FK空間

関数解析および関連する数学の分野において、FK空間またはフレシェ座標空間は、位相構造を備えたシーケンス空間であり、フレシェ空間となる。^[1]規範可能な位相を持つFK空間はBK空間と呼ばれる。

列空間をフレシェ空間に変換する位相はただ一つ、すなわち点収束の位相のみ存在します。FK空間内の列が収束するのは、各座標について収束する場合のみであるため、 この空間は座標空間と呼ばれます。

FK空間は位相ベクトル空間の例であり、総和可能性理論において重要な意味を持つ。

意味

FK空間はのシーケンス空間であり、すべての複素数値シーケンスのベクトル空間の線形部分空間であり、点ごとの収束の位相を備えています。 ${\displaystyle X}$

の要素をのように 書きます。 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$$ ${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {C} }$

すると、各について点ごとに収束する場合、数列はある点に収束する。つまり、 すべてのについて収束する場合である。${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }^{(k)}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n.}$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }^{(k)}=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{n}^{(k)}=x_{n}}$$

例

すべての複素数値シーケンスのシーケンス空間は、当然 FK 空間です。 ${\displaystyle \omega }$

プロパティ

および点ごとの収束の位相を持つの FK 空間が与えられると、包含写像は連続関数 になります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \iota :X\to \omega }$$

FK空間構築

可算な半ノルム族を持つ可算な FK 空間族が与えられた場合、 および を定義します 。 するとは再び FK 空間になります。 ${\displaystyle \left(X_{n},P_{n}\right)}$ ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle X:=\bigcap _{n=1}^{\infty }X_{n}}$$ $${\displaystyle P:=\left\{p_{\vert X}:p\in P_{n}\right\}.}$$ ${\displaystyle (X,P)}$

参照

• BK空間–ノルム可能な位相 を持つバナッハ−FK空間であるシーケンス空間
• FK-AKスペース
• シーケンス空間 – 無限シーケンスのベクトル空間

参考文献

1. 「第4章 FK空間」.ノースホランド数学研究. エルゼビア. 1984年. p. 51–73. doi :10.1016/s0304-0208(08)72555-6. ISSN  0304-0208.