − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}Y'&={}^{0}\!R_{2\rightarrow 1}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=XYX^{-1}\\[3pt]Z''&={}^{0}\!R_{3\rightarrow 2}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=X\left({}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}^{-1}\right)X^{-1}\\&=XYZY^{-1}X^{-1}\end{aligned}}}

上記の 2 つの式を最初の式に代入すると、

R ＝ Z ″ Y ′ X ＝ （ X Y Z Y − 1 X − 1 ） （ X Y X − 1 ） X ＝ X Y Z Y − 1 （ X − 1 X ） Y （ X − 1 X ） ＝ X Y Z （ Y − 1 Y ） ＝ X Y Z {\displaystyle {\begin{aligned}R&=Z''Y'X\\&=\left(XYZY^{-1}X^{-1}\right)\left(XYX^{-1}\right)X\\&=XYZY^{-1}\left(X^{-1}X\right)Y\left(X^{-1}X\right)\\&=XYZ\left(Y^{-1}Y\right)\\&=XYZ\end{aligned}}}

したがって、固有要素回転シーケンスの回転行列は、逆外部要素回転シーケンスの回転行列と同じです。

R ＝ Z ″ Y ′ X ＝ X Y Z . {\displaystyle R=Z''Y'X=XYZ.}

参照

参考文献

  1. ^ PB Davenport, 非直交軸の周りの回転
  2. ^ ab M. ShusterとL. Markley、「オイラー角の一般化」、Journal of the Astronautical Sciences、第51巻、第2号、2003年4月～6月、123～123ページ
  3. ^ J. Wittenburg, L. Lilov, 与えられた軸の周りの3つの回転への有限回転の分解 [1]
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