指数的に同等な尺度
数学的尺度における同値関係

数学において、測度の指数的同値性とは、大偏差理論の観点から、確率測度の 2 つのシーケンスまたはファミリが「同じ」であることを意味します。

意味

を計量空間とし、上の確率測度の2つの1パラメータ族、と を考える。これら2つの族は、以下の式が存在するとき 指数的に同値であると言われる。 （ M 、 d ） {\displaystyle (M,d)} M {\displaystyle M} （ μ ε ） ε > 0 {\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}} （ ν ε ） ε > 0 {\displaystyle (\nu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}

  • 確率空間の1パラメータ族、 （ Ω 、 Σ ε 、 P ε ） ε > 0 {\displaystyle (\Omega ,\Sigma _{\varepsilon },P_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}
  • 2つの-値確率変数族と、 M {\displaystyle M} （ はい ε ） ε > 0 {\displaystyle (Y_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}} （ Z ε ） ε > 0 {\displaystyle (Z_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}

そういう

  • 各 に対して、の-法則（すなわち、押し進める測度）はであり、の -法則はである。 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} P ε {\displaystyle P_{\varepsilon }} はい ε {\displaystyle Y_{\varepsilon}} μ ε {\displaystyle \mu _{\varepsilon }} P ε {\displaystyle P_{\varepsilon }} Z ε {\displaystyle Z_{\varepsilon }} ν ε {\displaystyle \nu _{\varepsilon }}
  • それぞれについて、「とがより離れている」は測定可能なイベント、すなわち δ > 0 {\displaystyle \delta >0} はい ε {\displaystyle Y_{\varepsilon}} Z ε {\displaystyle Z_{\varepsilon }} δ {\displaystyle \delta} Σ ε {\displaystyle \Sigma _{\varepsilon }}
{ ω ∈ Ω | d （ はい ε （ ω ） 、 Z ε （ ω ） ） > δ } ∈ Σ ε 、 {\displaystyle {\big \{}\omega \in \Omega {\big |}d(Y_{\varepsilon }(\omega ),Z_{\varepsilon }(\omega ))>\delta {\big \}}\in \Sigma _{\varepsilon },}
  • それぞれについて、 δ > 0 {\displaystyle \delta >0}
リムサップ ε ↓ 0 ε ログ ⁡ P ε （ d （ はい ε 、 Z ε ） > δ ） ＝ − ∞ 。 {\displaystyle \limsup _{\varepsilon \downarrow 0}\,\varepsilon \log P_{\varepsilon }{\big (}d(Y_{\varepsilon },Z_{\varepsilon })>\delta {\big )}=-\infty .}

2 つの確率変数ファミリーともまた、指数的に等価であるとされます。 （ はい ε ） ε > 0 {\displaystyle (Y_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}} （ Z ε ） ε > 0 {\displaystyle (Z_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}

プロパティ

指数同値性の主な用途は、大偏差原理に関する限り、指数同値な測度の族は区別できないという点です。より正確には、良好な速度関数に対して大偏差原理が成り立ち、と が指数同値である場合、同じ良好な速度関数 に対して同じ大偏差原理が成り立ちます。 （ μ ε ） ε > 0 {\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}} 私 {\displaystyle I} （ μ ε ） ε > 0 {\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}} （ ν ε ） ε > 0 {\displaystyle (\nu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}} （ ν ε ） ε > 0 {\displaystyle (\nu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}} 私 {\displaystyle I}

参考文献

  • デンボ、アミール；ゼイトゥニ、オフェル（1998年）『大偏差の手法と応用』『数学応用』（ニューヨーク）38（第2版）ニューヨーク：シュプリンガー出版社、pp. xvi+396、ISBN 0-387-98406-2. MR  1619036。（セクション4.2.2を参照）
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