フェルミ座標

リーマン幾何学という数学理論において、フェルミ座標という用語には2つの用法があります。1つは、測地線に適応した局所座標です。^{[1]もう1つは、より一般的な用法で、測地線でなくても、あらゆる}世界線に適応した局所座標です。^{[2] [3]}

未来に向かう時間的曲線 を取り、 これは時空 における固有時空である。が の初期点であると仮定する。 に適合したフェルミ座標はこのように構築される。に平行なの直交基底を考える。フェルミ・ウォーカー輸送を用いて、基底を に沿って輸送する。各点における基底は に 平行なと依然として直交しており、初期基底に関して回転していない（ローレンツ変換を純粋な変換と回転に分解することと厳密に関連した意味で）。これがフェルミ・ウォーカー輸送の物理的な意味である。 ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau )}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p=\gamma (0)}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=0,1,2,3}}$ ${\displaystyle \gamma (\tau )}$ ${\displaystyle \{e_{a}(\tau )\}_{a=0,1,2,3}}$ ${\displaystyle \gamma (\tau )}$ ${\displaystyle e_{0}(\tau )}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

最後に、 の近傍である開管 内に座標系を構築し、任意の に対して、初期接線ベクトル を持つ、を通るすべての空間的測地線を放出します。点の座標はで、はそのパラメータの値に対応する測地線範囲を持つ唯一のベクトルであり、はに沿ってこの測地線範囲が存在する唯一の時間です。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle \gamma (\tau )}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}v^{i}e_{i}(\tau )}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle q\in T}$ ${\displaystyle \tau(q),v^{1}(q),v^{2}(q),v^{3}(q)}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}v^{i}e_{i}(\tau (q))}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle \tau (q)}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle q}$

自身が測地線である場合、フェルミ・ウォーカー輸送は標準の平行輸送となり、フェルミ座標は に適合した標準のリーマン座標となる。この場合、の近傍においてこれらの座標を用いて となり、 上ですべてのクリストッフェル記号がちょうど消える。この特性は、 が測地線でない場合はフェルミ座標には当てはまらない。しかし、が測地線でない場合はフェルミ座標には当てはまらない。このような座標はフェルミ座標と呼ばれ、イタリアの物理学者エンリコ・フェルミにちなんで名づけられた。上記の特性は測地線上でのみ有効である。ヌル測地線に適合したフェルミ座標は、Mattias Blau、Denis Frank、および Sebastian Weiss によって提供されている。^[4]の近くですべてのクリストッフェル記号が消える場合、 の近くで多様体は平坦になる点に注意されたい。 ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=0}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

少なくともリーマンの場合、フェルミ座標は任意の部分多様体に一般化できる。^[2]

参照

• 数学ポータル
• 物理学ポータル

• 固有座標系（平坦時空）#固有座標またはフェルミ座標
• 測地正規座標
• フェルミ・ウォーカー輸送
• クリストッフェルの記号
• 等温座標

参考文献

1. Manasse, FK; Misner, CW (1963). 「フェルミ正規座標と微分幾何学におけるいくつかの基本概念」. Journal of Mathematical Physics . 4 (6): 735– 745. Bibcode :1963JMP.....4..735M. doi :10.1063/1.1724316.
2. Lee, John M. (2019-01-02).リーマン多様体入門. シャム, スイス: Springer. p. 136. ISBN 978-3-319-91755-9。
3. Marzlin, Karl-Peter (1994). 「フェルミ座標の物理的意味」.一般相対性理論と重力. 26 (6): 619– 636. arXiv : gr-qc/9402010 . Bibcode :1994GReGr..26..619M. doi :10.1007/BF02108003. S2CID  17918026.
4. Blau, Matthias; Frank, Denis; Weiss, Sebastian (2006). 「フェルミ座標とペンローズ限界」. Class. Quantum Grav . 23 (11): 3993– 4010. arXiv : hep-th/0603109 . Bibcode :2006CQGra..23.3993B. doi :10.1088/0264-9381/23/11/020. S2CID  3109453.