偽射影平面

数学において、偽射影平面（またはマンフォード面）は、射影平面と同じベッティ数を持ちながら、同相ではない50個の複素代数曲面の1つです。 このような対象は常に一般型の代数曲面です

歴史

セヴェリは、射影平面と同相だが双正則ではない複素曲面が存在するかどうかを問いました。ヤウ（1977）はそのような曲面は存在しないことを示し、したがって射影平面に最も近い近似は、射影平面と同じベッティ数（b 0 , b 1 , b 2 , b 3 , b 4）=（1,0,1,0,1）を持つ曲面となるでしょう。最初の例は、栗原とムスタフィンが独立に導入したp進均一化を用いて、マンフォード（1979）によって発見されました。マンフォードはまた、ヤウの結果とPU(1,2)の離散ココンパクト部分群の剛性に関するワイルの定理を合わせると、偽の射影平面は有限個しか存在しないことを指摘しましたIshida & Kato (1998) は同様の方法を使用してさらに 2 つの例を発見し、Keum (2006) は、ドルガチェフ面の次数 7 の巡回被覆に対して双有理的な位数 7 の自己同型を持つ例を発見しました。 Prasad & Yeung (2007)、Prasad & Yeung (2010) は、すべての偽の射影平面を分類する体系的な方法を発見しました。これは、28 のクラスがあり、各クラスには等長変換までの偽の射影平面の例が少なくとも 1 つ含まれていること、さらに最大で 5 つのクラスが存在する可能性があることを示しました。これらのクラスは後に存在しないことが示されました。すべての偽の射影平面をリストする問題は、各クラスに関連付けられた明示的に与えられた格子の適切なインデックスのすべてのサブグループをリストすることに帰着します。これらの計算を拡張することで、Cartwright と Steger (2010) は、28 のクラスで偽の射影平面の可能性がすべて使い尽くされ、等長写像までで決定された例は全部で 50 個、双正則写像までで決定された偽の射影平面は 100 個あることを示しました。

一般型ではない極小曲面と同じベッティ数を持つ一般型曲面は、射影平面P 2または二次曲面P 1 × P 1のいずれかのベッティ数を持つ必要がある。Shavel (1978) は、一般型曲面でありながら二次曲面と同じベッティ数を持つ「偽の二次曲面」を構築した。Beauville面は更なる例である。

偽射影面の高次元類似物は偽射影空間と呼ばれます。

基本グループ

負のリッチ曲率の場合のカラビ予想の解決に関するオービンとヤウの研究の結果として（Yau (1977, 1978) 参照）、任意の偽の射影平面は、2 次元の複素単位球を離散部分群で割った商であり、これが偽の射影平面の基本群である。したがって、この基本群は、オイラー-ポアンカレ標数3の PU(2,1) の捩れがなくココンパクトな離散部分群でなければならない。Klingler (2003) と Yeung (2004) は、この基本群は算術群でもある必要があることを示した。Mostowの強剛性の結果は、基本群が偽の平面を決定することを意味しており、これは、同じ基本群を持つコンパクト曲面はすべてその平面に等長でなければならないという強い意味でである。

二つの偽射影平面は、それらの基本群が両方とも単位球体の自己同型の同じ最大算術部分群に含まれる場合、同じクラスであると定義される。 Prasad & Yeung (2007)、Prasad & Yeung (2010) は、(Prasad 1989) の算術群の体積公式を使用して、偽射影平面の空でないクラスを 28 個挙げ、存在しないと予想される余分なクラスが最大で 5 個あり得ることを示した。 (分類が洗練され、元の論文のいくつかのエラーが修正された論文の補遺を参照。) Cartwright & Steger (2010) は、5 つの余分なクラスが実際には存在しないことを確認し、28 個のクラス内のすべての可能性をリストした。 等長写像まで分類される偽射影平面はちょうど 50 個あり、したがって双正則写像まで分類される偽射影平面は 100 個ある。

擬射影平面の基本群はPU(2,1)の算術部分群である。k は関連する数体（全実体）であり、G はPU(2,1)の関連するk形式である。lがkの二次拡大で、その上でG が内部形式となる場合、 lは全虚体である。中心がlで、l 上の次数が3または 1 である除算代数Dが存在し、この D にはk上のlの非自明な自己同型に制限される第二種反転と、次元 1 または 3 のD上の加群上の非自明なエルミート形式があり、 Gはこのエルミート形式の特殊ユニタリ群となる。 （Prasad & Yeung（2007）とCartwrightとStegerの研究の結果として、Dはl上で次数3を持ち、モジュールはD上で次元1を持ちます。） kの実数部が1つあり、 Gの点はPU（2,1）のコピーを形成し、kの他のすべての実数部上ではコンパクト群PU（3）を形成します。

Prasad & Yeung (2007) の結果から、偽射影平面の自己同型群は、位数 1、3、または 7 の巡回群、位数 9 の非巡回群、または位数 21 の非可換群のいずれかです。これらの群による偽射影平面の商は、Keum (2008) と Cartwright & Steger (2010) によって研究されました。

50個の偽の射影平面のリスト

k l T インデックス 偽の射影平面
Q Q( √ −1 ) 5 3 3つのクラスに3機の偽造飛行機
Q( √ −2 ) 3 3 3つのクラスに3機の偽造飛行機
Q( √ −7 ) 2 21 2つのクラスに7つの偽の飛行機があります。これらのクラスの1つには、マンフォードとケウムの例が含まれています
2、3 3 2クラスに4機の偽造飛行機
2、5 1 2クラスに2機の偽造飛行機
Q( √ −15 ) 2 3 石田、加藤両氏が創設した作例を含む、4クラス計10機の模型飛行機。
Q( √ −23 ) 2 1 2クラスに2機の偽造飛行機
Q ( √2 ) Q( √ − 7+ 4√2 ) 2 3 2クラスに2機の偽造飛行機
Q ( √5 ) Q ( √5 , ζ3 ) 2 9 2つのクラスに7機の偽造
Q( √6 ) Q ( √6 , ζ3 ) 2または2,3 1または3または9 3つのクラスの偽の
Q( √7 ) Q ( √7 , ζ4 ) 2 または 3.3 21 または 3.3 3つのクラスの偽の
  • kは完全な実体です
  • lはkの完全虚数の二次拡大であり、 ζ 3は 1 の 3 乗根です。
  • Tは、特定の局所部分群が超特殊ではないkの素数の集合です。
  • 指数は、ある算術群における基本群の指数です。

参考文献

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  • プラサード、ゴパル、偽射影空間
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