指数ワイブル分布

統計学において、指数化ワイブル分布族は、2 番目の形状パラメータを追加することによって得られるワイブル分布族の拡張として、Mudholkar と Srivastava (1993) によって導入されました。

指数ワイブル分布の 累積分布関数は

${\displaystyle F(x;k,\lambda ;\alpha )=\left[1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\right]^{\​​alpha }\,}$

x > 0の場合 、F ( x ;  k ; λ;  α ) = 0 がx  < 0 の場合です。ここで、k  > 0 は最初の形状パラメータ、 α > 0 は 2 番目の形状パラメータ、 λ > 0 は分布の 尺度パラメータです。

密度は ​

${\displaystyle f(x;k,\lambda ;\alpha )=\alpha {\frac {k}{\lambda }}\left[{\frac {x}{\lambda }}\right]^{k-1}\left[1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\right]^{\​​alpha -1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

重要な特殊なケースが 2 つあります。

• α = 1 の場合、ワイブル分布になります。
• k = 1 の場合、指数分布になります。

背景

分布族は、単峰性、バスタブ型* ^[1]、および単調な故障率に対応します。 同様の分布が1984年にZacksによって導入され、ワイブル指数分布と呼ばれました（Zacks 1984）。 Crevecoeurは、老朽化し​​た機械装置の信頼性を評価するためにこれを導入し、バスタブ型の故障率に対応できることを示しました（1993、1994）。 Mudholkar、Srivastava、およびKollia（1996）は、一般化ワイブル分布を生存データに適用しました。彼らは、分布が増加、減少、バスタブ、および単峰性のハザード関数を持つことを示しました。 Mudholkar、Srivastava、およびFreimer（1995）、MudholkarとHutson（1996）、およびNassarとEissa（2003）は、指数ワイブル分布のさまざまな特性を検討しました。 (1995) は指数ワイブル分布を故障データのモデル化に適用しました。Mudholkar と Hutson (1996) は指数ワイブル分布を極値データに適用し、指数ワイブル分布には増加型、減少型、バスタブ型、単峰型のハザード率があることを示しました。Gupta と Kundu (1999, 2001) が提唱した指数型指数分布は、指数ワイブル族の特殊なケースです。その後、Choudhury (2005) によって EW 分布のモーメントが導出されました。また、M. Pal、MM Ali、J. Woo (2006) は EW 分布を研究し、故障率に関して 2 パラメータワイブル分布およびガンマ分布と比較しました。

参考文献

1. 「システムの進化と信頼性」Sysev（ベルギー）2010年1月1日。

• Choudhury, A. (2005). 「指数ワイブル分布のモーメントの簡単な導出」. Metrika . 62 (1): 17– 22. doi :10.1007/s001840400351.
• Crevecoeur, GU (1993). 「老朽化した修理可能なシステムの健全性評価モデル」IEEE Transactions on Reliability . 42 (1): 148– 155. doi :10.1109/24.210287.
• Crevecoeur, GU (1994). 「老朽化したオペレーティングシステムの信頼性評価」.ヨーロッパ機械工学ジャーナル. 39 (4): 219– 228.
• Liu, J.; Wang, Y. (2013). 「Crevecoeurのバスタブ型故障率モデルについて」.計算統計とデータ分析. 57 (1): 645– 660. doi :10.1016/j.csda.2012.08.002.
• Mudholkar, GS; Hutson, AD (1996). 「指数化ワイブル分布：いくつかの特性と洪水データへの応用」. Communications in Statistics - Theory and Methods . 25 : 3059–3083 . doi :10.1080/03610929608831886.
• Mudholkar, GS; Srivastava, DK (1993). 「バスタブの故障率データ解析のための指数化ワイブル分布」IEEE Transactions on Reliability . 42 (2): 299– 302. doi :10.1109/24.229504.
• Mudholkar, GS; Srivastava, DK; Freimer, M. (1995). 「指数化ワイブル分布：バスモーター故障データの再解析」. Technometrics . 37 (4): 436– 445. doi :10.2307/1269735. JSTOR  1269735.
• Nassar, MM; Eissa, FH (2003). 「指数化ワイブル分布について」. Communications in Statistics - Theory and Methods . 32 : 1317–1336 . doi :10.1081/STA-120021561.
• Pal, M.; Ali, MM; Woo, J. (2006). 「指数化ワイブル分布」. Statistica . 66 (2): 139– 147.
• Zacks, S. (1984). 「指数ワイブル寿命分布を持つシステムの摩耗への移行の推定」オペレーションズ・リサーチ. 32 (3): 741– 749. doi :10.1287/opre.32.3.741.

さらに読む

• Nadarajah, S.; Gupta, AK (2005). 「指数ワイブル分布のモーメントについて」. Communications in Statistics - Theory and Methods . 34 (2): 253– 256. doi :10.1081/STA-200047460.