ファトゥの定理

数学、特に複素解析学において、ピエール・ファトゥにちなんで名付けられたファトゥの定理は、単位円上の正則関数と円の境界への点ごとの拡張 に関する定理です。

定理の動機と説明

開単位円板 上に定義された正則関数がある場合、どのような条件下でこの関数を単位円板の境界まで拡張できるかを問うのは当然です。そのためには、円板内の 0 を中心とし、半径 を持つ各円上で関数がどのように見えるかを調べます。これにより、新しい関数が定義されます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z:|z|<1\}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{r}:S^{1}\to \mathbb {C} \\f_{r}(e^{i\theta })=f(re^{i\theta })\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle S^{1}:=\{e^{i\theta }:\theta \in [0,2\pi ]\}=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\},}$

は単位円です。すると、 の円への拡張の値はこれらの関数の極限となるはずなので、問題は がいつ収束するか、 としてどのような意味で収束するか、そしてこの極限はどの程度明確に定義されているか、という点に帰着します。特に、これらのノルムが適切に振る舞うならば、答えは次のようになります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{r}}$ ${\displaystyle r\to 1}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f_{r}}$

定理。を正則関数とし、 ${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\|f_{r}\|_{L^{p}(S^{1})}<\infty ,}$

ここで、は上記のように定義されています。すると、ほぼすべての点で、かつノルム内で、ある関数に点ごとに収束します。つまり、 ${\displaystyle f_{r}}$ ${\displaystyle f_{r}}$ ${\displaystyle f_{1}\in L^{p}(S^{1})}$ ${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f_{r}(e^{i\theta })-f_{1}(e^{i\theta })\right|&\to 0&&{\text{for almost every }}\theta \in [0,2\pi ]\\\|f_{r}-f_{1}\|_{L^{p}(S^{1})}&\to 0\end{aligned}}}$

ここで、この点ごとの極限は放射状の極限であることに注目してください。つまり、ここで取られている極限は円板の中心から円の境界までの直線に沿っており、したがって上記の記述は

${\displaystyle f(re^{i\theta })\to f_{1}(e^{i\theta })\qquad {\text{for almost every }}\theta .}$

当然の疑問は、この境界関数が定義されている場合、他の方法で極限をとることによって、この関数に点ごとに収束するかどうかということです。つまり、境界まで直線をたどるのではなく、境界上のある点に収束する任意の曲線をたどるとします。は に収束しますか？（上記の定理は の特殊なケースにすぎないことに注意してください）。曲線は非接線 である必要があることがわかります。つまり、曲線は境界上のターゲットに、円の境界に接するような方法で近づかないようにする必要があります。言い換えると、 の値域は、極限点から放射するくさび形に含まれている必要があります。まとめると、次のようになります。 ${\displaystyle \gamma :[0,1)\to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}(e^{i\theta })}$ ${\displaystyle \gamma (t)=te^{i\theta }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

定義。が連続パスであるとし、を定義する。 ${\displaystyle \gamma :[0,1)\to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }\in S^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\alpha }&=\{z:\arg z\in [\pi -\alpha ,\pi +\alpha ]\}\\\Gamma _{\alpha }(\theta )&=\mathbb {D} \cap e^{i\theta }(\Gamma _{\alpha }+1)\end{aligned}}}$

つまり、は円板内部の、軸が と 0 の間を通る角度 のくさびです。が とに含まれるような が存在する場合、は に非接線収束する、あるいは が非接線極限であると言います。 ${\displaystyle \Gamma _{\alpha }(\theta )}$ ${\displaystyle 2\alpha }$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle 0<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{\alpha }(\theta )}$ ${\displaystyle \lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }}$

ファトゥの定理。ほぼすべての場合において${\displaystyle f\in H^{p}(\mathbb {D} ).}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$

${\displaystyle \lim _{t\to 1}f(\gamma (t))=f_{1}(e^{i\theta })}$

に収束するすべての非接線極限に対して、は上記のように定義されます。${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle e^{i\theta },}$ ${\displaystyle f_{1}}$

ここがハーディ空間です。 ${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}$

議論

• 証明では、円のハーディ・リトルウッド最大関数を使用して、ポアソン核の対称性を利用します。
• 類似の定理は上半平面上のハーディ空間に対して頻繁に定義され、ほぼ同じ方法で証明されます。

参照

• ハーディスペース

参考文献

• ジョン・B・ガーネット『有界解析関数』（2006年）シュプリンガー・フェアラーク、ニューヨーク
• Krantz, Steven G. (2007). 「正則関数の境界挙動：大域的および局所的結果」. Asian Journal of Mathematics . 11 (2): 179–200 . arXiv : math/0608650 . doi : 10.4310/AJM.2007.v11.n2.a2 . S2CID  56367819.
• ウォルター・ルーディン著『実解析と複素解析』（1987年）、第3版、マグロウヒル社、ニューヨーク。
• エリアス・スタイン、「特異積分と関数の微分可能性」（1970 年）、プリンストン大学出版局、プリンストン。