外共変微分

微分幾何学という数学の分野において、外共変微分は、接続を持つ微分可能な主束またはベクトル束の設定に対する外微分の概念の拡張である。

意味

G をリー群とし、P → Mを滑らかな多様体M上の主G束とする。P上に接続があると仮定すると、各接空間を水平部分空間と垂直部分空間に自然に直接和分解することができる。水平部分空間への射影を とする。 ${\displaystyle T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}}$ ${\displaystyle h:T_{u}P\to H_{u}}$

ϕ がベクトル空間Vに値を持つP上のk形式である場合、その外共変微分Dϕ は次のように定義される形式である。

${\displaystyle D\phi (v_{0},v_{1},\dots ,v_{k})=d\phi (hv_{0},hv_{1},\dots ,hv_{k})}$

ここで、v _iはuにおけるPの接線ベクトルです。

ρ  : G → GL( V )がベクトル空間V上のGの表現であるとする。ϕが次の意味で 同変であるならば、

${\displaystyle R_{g}^{*}\phi =\rho (g)^{-1}\phi }$

ここで、DϕはP上のρ型のテンソル( k + 1)形式です。これは同変かつ水平です (形式ψが水平である場合、ψ ( v ₀、...、v _k ) = ψ ( hv ₀、...、hv _k )です)。 ${\displaystyle R_{g}(u)=ug}$

表記法を乱用すると、単位元におけるρの微分は再びρと表記される。

${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

を接続1形式とし、接続の表現をとします。つまり、 は水平部分空間上では消える-値形式です。ϕがρ型のテンソルk -形式である場合、 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \rho (\omega )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V).}$ ${\displaystyle \rho (\omega )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

${\displaystyle D\phi =d\phi +\rho (\omega )\cdot \phi ,}$ ^[1]

ここで、リー代数値微分形式§演算の表記に従って、次のように書きました。

${\displaystyle (\rho (\omega )\cdot \phi )(v_{1},\dots ,v_{k+1})={1 \over (1+k)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\rho (\omega (v_{\sigma (1)}))\phi (v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k+1)}).}$

通常の外微分は0に2乗するが、共変外微分は0に2乗しない。一般に、テンソル零形式ϕに対して、

${\displaystyle D^{2}\phi =F\cdot \phi .}$ ^[2]

ここで、F = ρ (Ω)は、曲率二形式Ωのにおける表現^{[明確化が必要]}である。形式 F は、電磁気学における役割に倣って、場の強度テンソルと呼ばれることもある。平坦接続（すなわちΩ = 0のとき） ではD ^{2 は}ゼロになる点に注意されたい。${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

ρ  : G → GL( R ⁿ )ならば、次のように書ける。

${\displaystyle \rho (\Omega )=F=\sum {F^{i}}_{j}{e^{j}}_{i}}$

ここで、 は( i , j )番目の要素が 1 で、その他の要素が 0 である行列です。P 上の 2 次元形式である行列は曲率行列と呼ばれます。 ${\displaystyle {e^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {F^{i}}_{j}}$

ベクトル束の場合

接続∇と階数rを持つ滑らかな実ベクトル束E → Mが与えられた場合、外共変微分はEに値を持つベクトル値微分形式上の実線型写像である。

${\displaystyle d^{\nabla }:\Omega ^{k}(M,E)\to \Omega ^{k+1}(M,E).}$

共変微分はk = 0に対するそのような写像である。外共変微分は、この写像を一般のkに拡張する。この対象を定義するには、いくつかの同値な方法がある。

• ^[3]ベクトル値微分2形式が各pに完全に反対称な多重線型写像s _p : T _p M × T _p M → E _pを割り当てるものと仮定する。すると、外共変微分d ^∇ sは各pに次式で与えられる多重線型写像T _p M × T _p M × T _p M → E _{pを割り当てる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{x_{1}}(s(X_{2},X_{3}))&-\nabla _{x_{2}}(s(X_{1},X_{3}))+\nabla _{x_{3}}(s(X_{1},X_{2}))\\&-s([X_{1},X_{2}],x_{3})+s([X_{1},X_{3}],x_{2})-s([X_{2},X_{3}],x_{1}).\end{aligned}}}$

ここで、 x ₁、x ₂、x ₃は、滑らかな局所定義ベクトル場X ₁、X ₂ X ₃に拡張される、 pにおける任意の接ベクトルです。この定義の正当性は、上記の式がx ₁、x ₂、x ₃のみに依存し、拡張の選択には依存しないという事実に依存します。これは、共変微分とベクトル場のリー括弧に関するライプニッツの規則によって検証できます。上記の式でk = 2 の場合に確立されたパターンは、任意のkに対する外共変微分を定義するために直接拡張できます。

• ^{[4]外共変微分は、各}kに対して実線型写像Ω ^k ( M , E ) → Ω ^{k + 1} ( M , E )を定義するという公理的な性質によって特徴付けられる。これはk = 0に対して共変微分であり、一般にライプニッツ則を満たす。

${\displaystyle d^{\nabla }(\omega \wedge s)=(d\omega )\wedge s+(-1)^{k}\omega \wedge (d^{\nabla }s)}$

任意の微分k形式ωと任意のベクトル値形式sに対して、この定義は直接的な帰納的定義とも言える。例えば、任意のベクトル値微分1形式sとベクトル束の任意の局所座標e ₁ , ..., e _rに対して、 sの座標は局所的に定義された微分1形式ω ¹ , ..., ω ^rである。上記の帰納的公式は^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{\nabla }s&=d^{\nabla }(\omega ^{1}e_{1}+\cdots +\omega ^{r}e_{r})\\&=(d\omega ^{1})e_{1}+\cdots +(d\omega ^{r})e_{r}-\omega ^{1}\nabla e_{1}-\cdots -\omega ^{r}\nabla e_{r}.\end{aligned}}}$

これがd ^∇ sの正当な定義となるためには、局所座標系の選択が無関係であることを証明する必要がある。これは、任意の基底変換行列によって得られる第二の局所座標系を考えることで確認できる。この逆行列は、 1-形式ω ₁ , ..., ω _rの基底変換行列を与える。上記の式に代入すると、標準外微分と共変微分∇に適用されるライプニッツ則によって、この任意の選択は打ち消される。

• ^[6]ベクトル値微分2形式sは^、 ​​Mの局所座標チャート上のEの任意の局所フレームに割り当てられた関数sαijの特定の集合とみなすことができます。外共変微分は、関数によって与えられると定義されます_。

${\displaystyle (d^{\nabla }s)^{\alpha }{}_{ijk}=\nabla _{i}s^{\alpha }{}_{jk}-\nabla _{j}s^{\alpha }{}_{ik}+\nabla _{k}s^{\alpha }{}_{ij}.}$

これがEで値を取るテンソル場を定義するという事実は、共変微分に対する同じ事実の直接的な帰結です。これがEで値を取る微分 3 形式であるというさらなる事実は、 i、j、kにおける完全な反対称性を主張し、上記の式と、sがベクトル値微分 2 形式であるためs ^α _ij = − s ^α _jiであるという文脈上の仮定から直接検証されます。 k = 2の場合のこの外共変微分の定義のパターンは、kのより大きな値に直接拡張できます。この定義は、 E
の任意のローカル フレームで表現することもできますが、 M上の座標は考慮しません。すると、ベクトル値微分 2 形式は微分 2 形式s ¹、...、s ^rで表現され、接続は接続 1 形式、つまり微分 1 形式の歪対称r × r行列θ _α ^βで表現されます。sの外共変微分はベクトル値の微分3次元形式として、局所フレームに対してr個の微分3次元形式で表される。r個の微分3次元形式は次のように定義される。

${\displaystyle (d^{\nabla }s)^{\alpha }=d(s^{\alpha })+\theta _{\beta }{}^{\alpha }\wedge s^{\beta }.}$

標準的な接続を持つ自明な実数直線束ℝ × M → Mの場合、ベクトル値微分形式と微分形式は自然に同一視でき、上記の各定義は標準的な外微分と一致する。

主束が与えられたとき、構造群の任意の線型表現は随伴束を定義し、主束上の任意の接続は随伴ベクトル束上の接続を誘導する。ベクトル束に値を持つ微分形式は、主束の全空間上の完全反対称テンソル形式と自然に同一視できる。この同一視のもとで、主束とベクトル束の外共変微分の概念は互いに一致する。^[7]

ベクトル束上の接続の曲率は、2つの外共変微分 Ω 0 ( M , E ) → Ω 1 ( M , E ) と Ω 1 ( M , E ) → Ω 2 ( M , E ) の合成として定義できる^ため、実線型写像F : Ω ⁰ ( M , E ) → Ω ² ( M , E )として定義されます。 F ⁽ s ) p : T ^p M × T p M → E pが_s ( p ₎のみに依存_し、線形で^あることは、基本的ではあるもののすぐには明らかではない事実です。そのため、曲率はΩ ² ( M , End( E ))の元と見なすことができます。外共変微分がどのように定式化されるかによって、_曲率のさまざまな代替的だが同等な定義（外微分という言語を使用しない定義もいくつかあります）が得られます 。

標準外微分とそれ自身との合成が零であることはよく知られた事実である：d ( d ω) = 0 。本文脈では、これは自明な直線束ℝ × M → M上の標準接続が零曲率を持つと言っているとみなせる。

共変微分を含むいくつかの方程式は、Chenの反復積分^[8]や線形ホモトピー演算子に基づくアプローチを使用して局所的に解くことができます。^[9]

例

• ビアンキの2番目の恒等式は、Ω の外共変微分がゼロ（つまり、D Ω = 0）であると述べており、次のように表すことができます。${\displaystyle d\Omega +\operatorname {ad} (\omega )\cdot \Omega =d\Omega +[\omega \wedge \Omega ]=0}$

注記

1. k = 0の場合、 P上のXによって生成される基本ベクトル場（つまり、垂直ベクトル場）について書くと、次のようになります。 ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

   ${\displaystyle d\phi (X_{u}^{\#})=\left.{d \over dt}\right\vert _{0}\phi (u\operatorname {exp} (tX))=-\rho (X)\phi (u)=-\rho (\omega (X_{u}^{\#}))\phi (u)}$ 、

   ϕ ( gu ) = ρ ( g ⁻¹ ) ϕ ( u ) であるためです。一方、Dϕ ( X ^# ) = 0 です。Xが水平接ベクトルの場合、およびになります。一般的なケースでは、X _iを、いくつかが水平で残りが垂直であるような、ある点におけるPへの接ベクトルとします。X _iが垂直の場合、これをリー代数元として考え、これによって生成される基本ベクトル場と同一視します。X _iが水平の場合、これを、押し進める π X _iを拡張するベクトル場の水平方向の揚力で置き換えます。このようにして、X i をベクトル場に拡張しました。_この拡張は、 X _iが水平でX _jが垂直の場合、[ X _i、X _j ] = 0となることに注意してください。最後に、外微分 の不変式により、次を得ます。 ${\displaystyle D\phi (X)=d\phi (X)}$ ${\displaystyle \omega (X)=0}$

   ${\displaystyle D\phi (X_{0},\dots ,X_{k})-d\phi (X_{0},\dots ,X_{k})={1 \over k+1}\sum _{0}^{k}(-1)^{i}\rho (\omega (X_{i}))\phi (X_{0},\dots ,{\widehat {X_{i}}},\dots ,X_{k})}$ 、

   それは です。${\displaystyle (\rho (\omega )\cdot \phi )(X_{0},\cdots ,X_{k})}$
2. 証明: ρ はωの定数部に作用するので、 dと可換であり、したがって

   ${\displaystyle d(\rho (\omega )\cdot \phi )=d(\rho (\omega ))\cdot \phi -\rho (\omega )\cdot d\phi =\rho (d\omega )\cdot \phi -\rho (\omega )\cdot d\phi }$ 。

   そして、リー代数値微分形式§演算 の例によれば、

   ${\displaystyle D^{2}\phi =\rho (d\omega )\cdot \phi +\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \phi )=\rho (d\omega )\cdot \phi +{1 \over 2}\rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \phi ,}$

   これはE.カルタンの構造方程式によるものである。${\displaystyle \rho (\Omega )\cdot \phi }$
3. Besse 1987、セクション 1.12;コラーシュ、ミホル、スロバキア語、1993 年、セクション 11.13。
4. Donaldson & Kronheimer 1990, p. 35; Eguchi, Gilkey & Hanson 1980, p. 281; Jost 2017, p. 169; Taylor 2011, p. 547.
5. ミルナー＆スタシェフ 1974年、292～293頁。
6. Eells & Sampson 1964、セクション3.A.3; Penrose & Rindler 1987、p.263。
7. コラーシュ、ミホル、スロバキア語、1993 年、112–114 ページ。
8. 陳, 郭蔡 (1973). 「微分形式の反復積分とループ空間ホモロジー」 . Annals of Mathematics . 97 (2): 217– 246. doi :10.2307/1970846. ISSN  0003-486X.
9. Kycia, Radosław Antoni; Šilhan, Josef (2025-05-21). 「共変外微分の反転」. Analysis and Mathematical Physics . 15 (4): 82. doi : 10.1007/s13324-025-01085-3 . ISSN  1664-235X.

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