高速掃引法

応用数学において、高速スイープ法はアイコナール方程式の境界値問題を解く数値法である。

${\displaystyle |\nabla u(\mathbf {x} )|={\frac {1}{f(\mathbf {x} )}}{\text{ for }}\mathbf {x} \in \Omega }$

${\displaystyle u(\mathbf {x} )=0{\text{ for }}\mathbf {x} \in \partial \Omega }$

ここで、 はの開集合、は正の値を持つ関数、 は開集合の適切な境界、 はユークリッドノルムです。 ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle |\cdot |}$

高速スイープ法は、離散化に風上差分を用い、交互にスイープ順序を変えながらガウス・ザイデル反復法を用いて、長方形格子上の離散化アイコナール方程式を解く反復法である。この手法の起源は、BoueとDupuisの論文^[1]にある。 高速スイープ法は制御理論において以前から存在していたが、アイコナール方程式^{[2]に対して初めて提案されたのは、}カリフォルニア大学アーバイン校の応用数学者であるHongkai Zhaoである。

スイープアルゴリズムは、対応する特性曲線の方向があまり変化しない場合に、アイコナール方程式を解くのに非常に効率的です。 ^[3]

参考文献

1. M. BoueとP. Dupuis. アフィンダイナミクスと制御における二次コストを考慮した決定論的制御問題に対するマルコフ連鎖近似、SIAM J. on Numerical Analysis 36, 667-695, 1999.
2. Zhao, Hongkai (2005-01-01). 「アイコナール方程式のための高速スイープ法」.計算数学. 74 (250): 603– 627. doi : 10.1090/S0025-5718-04-01678-3 . ISSN  0025-5718.
3. A. ChaconとA. Vladimirsky. アイコナール方程式のための高速2スケール法. SIAM J. on Scientific Computing 34/2: A547-A578, 2012. [1]

参照

• 高速行進法