数理論理学の一分野であるモデル理論において、理論の存在的に閉じたモデル（または存在的に完全なモデル）の概念は、代数的に閉じた体（体の理論の場合）、実閉体（順序体の理論の場合）、存在的に閉じた群（群の理論の場合）、および端点のない稠密な線型順序（線型順序の理論の場合）の概念を一般化します。
意味
構造Nの部分構造Mがにおいて存在的に閉じている（またはにおいて存在的に完全である）と言われるのは、すべての量指定子を含まない式φ( x 1 , …, x n , y 1 ,…, y n )と、 φ( x 1 , …, x n , b 1 ,…, b n ) がNで実現されるようなMのすべての要素b 1 ,…, b nに対して、 φ( x 1 ,…, x n , b 1 ,…, b n ) もMで実現される場合です。言い換えると、Nにタプルa 1 ,…, a nがあり、 φ( a 1 ,…, a n , b 1 ,…, b n ) がNで成り立つ場合、そのようなタプルはMにも存在します。この概念は と表記されることが多いです。
理論TのモデルMがTにおいて存在的に閉じているとは、それ自体がTのモデルであるすべての上部構造Nにおいて存在的に閉じていることを意味する。より一般的には、構造Mが（それ自体がメンバーとして含まれる）構造のクラスKにおいて存在的に閉じているとは、 MがKのメンバーであるすべての上部構造Nにおいて存在的に閉じていることを意味する。
Kの元MのKにおける存在閉包は、存在する場合、同型を除いて、 Mの最も存在的に閉じていない上部構造である。より正確には、 Mの任意の外延的に閉じた上部構造M ∗であって、 Mの任意の存在的に閉じた上部構造Nに対して、M上の恒等同型を介してM ∗ がNの部分構造と同型となるものをいう。
例
σ = (+,×,0,1) を体の符号とする。すなわち、+ と × は2項関数記号、0 と 1 は定数記号である。Kを符号σを持つ体である構造のクラスとする。A が B の部分体である場合、A が B において存在的に閉じていることと、B に解を持つ A 上のすべての多項式系が A にも解を持つことは同値である。したがって、Kの存在的に閉じた元は、まさに代数的に閉じた体である。
同様に、順序体のクラスにおいては、存在閉構造は実閉体である。線型順序のクラスにおいては、存在閉構造は端点のない稠密な構造であるが、任意の可算な（空を含む）線型順序の存在閉包は、同型性を除き、端点のない可算な稠密全順序、すなわち有理数体の順序型である。
参照
参考文献
- チャン、チェン・チュン;キースラー、H.ジェローム(1990) [1973]、「モデル理論、論理と数学の基礎研究（第3版）」、エルゼビア、ISBN 978-0-444-88054-3
- ホッジス、ウィルフリッド（1997年）、短縮モデル理論、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-58713-6