除外点トポロジ

数学において、排点位相とは、特定の点の排除が開性を定義する位相である。正式には、Xを任意の空でない集合とし、p∈Xとする。集合

${\displaystyle T=\{S\subseteq X:p\notin S\}\cup \{X\}}$

Xの部分集合の位相は、 X上の排他点位相である。様々なケースがあり、それぞれに名前が付けられている。

• X が2点を持つ場合、それはシェルピンスキー空間と呼ばれます。この場合はやや特殊なので、別途扱います。
• Xが有限（少なくとも3点）の場合、 X上の位相は有限排点位相と呼ばれる。
• Xが可算無限である場合、 X上の位相は可算排点位相と呼ばれる。
• Xが非可算な場合、 X上の位相は非可算な排点位相と呼ばれる。

一般化は開拡張位相である。 が離散位相を持つ場合、 上の開拡張位相は排除点位相である。 ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ ${\displaystyle (X\setminus \{p\})\cup \{p\}}$

このトポロジは、興味深い例と反例を提供するために使用されます。

プロパティ

を特別な点を持つ排他点位相を持つ空間とする${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$

空間全体 が唯一の隣接領域であるため、空間はコンパクトです。${\displaystyle p}$

位相はアレクサンドロフ位相である。 の最小近傍は空間全体であり、点の最小近傍は単項である 。これらの最小近傍はコンパクトである。それぞれの閉包はそれぞれ、そしてであり、これもコンパクトである。したがって、空間は局所的に相対コンパクトであり（各点は相対コンパクト近傍の局所基底を持つ）、各点がコンパクト近傍の局所基底を持つという意味で局所コンパクトである。しかし、点は閉コンパクト近傍の局所基底を持つことはできない。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \{x\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x,p\},​​}$ ${\displaystyle x\neq p}$

任意の空でない閉集合には点が含まれるため、この空間は超連結です。 したがって、この空間は連結かつパス連結でもあります。 ${\displaystyle p.}$

参照

• 有限位相空間
• 砦のスペース
• トポロジのリスト
• 特異点トポロジー

参考文献

• スティーン、リン・アーサー；シーバッハ、J.アーサー・ジュニア（1995）[1978]、「位相幾何学における反例」（ 1978年版のドーバー再版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446