拡張カルマンフィルタ

推定理論において、拡張カルマンフィルタ（EKF）は、カルマンフィルタの非線形版であり、現在の平均値と共分散の推定値を中心に線形化します。明確に定義された遷移モデルの場合、EKFは^{[ 1 ]}非線形状態推定、ナビゲーションシステム、GPSの理論における事実上の標準とみなされています。^{[ 2 ]}

歴史

カルマンフィルタの数学的基礎を確立した論文は、1959年から1961年にかけて発表された。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} カルマンフィルタは、遷移システムと測定システムの両方で加法的な独立ホワイトノイズを持つ線形 システムモデルの最適な線形推定量である。残念ながら、工学においては、ほとんどのシステムが非線形であるため、このフィルタリング手法を非線形システムに適用する試みがなされ、この作業のほとんどはNASAエイムズ研究センターで行われた。^{[ 6 ] [ 7 ]} EKFは、微積分学の手法、つまり多変数テイラー級数展開を採用し、動作点の周りでモデルを線形化する。システムモデル（後述するように）がよくわかっていないか不正確な場合は、モンテカルロ法、特に粒子フィルタが推定に使用される。モンテカルロ手法はEKFの存在より前からあるが、中程度の大きさの状態空間では計算コストが高くなる。

処方

拡張カルマン フィルタでは、状態遷移モデルと観測モデルは状態の線形関数である必要はなく、微分可能な関数になる場合があります。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}=f({\boldsymbol {x}}_{k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1})+{\boldsymbol {w}}_{k-1}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}=h({\boldsymbol {x}}_{k})+{\boldsymbol {v}}_{k}}$

ここで、w _kとv _{k は}プロセスノイズと観測ノイズであり、どちらも共分散がそれぞれQ _kとR _kであるゼロ平均の多変量ガウスノイズであると想定されます。u _kは制御ベクトルです。

関数fは、前回の推定値から予測状態を計算するために使用でき、同様に関数hは、予測状態から予測測定値を計算するために使用できます。ただし、fとh を共分散に直接適用することはできません。代わりに、偏微分行列（ヤコビアン）が計算されます。

各時間ステップにおいて、ヤコビ行列は現在の予測状態を用いて評価されます。これらの行列はカルマンフィルタ方程式で使用できます。このプロセスは、基本的に非線形関数を現在の推定値を中心に線形化します。

表記上の注意については、 カルマン フィルタの記事を参照してください。

離散時間予測および更新方程式

表記は、時刻m ≤ nまでの観測値に基づく時刻nにおけるの推定値を表します。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

予測する

予測された状態の推定	${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}=f({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1})}$
予測共分散推定値	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{k|k-1}={{\boldsymbol {F}}_{k}}{\boldsymbol {P}}_{k-1|k-1}{{\boldsymbol {F}}_{k}^{T}}+{\boldsymbol {Q}}_{k-1}}$

アップデート

イノベーションまたは測定残余	${\displaystyle {\チルダ {\boldsymbol {y}}}_{k}={\boldsymbol {z}}_{k}-h({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1})}$
イノベーション（または残差）共分散	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{k}={{\boldsymbol {H}}_{k}}{\boldsymbol {P}}_{k|k-1}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}}+{\boldsymbol {R}}_{k}}$
ほぼ最適なカルマンゲイン	${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{k}={\boldsymbol {P}}_{k|k-1}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}}{\boldsymbol {S}}_{k}^{-1}}$
更新された州の推定	${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k}={\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}+{\boldsymbol {K}}_{k}{\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}}$
更新された共分散推定値	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{k|k}=({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {K}}_{k}{{\boldsymbol {H}}_{k}}){\boldsymbol {P}}_{k|k-1}}$

ここで、状態遷移行列と観測行列は、次のヤコビ行列として定義される。

${\displaystyle {{\boldsymbol {F}}_{k}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1}}}$

${\displaystyle {{\boldsymbol {H}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}$

デメリットと代替案

線形カルマンフィルタとは異なり、拡張カルマンフィルタは一般に最適な推定値ではありません（測定と状態遷移モデルが両方とも線形である場合は最適であり、その場合、拡張カルマンフィルタは通常のフィルタと同一になります）。さらに、状態の初期推定値が誤っている場合、またはプロセスが誤ってモデル化されている場合、線形化のためにフィルタは急速に発散する可能性があります。拡張カルマンフィルタのもう一つの問題は、推定された共分散行列が真の共分散行列を過小評価する傾向があり、「安定化ノイズ」を追加しないと統計的な意味で 矛盾が生じるリスクがあることです^{[ 8 ]} 。

より一般的には、非線形フィルタリング問題の無限次元性、および最適なフィルタを完全に表現するための単純な平均および分散共分散推定量の不十分さを考慮する必要があります。また、拡張カルマンフィルタは、立方体センサ^{[ 9 ]などの非常に単純な1次元システムであってもパフォーマンスが低い場合があり、最適なフィルタは双峰性[ 10 ]}であるため、豊富な構造を持つ単一の平均および分散推定量では効果的に表現できないことにも注意する必要があります。二次元のセンサでも同様です。^{[ 11 ]} このような場合、投影フィルタが代替手段として研究されており、ナビゲーションにも適用されています。^{[ 12 ]}この場合、完全粒子フィルタなどの他の一般的な非線形フィルタリング手法を検討できます。

このように述べた上で、拡張カルマン フィルタは妥当なパフォーマンスを発揮することができ、ナビゲーション システムと GPS における 事実上の標準であると言えます。

一般化

連続時間拡張カルマンフィルタ

モデル

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} (t)&=h{\bigl (}\mathbf {x} (t){\bigr )}(t)\end{aligned}}}$

初期化

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}{\text{, }}\mathbf {P} (t_{0})=Var{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}}$

予測更新

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)&=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {K} (t){\Bigl (}\mathbf {z} (t)-h{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t){\bigr )}{\Bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{T}-\mathbf {K} (t)\mathbf {H} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {Q} (t)\\\mathbf {K} (t)&=\mathbf {P} (t)\mathbf {H} (t)^{T}\mathbf {S} (t)^{-1}\\\mathbf {F} (t)&=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}\\\mathbf {H} (t)&=\left.{\frac {\partial h}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t)}\end{aligned}}}$

離散時間拡張カルマンフィルタとは異なり、連続時間拡張カルマンフィルタでは予測ステップと更新ステップが結合されている。^{[ 13 ]}

離散時間測定

ほとんどの物理システムは連続時間モデルとして表現されるが、離散時間測定はデジタルプロセッサによる状態推定のために頻繁に行われる。したがって、システムモデルと測定モデルは次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {w} (t)&\mathbf {w} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} _{k}&=h(\mathbf {x} _{k})+\mathbf {v} _{k}&\mathbf {v} _{k}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\mathbf {R} _{k})\end{aligned}}}$

どこ。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})}$

初期化

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0|0}=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]},\mathbf {P} _{0|0}=E{\bigl [}\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)^{T}{\bigr ]}}$

予測する

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{solve }}&{\begin{cases}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{T}+\mathbf {Q} (t)\end{cases}}\qquad {\text{with }}{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}(t_{k-1})={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1|k-1}\\\mathbf {P} (t_{k-1})=\mathbf {P} _{k-1|k-1}\end{cases}}\\\Rightarrow &{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}={\hat {\mathbf {x} }}(t_{k})\\\mathbf {P} _{k|k-1}=\mathbf {P} (t_{k})\end{cases}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {F} (t)=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}}$

アップデート

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}{\bigl (}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}+\mathbf {R} _{k}{\bigr )}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {K} _{k}{\bigl (}\mathbf {z} _{k}-h({\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}){\bigr )}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k|k-1}}$

どこ

${\displaystyle {\textbf {H}}_{k}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\textbf {x}}}}\right\vert _{{\hat {\textbf {x}}}_{k|k-1}}}$

更新方程式は離散時間拡張カルマンフィルタのものと同一である。^{[ 14 ]}

高次拡張カルマンフィルタ

上記の再帰は、1次の拡張カルマンフィルタ（EKF）です。テイラー級数展開の項をさらに多く保持することで、より高次のEKFを実現できます。例えば、2次および3次のEKFが報告されています。^{[ 14 ]}しかし、高次のEKFは、測定ノイズが小さい場合にのみ性能上の利点をもたらす傾向があります。

非加法性ノイズの定式化と方程式

EKFの典型的な定式化では、加法的なプロセスノイズと測定ノイズが仮定されます。しかし、この仮定はEKFの実装には必須ではありません。^{[ 15 ]} 代わりに、より一般的な以下のシステムを考えてみましょう。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}=f({\boldsymbol {x}}_{k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1},{\boldsymbol {w}}_{k-1})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}=h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {v}}_{k})}$

ここで、w _kとv _kはプロセスノイズと観測ノイズであり、それぞれ共分散Q _kとR _kを持つ平均ゼロの多変量ガウスノイズであると仮定する。すると、共分散予測方程式とイノベーション方程式は次のようになる 。

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{k|k-1}={{\boldsymbol {F}}_{k-1}}{{\boldsymbol {P}}_{k-1|k-1}}{{\boldsymbol {F}}_{k-1}^{T}}{+}{{\boldsymbol {L}}_{k-1}}{{\boldsymbol {Q}}_{k-1}}{{\boldsymbol {L}}_{k-1}^{T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{k}={{\boldsymbol {H}}_{k}}{{\boldsymbol {P}}_{k|k-1}}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}}{+}{{\boldsymbol {M}}_{k}}{{\boldsymbol {R}}_{k}}{{\boldsymbol {M}}_{k}^{T}}}$

ここで行列と行列はヤコビ行列である。 ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{k-1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{k}}$

${\displaystyle {{\boldsymbol {L}}_{k-1}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {w}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1}}}$

${\displaystyle {{\boldsymbol {M}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}$

予測された状態推定値と測定残差は、プロセスノイズ項と測定ノイズ項の平均で評価され、この平均はゼロであると仮定されます。それ以外の場合、非加法ノイズ定式化は加法ノイズEKFと同じ方法で実装されます。

暗黙的拡張カルマンフィルタ

場合によっては、非線形システムの観測モデルは については解くことができませんが、暗黙の関数によって表現できます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}}$

${\displaystyle h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z'}}_{k})={\boldsymbol {0}}}$

ノイズの多い観測は どこにありますか。${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}={\boldsymbol {z'}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}}$

従来の拡張カルマンフィルタは、以下の置換を適用することで適用できる。^{[ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle {{\boldsymbol {R}}_{k}}\leftarrow {{\boldsymbol {J}}_{k}}{{\boldsymbol {R}}_{k}}{{\boldsymbol {J}}_{k}^{T}}}$

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}\leftarrow -h({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1},{\boldsymbol {z}}_{k})}$

どこ：

${\displaystyle {{\boldsymbol {J}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {z}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1},{\boldsymbol {z}}_{k}}}$

ここでは、元の観測共分散行列が変換され、イノベーションは異なる方法で定義されます。ヤコビ行列は前と同じように定義されますが、暗黙の観測モデルから決定されます。 ${\displaystyle {{\boldsymbol {R}}_{k}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}}$ ${\displaystyle {{\boldsymbol {H}}_{k}}}$ ${\displaystyle h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z}}_{k})}$

修正と代替案

反復拡張カルマンフィルタ

反復拡張カルマンフィルタは、テイラー展開の中心点を再帰的に修正することで、拡張カルマンフィルタの線形化を改善する。これにより、計算量の増加はあるものの、線形化誤差は低減される。^{[ 17 ]}

ロバスト拡張カルマンフィルタ

ロバストな拡張カルマンフィルタは、信号モデルを現在の状態推定値に関して線形化し、線形カルマンフィルタを用いて次の推定値を予測することによって実現されます。この手法は局所的に最適なフィルタを生成しようとしますが、基礎となるリカッチ方程式の解が正定値であるとは限らないため、必ずしも安定ではありません。性能を向上させる方法の一つとして、最適性と安定性をトレードオフする擬似代数リカッチ法 ^{[ 18 ]}があります。拡張カルマンフィルタの一般的な構造は維持されますが、ゲイン設計に 擬似代数リカッチ方程式 の正定値解を選択することで安定性が実現されます。

拡張カルマンフィルタの性能を向上させるもう一つの方法は、ロバスト制御から得られるH無限大の結果を利用することである。ロバストフィルタは、設計リカッチ方程式に正定値項を追加することで得られる。^{[ 19 ]}この追加項はスカラー値によってパラメータ化され、設計者はこれを調整することで、平均二乗誤差とピーク誤差の性能基準との間のトレードオフを実現することができる。

不変拡張カルマンフィルタ

不変拡張カルマンフィルタ（IEKF）は、対称性（または不変性）を持つ非線形システム用のEKFの改良版です。これは、EKFと最近導入された対称性保持フィルタの両方の利点を兼ね備えています。IEKFは、線形出力誤差に基づく線形補正項を使用する代わりに、不変出力誤差に基づく幾何学的に適応された補正項を使用します。同様に、ゲイン行列は線形状態誤差からではなく、不変状態誤差から更新されます。主な利点は、EKFの場合と同様に、ゲイン方程式と共分散方程式が平衡点よりもはるかに大きな軌跡セット上で定数値に収束するため、推定値の収束性が向上することです。

無香料カルマンフィルタ

EKFの改良版として有望な非線形カルマンフィルタとして、アンセンテッド・カルマンフィルタ（UKF）が挙げられます。UKFでは、確率密度は、ガウス分布を表す点の決定論的サンプリングによって近似されます。これらの点の非線形変換は、事後分布の推定を目的としており、事後分布のモーメントは変換されたサンプルから導出できます。この変換はアンセンテッド変換と呼ばれます。UKFは、あらゆる方向における誤差の推定において、EKFよりも堅牢で正確である傾向があります。

拡張カルマンフィルタ（EKF）は、非線形システムにおいて最も広く用いられている推定アルゴリズムと言えるでしょう。しかし、推定コミュニティにおける35年以上の経験から、EKFは実装が難しく、調整も困難であり、更新の時間スケールにおいてほぼ線形なシステムに対してのみ信頼できることが分かっています。これらの困難の多くは、EKFの線形化の使用に起因しています。^{[ 1 ]}

2012年の論文には、UKFのいくつかの公開されている変種が、拡張カルマンフィルタとしても知られる2次拡張カルマンフィルタ（SOEKF）ほど正確ではないことを示唆するシミュレーション結果が含まれています。^{[ 20 ]} SOEKFは、Bassらによって最初に説明されたモーメントダイナミクスとともに、UKFより約35年前に登場しました。^{[ 21 ]} 非線形状態遷移にカルマン型フィルタを実装する際の難しさは、精度に必要な数値的安定性の問題に起因します。 ^{[ 22 ]} ただし、UKFも線形化、つまり線形回帰を使用しているため、この問題からは逃れられません。 UKFの安定性の問題は一般に、共分散行列の平方根への数値近似に起因しますが、EKFとSOEKFの両方の安定性の問題は、軌跡に沿った テイラー級数近似で起こり得る問題に起因します。

アンサンブルカルマンフィルタ

UKF は、実際には1994 年に Evensen が発明したアンサンブル カルマン フィルタよりも古いものです。UKF と比較すると、アンサンブル メンバーの数が状態次元よりはるかに小さくて済むという利点があり、状態空間のサイズが 10 億以上になる天気予報などの非常に高次元のシステムに適用できます。

ファジィカルマンフィルタ

可能性分布を表現する新しい方法を備えたファジィカルマンフィルタは、確率分布を可能性分布に置き換えて真の可能性フィルタを得るために最近提案され、非対称のプロセスと観測ノイズの使用を可能にし、プロセスモデルと観測モデルの両方でより高い不正確さを可能にしました。 ^{[ 23 ]}

参照

• カルマンフィルタ
• アンサンブルカルマンフィルタ
• 高速カルマンフィルタ
• 不変拡張カルマンフィルタ
• 移動地平線の推定
• 粒子フィルター
• 無香料カルマンフィルタ
• 非線形フィルタリング問題
• 投影フィルター

参考文献

1. Julier, SJ; Uhlmann, JK (2004). 「アンセンテッドフィルタリングと非線形推定」(PDF) . Proceedings of the IEEE . 92 (3): 401– 422. doi : 10.1109/jproc.2003.823141 . S2CID  9614092 .
2. Courses, E.; Surveys, T. (2006). 「シグマポイントフィルタ：統合ナビゲーションおよび視覚支援制御への応用に関する概要」2006 IEEE 非線形統計信号処理ワークショップpp.  201– 202. doi : 10.1109/NSSPW.2006.4378854 . ISBN 978-1-4244-0579-4. S2CID  18535558 .
3. RE Kalman (1960). 「最適制御理論への貢献」. Bol. Soc. Mat. Mexicana : 102– 119. CiteSeerX 10.1.1.26.4070 . 
4. RE Kalman (1960). 「線形フィルタリングと予測問題への新しいアプローチ」(PDF) . Journal of Basic Engineering . 82 : 35–45 . doi : 10.1115/1.3662552 . S2CID 1242324 . 
5. RE Kalman; RS Bucy (1961). 「線形フィルタリングと予測理論における新たな成果」(PDF) . Journal of Basic Engineering . 83 : 95–108 . doi : 10.1115/1.3658902 . S2CID 8141345 . 
6. Bruce A. McElhoe (1966). 「火星または金星への有人フライバイにおける航法と進路修正の評価」IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems . 2 (4): 613– 623. Bibcode : 1966ITAES...2..613M . doi : 10.1109/TAES.1966.4501892 . S2CID 51649221 . 
7. GL Smith、SF Schmidt、LA McGee (1962). 「統計フィルタ理論の応用による周月探査機の位置と速度の最適推定」アメリカ航空宇宙局.
8. Huang, Guoquan P; Mourikis, Anastasios I; Roumeliotis, Stergios I (2008). 「拡張カルマンフィルタに基づくSLAMの一貫性の分析と改善」. Robotics and Automation, 2008. ICRA 2008. IEEE International Conference on . pp.  473– 479. doi : 10.1109/ROBOT.2008.4543252 .
9. M. Hazewinkel, SI Marcus, HJ Sussmann (1983). 立方体センサ問題の条件付き統計に対する有限次元フィルタの非存在性. Systems & Control Letters 3(6), 331-340ページ, https://doi.org/10.1016/0167-6911(83)90074-9 .
10. Brigo, Damiano ; Hanzon, Bernard ; LeGland, Francois (1998). 「非線形フィルタリングへの微分幾何学的アプローチ：射影フィルタ」（PDF） . IEEE Transactions on Automatic Control . 43 (2): 247– 252. doi : 10.1109/9.661075 .
11. Armstrong, John; Brigo, Damiano (2016). 「L2直接計量における混合多様体への確率的偏微分方程式射影による非線形フィルタリング」.制御・信号・システム数学. 28 (1): 1– 33. arXiv : 1303.6236 . Bibcode : 2016MCSS...28....5A . doi : 10.1007/s00498-015-0154-1 . hdl : 10044/1/30130 . S2CID 42796459 . 
12. アジミ・サジャディ、ババク;クリシュナプラサド、PS (2005)。 「近似非線形フィルタリングとナビゲーションにおけるその応用」。オートマチック。41 (6): 945–956。土井: 10.1016/j.automatica.2004.12.013。
13. ブラウン、ロバート・グローバー、ファン、パトリック・YC (1997).ランダム信号と応用カルマンフィルタ入門（第3版）. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp.  289–293 . ISBN 978-0-471-12839-7。
14. Einicke, GA (2019).スムージング、フィルタリング、予測：過去、現在、未来の推定（第2版） . Amazon Prime Publishing. ISBN 978-0-6485115-0-2。
15. サイモン、ダン（2006年）『最適状態推定』ホーボーケン、ニュージャージー州：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-70858-2。
16. Quan, Quan (2017).マルチコプターの設計と制御入門. シンガポール: Springer. ISBN 978-981-10-3382-7。
17. Zhang, Zhengyou (1997). 「パラメータ推定技術：円錐フィッティングへの応用を含むチュートリアル」（PDF） . Image and Vision Computing . 15 (1): 59– 76. doi : 10.1016/s0262-8856(96)01112-2 . ISSN 0262-8856 . 
18. Einicke, GA; White, LB; Bitmead, RR (2003年9月). 「同一チャネル復調における偽代数リカッチ方程式の利用」. IEEE Trans. Signal Process . 51 (9): 2288– 2293. Bibcode : 2003ITSP...51.2288E . doi : 10.1109/tsp.2003.815376 . hdl : 2440/2403 .
19. Einicke, GA; White, LB (1999年9月). 「ロバスト拡張カルマンフィルタリング」. IEEE Trans. Signal Process . 47 (9): 2596– 2599. Bibcode : 1999ITSP...47.2596E . doi : 10.1109/78.782219 .
20. Gustafsson, F.; Hendeby, G.; 「拡張カルマンフィルタと無香料カルマンフィルタの関係」、信号処理、IEEE Transactions on、vol.60、no.2、pp.545-555、2012年2月
21. R. Bass、V. Norum、L. Schwartz、「最適多チャネル非線形フィルタリング（確率的擾乱を受けるn次元非線形システムの状態の最小分散推定の最適多チャネル非線形フィルタリング問題）」、J. Mathematical Analysis and Applications、第16巻、152～164頁、1966年
22. Mohinder S. Grewal; Angus P. Andrews (2015年2月2日). 『カルマンフィルタリング：MATLABによる理論と実践』 John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-98496-3。
23. Matía, F.; Jiménez, V.; Alvarado, BP; Haber, R. (2021年1月). 「ファジーカルマンフィルタ：不確実性表現の再定式化による実装の改善」. Fuzzy Sets Syst . 402 : 78–104 . doi : 10.1016/j.fss.2019.10.015 . S2CID 209913435 . 

さらに読む

• アンダーソン, BDO; ムーア, JB (1979).最適フィルタリング. ニュージャージー州エングルウッドクリフス: プレンティス・ホール.

• ゲルブ, A. (1974).応用最適推定. MITプレス.

• ジャズウィンスキー、アンドリュー・H. (1970).確率過程とフィルタリング. 科学と工学における数学. ニューヨーク:アカデミック・プレス. pp.  376. ISBN 978-0-12-381550-7。

• Maybeck, Peter S. (1979).確率モデル、推定、制御. 科学と工学における数学. 第 141-1巻.ニューヨーク: Academic Press . p. 423. ISBN 978-0-12-480701-3。

外部リンク

• オドメトリとランドマークに基づく差動車輪ロボットの位置推定