因子システム

数学において、因子システム（因子集合とも呼ばれる）は、オットー・シュライアーの群拡大問題に関する古典理論の基本的な道具である。^{[ 1 ] [ 2 ]}因子システムは、自己同型写像​​の集合と、ある条件（いわゆるコサイクル条件）を満たす群上の二項関数から構成される。実際、因子システムは、群コホモロジーにおける第二コホモロジー群のコサイクルの実現を構成する。^{[ 3 ]}

導入

Gが群でAがアーベル群であるとする。群の拡大について

${\displaystyle 1\to A\to X\to G\to 1,}$

関数f  : G × G → Aと準同型σ : G → Aut( A )からなる因子システムが存在し、それによって直積G × A が群Xとなる。

${\displaystyle (g,a)*(h,b):=(gh,f(g,h)a^{\sigma (h)}b).}$

したがって、f は「群2-コサイクル」でなければならない（したがって、群コホモロジーで研究されているように、 H ² ( G , A ) の元を定義する）。実際、A はアーベル群である必要はないが、非アーベル群の場合は状況はより複雑になる^{[ 4 ]}

fが自明であれば、 X はA上で分割され、XはGとAの半直積になります。

群代数が与えられた場合、因子システムfは群演算xyをf ( x , y ) xyに変更することで、その代数を歪群代数に変更します。

応用: アーベル体拡張の場合

Gを群とし、LをGが自己同型として作用する体とする。コサイクル系または（ノイザー）因子系^{[ 5 ] : 31}は、 c : G × G → L ^*が次を満たす 写像である。

${\displaystyle c(h,k)^{g}c(hk,g)=c(h,kg)c(k,g).}$

コサイクルは、ある要素系a  : G → L ^*が存在し、

${\displaystyle c'(g,h)=c(g,h)(a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}).}$

形式のコサイクル

${\displaystyle c(g,h)=a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}}$

は分割コサイクルと呼ばれます。分割コサイクルを法とする乗法の下で、コサイクルは群を形成し、第2コホモロジー群H ² ( G , L ^* )を形成します。

交差積代数

Gが体拡大L / Kのガロア群である場合を考えよう。H ² ( G , L ^* )の因子系cは交差積代数^{[ 5 ] : 31} Aを生成する。これはL を部分体として含むK代数であり、 Lの元 λとu _gの乗法 によって生成される。

${\displaystyle \lambda u_{g}=u_{g}\lambda ^{g},}$

${\displaystyle u_{g}u_{h}=u_{gh}c(g,h).}$

等価因数体系は、 K上のAの基底の変化に対応する。

${\displaystyle A=(L,G,c).}$

交差積代数Aは、次数が [ L  : K ]の中心単純代数(CSA)である。 ^{[ 6 ]}逆もまた成り立つ。すなわち、L上で分解し、 deg A = [ L  : K ]となるK上の中心単純代数はすべて、このようにして生じる。^{[ 6 ]代数のテンソル積は、 H 2} の対応する元の積に対応する。したがって、 K上の CSA の類を元とするBrauer 群と H ²との同一視が得られる。^{[ 7 ] [ 8 ]}

巡回代数

さらに、 L / K が巡回群であり、n位のガロア群Gがtによって生成される場合に限定する。Aを因子集合cとの交差積 ( L , G , c ) とする。u = u _tをAにおけるtに対応する生成元とする。他の生成元は次のように定義できる 。

${\displaystyle u_{t^{i}}=u^{i}\,}$

そしてKにおいてu ⁿ = aが成り立つ。この元aは^{[ 5 ]}によってコサイクルcを指定する^{: 33}

${\displaystyle c(t^{i},t^{j})={\begin{cases}1&{\text{if }}i+j<n,\\a&{\text{if }}i+j\geq n.\end{cases}}}$

したがって、Aを単に( L , t , a )と表記するのは理にかなっている。しかし、L ^*の任意の元λをuに掛け、その後λの共役の積をaに掛けることができるため、 aはAによって一意に特定されるわけではない。したがって、 Aはノルム留数群K ^* /N _{L / K} L ^*の元に対応する。同型性を得る。

${\displaystyle \operatorname {Br} (L/K)\equiv K^{*}/N_{L/K}L^{*}\equiv H^{2}(G,L^{*}).}$

参考文献

1. nラボでのグループ拡張
2. Saunders MacLane, Homology、p. 103、 Google Books
3. n研究室における群コホモロジー
4. n研究室における非可換群コホモロジー
5. ルイジアナ州ボクット;リボフ、IV;ハルチェンコ、VK (1991)。 「非可換リング」。 AIのコストリキンでは。シャファレヴィッチ、IR (編)。代数 II。数学科学百科事典。 Vol. 18. ベーア、E. ベルリン ハイデルベルク訳: Springer-Verlag。土井: 10.1007/978-3-642-72899-0。ISBN 9783642728990。
6. ジェイコブソン（1996）p.57
7. ソルトマン（1999）p.44
8. ジェイコブソン（1996）p.59

• ロレンツ、ファルコ (2008).代数学 第2巻：構造を持つ体、代数、そして高度な話題. Universitext. ドイツ語からの翻訳はシルヴィオ・レヴィによる。翻訳者の協力による。シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001 .
• ジェイコブソン、ネイサン(1996).体上の有限次元除算代数. ベルリン:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-57029-2. Zbl  0874.16002 .
• ライナー, I. (2003).最大順序. ロンドン数学会モノグラフ. 新シリーズ. 第28巻.オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-852673-3. Zbl  1024.16008 .
• ソルトマン、デイビッド・J. (1999). 『除算代数講義』 . 数学地域会議シリーズ. 第94巻. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. ISBN 0-8218-0979-2. Zbl  0934.16013 .