ファン・デル・コルプット法

数学において、ファン・デル・コルプット法は指数和の推定値を生成します。この方法は、ファン・デル・コルプット過程AとBという2つの過程を適用し、これらの過程は和をより単純な和に関連付け、推定を容易にします。

このプロセスは、次の形式の指数和に適用される。

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}e(f(n))\ }$

ここでfは十分に滑らかな関数であり、e ( x )はexp(2πix )を表す。

プロセスA

プロセスAを適用するには、 f ( x + h )−f ( x )の最初の差fh ( x )_を書きます。

H ≤ b − aが存在し、

${\displaystyle \sum _{h=1}^{H}\left\vert {\sum _{n=a}^{b-h}e(f_{h}(n))}\right\vert \leq b-a\ .}$

それから

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {b-a}{\sqrt {H}}}\ .}$

プロセスB

プロセスBは、 fを含む和を、fの導関数で定義された関数gを含む和に変換する。f 'が単調増加で、f '( a ) = α、f '( b ) = βであるとする。すると、f 'は[α,β]上で逆関数uによって可逆となる。さらに、f '' ≥ λ > 0と 仮定する。

${\displaystyle g(y)=f(u(y))-yu(y)\ .}$

我々は持っています

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}\max _{\alpha \leq \gamma \leq \beta }\left\vert {\sum _{\nu =\alpha }^{\gamma }e(g(\nu ))}\right\vert \ .}$

gを含む合計にプロセス B を再度適用すると、fを含む合計に戻り、それ以上の情報は得られません。

指数ペア

指数対法は、特定の滑らかさを持つ関数の推定値のクラスを与える。パラメータN、R、T、s 、δを固定する。区間[ N、2N ]上で定義され、 R回連続微分可能で、かつ以下の式を満たす 関数fを考える。

${\displaystyle \left\vert {f^{(r+1)}(x)-(-1)^{r}s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}}\right\vert \leq \delta s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}\ }$

0 ≤ r < Rに対して[ a , b ] 上で一様。

0 ≤ k ≤ 1/2 ≤ l ≤ 1を満たす実数対 ( k , l ) が指数対であるとは、各 σ > 0 に対してk , l ,σ に依存したδ とR が存在し、

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll \left({\frac {T}{N^{\sigma }}}\right)^{k}N^{l}\ }$

fにおいて均一に。

プロセスAにより、( k , l ) が指数ペアであれば も指数ペアであることがわかります。プロセスBにより、 も指数ペアであることがわかります。 ${\displaystyle \left({{\frac {k}{2k+2}},{\frac {k+l+1}{2k+2}}}\right)}$ ${\displaystyle \left({l-1/2,k+1/2}\right)}$

自明な境界から、(0,1) は指数ペアであることがわかります。

指数ペアの集合は凸です。

( k , l ) が指数対である場合、臨界直線上のリーマンゼータ関数は次式を満たすこと が知られている。

${\displaystyle \zeta (1/2+it)\ll t^{\theta }\log t}$

どこ。 ${\displaystyle \theta =(k+l-1/2)/2}$

指数対予想は、すべての ε > 0 に対して、(ε,1/2+ε) の対は指数対であるとする。この予想はリンデレフ予想を示唆する。

参考文献

• イヴィッチ、アレクサンダル (1985).リーマンゼータ関数. リーマンゼータ関数の理論とその応用. ニューヨーク他: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80634-X. Zbl  0556.10026。
• モンゴメリー, ヒュー・L. (1994).解析的数論と調和解析の接点に関する10の講義. 数学地域会議シリーズ. 第84巻. プロビデンス, ロードアイランド州:アメリカ数学会. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001。
• サンダー、ヨージェフ。ミトリノヴィッチ、ドラゴスラフ S.クリスティチ、ボリスラフ編。 （2006年）。整数論ハンドブック I。ドルドレヒト: Springer-Verlag。ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300。