正確な対角化

厳密対角化（ED）は、物理学において量子ハミルトニアンの固有状態とエネルギー固有値を決定するために用いられる数値計算手法である。この手法では、離散有限系のハミルトニアンを行列形式で表現し、コンピュータを用いて対角化する。量子系のサイズに応じてヒルベルト空間次元が指数関数的に増加するため、厳密対角化は自由度の少ない系でのみ可能である。EDは、ハバード模型、イジング模型、ハイゼンベルク模型、t - J模型、SYK模型などの格子模型の研究に頻繁に用いられる。[ 1 ] [ 2 ]

正確な対角化からの期待値

与えられたハミルトニアンの固有状態とエネルギーを決定した後、正確な対角化を用いて観測量の期待値を得ることができる。例えば、が観測量である場合、その熱的期待値は |n⟩{\displaystyle |n\rangle }ϵn{\displaystyle \epsilon_{n}}お{\displaystyle {\mathcal {O}}}

⟨お⟩＝1Z∑ne−βϵn⟨n|お|n⟩、{\displaystyle \langle {\mathcal {O}}\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}\langle n|{\mathcal {O}}|n\rangle ,}

ここでは分割関数です。観測量を問題の初期基底に書き下すことができれば、この和は固有状態の基底に変換した後に評価できます。 Z＝∑ne−βϵn{\displaystyle Z=\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}}

グリーン関数も同様に評価できる。例えば、遅延グリーン関数は次のように書ける。 GR（t）＝−私θ（t）⟨[あ（t）、B（0）]⟩{\displaystyle G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle }

GR（t）＝−私θ（t）Z∑n、メートル（e−βϵn−e−βϵメートル）⟨n|あ（0）|メートル⟩⟨メートル|B（0）|n⟩e−私（ϵメートル−ϵn）t/ℏ。ここで、G^{R}(t)=-{\frac {i\theta (t)}{Z}}\sum _{n,m}\left(e^{-\beta \epsilon _{n}}-e^{-\beta \epsilon _{m}}\right)\langle n|A(0)|m\rangle \langle m|B(0)|n\rangle e^{-i(\epsilon _{m}-\epsilon _{n})t/\hbar }.}

厳密な対角化は、クエンチ後の系の時間発展を決定するのにも用いられる。系が初期状態 に準備され、その後、時間 が新たなハミルトニアン の下で発展するとする。時間 における状態は |ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }t>0{\displaystyle t>0}H{\displaystyle {\mathcal {H}}}t{\displaystyle t}

|ψ（t）⟩＝∑ne−私ϵnt/ℏ⟨n|ψ（0）⟩|n⟩。{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}e^{-i\epsilon _{n}t/\hbar }\langle n|\psi (0)\rangle |n\rangle .}

メモリ要件

量子系を記述するヒルベルト空間の次元は、系のサイズとともに指数関数的に増大する。例えば、固定された格子サイトに局在するスピンの系を考える。各スピンの状態は、スピンアップとスピンダウンの重ね合わせ（および と表記）として記述できるため、オンサイト基底の次元は 2 である。完全な系の次元は で、行列として表されるハミルトニアンはサイズ である。これは、正確な対角化において計算時間とメモリ要件が非常に不利に増大することを意味している。実際には、問題の対称性を利用したり、保存則を課したり、スパース行列を扱ったり、ヒルベルト空間の次元を削減する他の手法を使用したりすることで、メモリ要件を削減できる。[ 3 ]北{\displaystyle N}|↑⟩{\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }|↓⟩{\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }2北{\displaystyle 2^{N}}2北×2北{\displaystyle 2^{N}\times 2^{N}}

サイト数 州の数 メモリ内のハミルトニアンのサイズ
4 16 2048 B
9 512 2MB
16 65536 34GB
25 33554432 9 PB
36 6.872e10 40 ZB
スピン1⁄2系 の正確な対角化をコンピュータ上で実行する場合のメモリ要件に関する単純な推定値。ハミルトニアンは倍精度浮動小数点数の行列として格納されていると仮定する。

他の技術との比較

正確な対角化は、有限系に関する正確な情報を抽出するのに有用です。しかしながら、無限格子系への洞察を得るためには、しばしば小さな系が研究されます。対角化された系が小さすぎると、その特性は熱力学的極限における系の特性を反映しなくなり、シミュレーションは有限サイズ効果の影響を受けると言われています。

補助体モンテカルロ法などの他の厳密理論手法とは異なり、厳密対角化はグリーン関数を虚数時間ではなく実時間で直接求めます。これらの他の手法とは異なり、厳密対角化の結果は数値解析接続を必要としません。数値解析接続は不適切かつ困難な最適化問題であるため、これは利点です。[ 4 ]

アプリケーション

実装

量子ハミルトニアンの正確な対角化を実装するソフトウェアパッケージは数多く存在します。ALPS 、DoQo、EdLib、 edrixs、Quantyなどが その例です。

一般化

多数の小さなクラスターからの正確な対角化結果を組み合わせることで、数値的にリンクされたクラスター展開を用いて熱力学的極限におけるシステムに関するより正確な情報を得ることができる。[ 12 ]

参照

参考文献

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