拡大同相写像

数学において、拡張性の概念は、反復関数の作用下で点が互いに離れていくという概念を形式化したものです。拡張性の考え方は、以下に示す正の拡張性の定義やシュワルツ・アールフォース・ピックの定理からもわかるように、かなり厳密です。

意味

が距離空間である場合、同相写像は定数が存在するとき 拡張的であると言われる。${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle f\colon X\to X}$

${\displaystyle \varepsilon _{0}>0,}$

膨張定数と呼ばれるもので、内の点のペアごとに次の 整数が存在する。${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n}(y))\geq \varepsilon _{0}.}$

この定義では、は正または負になる可能性があり、したがって前方または後方方向に拡張される可能性があることに注意してください。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

空間 はコンパクトであると仮定されることが多い。なぜなら、その仮定の下では拡張性は位相的な特性だからである。つまり、が と同じ位相を生成する他の任意の計量である場合、が において拡張的である場合、 はにおいて拡張的である（拡張性定数は異なる可能性がある）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,d')}$

もし

${\displaystyle f\colon X\to X}$

が連続写像である場合 、${\displaystyle X}$

${\displaystyle \varepsilon_{0}}$

となるような、内の任意の に対して、となるような が 存在する。 ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n}(y))\geq \varepsilon _{0}}$

均一膨張定理

コンパクト計量空間の拡大同相写像fが与えられたとき、一様拡大定理は、任意のとに対して、となるようなが存在し、となるようなの点の各対に対して、となるようなが 存在することを述べている。${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y)>\epsilon }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \vert n\vert \leq N}$

${\displaystyle d(f^{n}(x),f^{n}(y))>c-\delta ,}$

ここでは の膨張定数である（証明）。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$

議論

正の拡張性は拡張性よりもはるかに強い。実際、がコンパクトで が正の拡張性同相写像であるとき、は有限であることが証明できる（証明）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

外部リンク

• scholarpediaの拡張力学系

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