フォイエルバッハ点
フォイエルバッハの定理：9点円は三角形の内接円と外接円に接する。内接円の接線がフォイエルバッハ点である。

三角形の幾何学において、非正三角形の内接円と九点円は、三角形のフォイエルバッハ点で互いに内接する。フォイエルバッハ点は三角形の中心であり、その定義は三角形の配置や大きさに依存しない。クラーク・キンバーリングの『 三角形の中心百科事典』ではX(11)として記載されており、カール・ヴィルヘルム・フォイエルバッハにちなんで名付けられている。[ 1 ] [ 2 ]

フォイエルバッハが1822年に発表したフォイエルバッハの定理[ 3 ]は、より一般的には、9点円は三角形の3つの外接円と内接円に接することを述べています。 [ 4 ]この定理の非常に短い証明は、5番目の円に接する4つの円の従接線に関するケーシーの定理に基づいており、ジョン・ケーシーは1866年に発表しました。[ 5 ]フォイエルバッハの定理は、自動定理証明のテストケースとしても使用されています。[ 6 ]外接円と接する3点は、与えられた三角形のフォイエルバッハ三角形を形成します。

工事

三角形ABCの​​内接円は、三角形の3辺すべてに接する円です。その中心、つまり三角形の内心は、三角形の3つの内角の二等分線が交差する点にあります。

九点円は、三角形から定義されるもう一つの円です。この円は三角形の9つの重要な点を通るため、このように呼ばれます。その中で最も簡単に作図できるのは、三角形の辺の中点です。九点円はこれらの3つの中点を通るため、内接三角形の外接円となります。

これらの2つの円は一点で交わり、そこで互いに接します。この接点が三角形のフォイエルバッハ点です。正三角形では、9点円は内接円と同じであるため、フォイエルバッハ点は定義されません。

三角形の内接円には、さらに3つの円、すなわち外接円が関連付けられています。これらの円は、三角形の3辺を通る直線にそれぞれ接しています。各外接円は、三角形の反対側からこれらの直線の1つに接し、他の2つの直線については三角形と同じ側にあります。内接円と同様に、外接円はすべて9点円に接しています。9点円との接点は、フォイエルバッハの三角形を形成します。

プロパティ

フォイエルバッハ点は、それを定義する2つの接円の中心を通る直線上にあります。これらの中心は、三角形の内心と9点中心です。 [ 1 ] [ 2 ]

、、を、中立三角形の頂点（それぞれ元の三角形の辺BC=a、CA=b、AB=cの中点）までのフォイエルバッハ点の3つの距離とすると、[ 7 ] [ 8 ]×{\displaystyle x}y{\displaystyle y}z{\displaystyle z}

×+y+z＝2最大（×、y、z）、{\displaystyle x+y+z=2\max(x,y,z),}

あるいは、3つの距離のうち最大のものが他の2つの距離の合計に等しいとも言える。具体的には、Oは基準三角形の外 心、Iは内心である。[ 8 ] : 命題3 ×＝R2お私|b−c|、y＝R2お私|c−1つの|、z＝R2お私|1つの−b|、{\displaystyle x={\frac {R}{2OI}}|bc|,\,y={\frac {R}{2OI}}|ca|,z={\frac {R}{2OI}}|ab|,}

後者の性質は、9点円との外接円の接点にも当てはまります。この接点から元の三角形の辺の中点の1つまでの最大距離は、他の2つの辺の中点までの距離の合計に等しくなります。[ 8 ]

三角形ABCの​​内接円がそれぞれ辺BC、CA、ABにX、Y、Zで接し、これらの辺の中点がそれぞれP、Q、Rである場合、フォイエルバッハ点Fにおいて三角形FPX、FQY、 FRZはそれぞれ三角形AOI、BOI、COIと相似である。[ 8 ]：命題4

座標

フォイエルバッハ点の三線座標は[ 2 ]である。

1−コス⁡（B−C）:1−コス⁡（C−あ）:1−コス⁡（あ−B）。{\displaystyle 1-\cos(BC):1-\cos(CA):1-\cos(AB)。}

その重心座標は[ 8 ]である。

（s−1つの）（b−c）2:（s−b）（c−1つの）2:（s−c）（1つの−b）2、{\displaystyle (sa)(bc)^{2}:(sb)(ca)^{2}:(sc)(ab)^{2},}

ここで、 sは三角形の半周、です。 s＝12（1つの+b+c）{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c){}}

元の三角形の頂点からフォイエルバッハ三角形の対応する頂点を通る3本の直線は、別の三角形の中心で交わります。三角形の中心は、三角形中心百科事典にX(12)として記載されています。その三線座標は[ 2 ]です。

1+コス⁡（B−C）:1+コス⁡（C−あ）:1+コス⁡（あ−B）。{\displaystyle 1+\cos(BC):1+\cos(CA):1+\cos(AB)。}

参考文献

  1. ^ a bキンバリング、クラーク（1994）「三角形の平面における中心点と中心線」、数学雑誌、67（3）：163–187、doi：10.1080/0025570X.1994.11996210、JSTOR  2690608、MR  1573021。
  2. ^ a b c d Encyclopedia of Triangle Centers Archived April 19, 2012, at the Wayback Machine , accessed 2014-10-24.
  3. ^フォイエルバッハ、カール・ヴィルヘルム; Buzengeiger、Carl Heribert Ignatz (1822)、Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren。 Eine Analytisch-Trigonometrische Abhandlung (Monograph ed.)、ニュルンベルク: Wiessner。
  4. ^ Scheer, Michael JG (2011)、「フォイエルバッハの定理の簡単なベクトル証明」(PDF)、Forum Geometricorum、11 : 205– 210、arXiv : 1107.1152、MR 2877268 。
  5. ^ Casey, J. (1866)、「方程式と性質について：(1)平面上で3つの円に接する円の系、(2)空間上で4つの球に接する球の系、(3)球面上の3つの円に接する円の系、(4)円錐に内接し、平面上で3つの内接円錐に接する円錐の系」、Proceedings of the Royal Irish Academy、9 : 396– 423、JSTOR 20488927 特に411ページの下部を参照してください。
  6. ^ Chou, Shang-Ching (1988)、「幾何学における機械的定理証明のためのWu法の紹介」、Journal of Automated Reasoning、4 (3): 237– 267、doi : 10.1007/BF00244942、MR 0975146、S2CID 12368370  。
  7. ^ワイスタイン、エリック・W. 「フォイエルバッハ点」。マスワールド。
  8. ^ a b c d e Sa ́ndor Nagydobai Kiss, "A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension", Forum Geometricorum 16, 2016, 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf 2018年10月24日アーカイブ、 Wayback Machineより

さらに読む

  • テボー,ヴィクトル (1949)「フォイエルバッハ点について」アメリカ数学月刊誌, 56 (8): 546– 547, doi : 10.2307/2305531 , JSTOR  2305531 , MR  0033039。
  • エメリャノフ、レフ；エメリャノヴァ、タチアナ（2001）「フォイエルバッハ点に関するノート」、フォーラム幾何学、1：121–124（電子版）、MR  1891524。
  • スチャヴァ、ボグダン。 Yiu、Paul (2006)、「フォイエルバッハ点とオイラー線」、Forum Geometricorum、6 : 191–197、MR  2282236。
  • Vonk, Jan ( 2009)、「フォイエルバッハ点とオイラー直線の反射」、Forum Geometricorum、9 : 47–55、MR2534378 。
  • Nguyen, Minh Ha; Nguyen, Pham Dat (2012)「フォイエルバッハ点に関連する2つの定理の総合的証明」Forum Geometricorum , 12 : 39– 46, MR  2955643。
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