ファノ面

代数幾何学において、ファノ面とは、その点が特異でない三次三次多様体上の直線を添字とする一般型（特にファノ多様体ではない）の曲面である。これはファノ （1904 ）によって初めて研究された。

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ファノ面は、おそらく、2 つの曲線の積に関連せず、アーベル多様体の因子の完全な交差でもない、一般的なタイプの不規則な面の最も単純かつ最も研究されている例です。

P 4への滑らかな三次多様体 F のファノ面 S は、多くの注目すべき幾何学的性質を持つ。曲面 S は、 P 4の直線 G(2,5) のグラスマン多様体に自然に埋め込まれる。U を G 上の普遍階数 2 束の S への制限とすると、次式が得られる。

接束定理（ファノ、クレメンス＝グリフィス、チューリン）：S の接束は U と同型である。

これは非常に興味深い結果です。なぜなら、先験的には、これら2つの束の間には繋がりがないはずだからです。この結果は多くの強力な応用があります。例えば、Sの余接空間が大域切断によって生成されるという事実を再現できます。この大域1-形式の空間は、立方体Fに制限されたトートロジー直線束O(1)の大域切断の空間と同一視でき、さらに、

トレリ型定理：S からグラスマン多様体 G(2,5) への自然射を g' とする。この射は S の 5 次元大域切断空間によって生成される S の余接層によって定義される。F' は g'(S) に対応する直線の和集合とする。三次元多様体 F' は F と同型である。

このようにファノ面Sが分かれば、三重多様体Fを復元することができます。接線束定理により、Sの不変量を幾何学的に理解することもできます。

a) 曲面上の階数2のベクトル束の第二チャーン数は、一般切断の零点の数であることを思い出してください。ファノ面Sの場合、1-形式wは、立方体FのP 4への超平面切断{w=0}も定義します。S上の一般wの零点は、{w=0}とFの滑らかな立方体曲面の交点への直線の数に全単射に対応するため、Sの第二チャーン類は27であることが分かります。

b) w 1、w 2 をS 上の 2 つの 1 形式とします。標準形式w 1 ∧ w 2に関連付けられた S 上の標準因子 K は、平面 P={ w 1 = w 2 =0} をP 4に切断する F 上の直線を媒介変数化します。w 1およびw 2を使用して、P と F の交点が 3 本の直線の和集合となるようにすると、 K 2 =45であることがわかります。この計算の詳細をいくつか示します。3 次曲線 F の一般点を通る直線は 6 本です。 s を S の点とし、L s を3 次曲線 F 上の対応する直線とします。C sを、直線 L sを切断する直線を媒介変数化する S 上の因子とします。C sの自己交差は、一般点に対するC sとC tの交点の数に等しくなります。C sとC tの交点は、F 上の互いに交わらない直線 L sと L tを切る直線の集合です。L sと L tの線型張点を考えてみましょう。これはP 4 への超平面であり、F を滑らかな三次曲面に切断します。三次曲面におけるよく知られた結果から、互いに交わらない2本の直線を切断する直線の数は5本です。したがって、( C s ) 2 = C s C t =5となります。Kは数値的に3 C sと等価なので、K 2 =45となります。

c) 自然な合成写像: S -> G(2,5) -> P 9は S の標準写像である。これは埋め込みである。

参照

参考文献

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