完全かつ忠実な関数

圏論において、忠実関数とはホム集合に単射な関数であり、完全関数とはホム集合に射影な関数である。両方の性質を持つ関数は完全忠実関数と呼ばれる。

正式な定義

明示的に、CとDを（局所的に小さい）圏とし、F  : C → DをCからDへの関手とする。関手Fは関数

${\displaystyle F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))}$

C内の任意のオブジェクトXとYのペアに対して、関数Fは次のように表される 。

• F _{X , Y}が単射であれば忠実である^{[ 1 ] [ 2 ]}
• F _{X , Y}が射影的であれば完全となる^{[ 2 ] [ 3 ]}
• F _X、Yが単射である場合、完全に忠実（=完全かつ忠実）

C内の各XとYについて。

プロパティ

忠実な関手はオブジェクトや射に対して単射である必要はない。^{[ 4 ]}つまり、2つのオブジェクトXとX ′ はDの同じオブジェクトに写像される可能性があり（これが完全で忠実な関手の値域が必ずしもCと同型ではない理由である）、2つの射f  : X → Yとf ′ : X ′ → Y ′ （異なるドメイン/コドメインを持つ）はDの同じ射に写像される可能性がある。同様に、完全関手はオブジェクトや射に対して全射である必要はない。 CのあるXに対してFXの形式ではないオブジェクトがDに存在する可能性がある。このようなオブジェクト間の射は明らかにCの射から来ることはできない。

完全かつ忠実な関手は、同型性を除いて必ずオブジェクトに単射である。つまり、F  : C → Dが完全かつ忠実な関手であり、かつ であるとき、 となる。 ${\displaystyle F(X)\cong F(Y)}$ ${\displaystyle X\cong Y}$

例

• 忘却関手 U :  Grp → Setは、群をその基底集合に写像し、群演算を「忘却」します。Uが忠実なのは、同じ定義域と余域を持つ2つの群準同型は、基底集合上の同じ関数によって与えられる場合、等しいからです。この関手は、群の基底集合間に群準同型ではない関数が存在するため、完全ではありません。Set への忠実関手を持つ圏は（定義により）具体的な圏です。一般に、この忘却関手は完全ではありません。
• 包含関数Ab → Grpは完全に忠実です。なぜならAb (アーベル群のカテゴリ) は定義によりアーベル群によって誘導されるGrpの完全なサブカテゴリだからです。

(∞, 1)-カテゴリへの一般化

関数が「完全」または「忠実」であるという概念は、(∞, 1)-圏の概念には翻訳できません。(∞, 1)-圏では、任意の2つのオブジェクト間の写像は、ホモトピーを除いた空間によってのみ与えられます。単射と全射の概念はホモトピー不変ではないため（実数への区間埋め込みと点への区間写像を考えてみてください）、関数が「完全」または「忠実」であるという概念は存在しません。しかし、Cの任意のXとYに対して、写像が弱同値であるとき、準圏の関数が完全に忠実であると定義できます。 ${\displaystyle F_{X,Y}}$

参照

• 完全なサブカテゴリ
• カテゴリーの同値性

注記

1. マックレーン（1971年）、15ページ
2. ジェイコブソン（2009）、22ページ
3. マックレーン（1971年）、14ページ
4. リール（2016）、31ページ

参考文献

• マック・レーン、サンダース（1998年9月）『Categories for the Working Mathematician（第2版）』Springer、ISBN 0-387-98403-8。
• ジェイコブソン、ネイサン(2009). 『基礎代数学』 第2巻（第2版）. ドーバー. ISBN 978-0-486-47187-7。
• リール、エミリー（2016年11月）.文脈におけるカテゴリー理論. ドーバー出版. ISBN 978-0-486-80903-8。