電界電子放出

電界電子放出（電界誘起電子放出、FE）、電子電界放出とも呼ばれる電界電子放出は、静電場内に置かれた物質から電子が放出される現象です。最も一般的な例は、固体表面から真空中への電界放出です。しかし、電界放出は固体または液体表面から真空中、流体（空気など）、あるいは非導電性または弱導電性の誘電体中へも発生する可能性があります。半導体の価電子帯から伝導帯への電子の電界誘起による移動（ツェナー効果）も、電界放出の一種とみなすことができます。

純金属における電界放出は高電界下で発生します。電界勾配は通常1メートルあたり1ギガボルトを超え、仕事関数に大きく依存します。電界放出に基づく電子源は様々な用途に用いられますが、電界放出は真空破壊や放電現象の望ましくない主発生源となることが最も多く、技術者はこれを防ぐよう努めています。表面電界放出の応用例としては、高解像度電子顕微鏡用の高輝度電子源の構築や、宇宙船からの誘導電荷の放出などが挙げられます。誘導電荷を除去する装置は電荷中和装置と呼ばれます。

歴史的に、電界電子放出現象は「エオナ効果」、「自己電子放出」、「冷陰極放出」、「電界放出」、「電界電子放出」、「電子電界放出」など、様々な名称で知られてきました。宇宙船工学など一部の分野では、「電界放出」という名称は電子ではなく、電界誘起によるイオンの放出（電界イオン放出）を指し、また一部の理論的な文脈では「電界放出」が電界電子放出と電界イオン放出の両方を包括する一般的な名称として使用されているためです。

1920年代後半、電界放出は電子の量子トンネル効果によって説明されました。これは、初期の量子力学における大きな成果の一つでした。バルク金属からの電界放出の理論は、ラルフ・H・ファウラーとローター・ヴォルフガング・ノルドハイムによって提唱されました。^{[ 1 ]} 近似方程式のファミリーであるファウラー・ノルドハイム方程式は、これらの方程式にちなんで名付けられました。厳密には、ファウラー・ノルドハイム方程式はバルク金属からの電界放出と（適切な修正を加えることで）他のバルク結晶固体からの電界放出にのみ適用されますが、大まかな近似として、他の材料からの電界放出を記述するためにしばしば使用されます。

表面光効果、熱イオン放出（またはリチャードソン・ダッシュマン効果）、そして「冷電子放出」（強い静電（または準静電）電場中での電子放出）といった関連現象は、1880年代から1930年代にかけてそれぞれ独立に発見され、研究されてきました。現代の文脈では、冷電界電子放出（CFE）は、特定の統計的放出様式に与えられた名称です。この様式では、エミッター内の電子は当初、内部熱力学的平衡状態にあり、放出された電子の大部分は、エミッターのフェルミ準位に近い電子状態からファウラー・ノルドハイム・トンネル効果によって放出されます。（対照的に、ショットキー放出様式では、ほとんどの電子は、フェルミ準位よりはるかに高い状態から、電場が減少する障壁を越えて放出されます。）多くの固体および液体材料は、適切な大きさの電場を印加すれば、CFE様式で電子を放出することができます。「電界放出」という用語が修飾語なしで使用される場合、通常は「冷電子放出」を意味します。

金属の場合、CFE領域は室温をはるかに超える温度まで広がります。「熱電子放出」や「ショットキー放出」など、エミッターの外部からの大幅な加熱を必要とする他の電子放出領域もあります。また、内部電子が熱力学的平衡状態になく、放出電流が放出領域への電子供給によって部分的または完全に決定される放出領域もあります。このような非平衡放出プロセスは、ほとんどの電子がトンネル効果によって放出される場合、電界（電子）放出と呼ばれることがありますが、厳密にはCFEではなく、ファウラー・ノルドハイム型の方程式では正確に記述されません。

用語と慣例

この記事の式は、現代の国際量体系（ISQ）を用いて記述されています。古い電界放出に関する文献（および古い文献から式をそのまま引用した論文）では、ガウス単位系が用いられることが多く、物理定数ε ₀が省略されています。この記事では、そのような式はすべて現代の国際単位系に変換されています。

仕事関数は通常、電子ボルト(eV) の単位で表され、電場の場合はナノメートルあたりのボルト (V/nm) の単位を使用すると便利な場合が多く、これはますます電場放出の研究では通常の方法となっています。ここで示される普遍定数の数値は、eV、V、および nm から得られる単位で表され、2006 年の基本定数の値を使用して 7 桁の有効数字で計算されます。

電界電子放出の初期の歴史

振り返ってみると、 1744年にJH Winkler ^{[ 2 ]}が報告した放電は、CFE（Chemical Feltration：電子放出）によって彼の線状電極から発生した可能性が高いようです。しかし、有意義な研究は、 JJ Thomson [ ^{3 ]が}1897年に電子を特定し、熱放出^{[ 4 ]}と光放出^{[ 5 ]}の研究から、電子は金属内部（表面に吸着したガス分子ではなく）から放出される可能性があること、そして印加電場がない場合、金属から放出される電子は仕事関数障壁を乗り越えなければならないことが理解されるまで待たなければなりませんでした。

少なくとも1913年には、電界誘起放出が別の物理的効果である可能性が疑われていた。^{[ 6 ]}しかし、真空技術と試料洗浄技術が大幅に向上した後になって初めて、この現象は確立された。リリエンフェルト（主に医療用X線応用のための電子源に関心を持っていた）は、1922年に^{[ 7 ]、}彼が「自己電子放出」と呼んだ効果の実験的現象論を初めて英語で明確に説明した論文を発表した。彼は1910年頃からライプツィヒでこのテーマに取り組んでいた。^{[ 8 ] [ 9 ]}

1922年以降、実験への関心が高まり、特にカリフォルニア州パサデナのカリフォルニア工科大学(Caltech)のミリカン率いるグループ[ ^{10 ]}やロンドンのゼネラル・エレクトリック社のゴスリング率いるグループ^{[ 11 ]が高まりました}。自己電子放出を理解しようとする試みには、実験的な電流-電圧 ( i – V ) データをさまざまな方法でプロットし、直線関係を探すことが含まれていました。電流は電圧とともに超線形に増加しましたが、log( i ) 対Vのグラフは直線ではありませんでした。^{[ 10 ]} Walter H. Schottky ^{[ 12 ]}は1923年に、この効果は電場が減少した障壁を越える熱誘起放出によるものではないかと示唆しました。そうであれば、log( i ) 対√ Vのグラフは直線になるはずですが、そうではありませんでした。^{[ 10 ]}また、Schottky の説明は、CFE には非常に弱い温度依存性しかないという実験的観測^{[ 7 ]}とも^{[ 6 ]}

画期的な進歩は、CC・ローリッセン^{[ 13 ]}（そしてJ・ロバート・オッペンハイマーは独立に^{[ 14 ]}）がlog( i )と1/ Vの関係をプロットすると良好な直線が得られることを発見したことでもたらされました。この結果は1928年初頭にミリカンとローリッセンによって発表されました^{[ 13 ]。} 理論的説明とファウラー・ノルドハイム型方程式はその後まもなく発表されました。

オッペンハイマーは、原子からの電子の電場誘起トンネリング（現在では電場イオン化と呼ばれている効果）にはこのi ( V ) 依存性があると予測し^{[ 14 ]}、ミリカンとアイリングの公開された実験的電場放出結果にこの依存性を発見し^{[ 10 ]} 、CFE は表面金属原子の原子状軌道からの電子の電場誘起トンネリングによるものだと提唱した。代わりのファウラー–ノルドハイム理論^{[ 1 ]}では、現在金属伝導帯と呼ぶところの自由電子型状態からの電場誘起トンネリングを提唱し、電子状態はフェルミ – ディラック統計に従って占有されているとした。ファウラー – ノルドハイム理論は、ミリカン – ローリッセンの研究結果と、電流の温度に対する非常に弱い依存性の両方を説明した。

オッペンハイマーは理論の数学的細部に重大な誤りを持っていた。^{[ 15 ]}また、ファウラー・ノルドハイム理論によってCFE電流密度に関して示された最終式にも小さな数値的誤りがあったが、これは1929年の論文で訂正された。^{[ 16 ]} ファウラー・ノルドハイム1928理論における障壁場が印加電圧に正確に比例し、放出面積が電圧に依存しない場合、ファウラー・ノルドハイム1928理論によれば、log( i / V2 )対1/ ^{Vのプロットは正確な直線となるはずである。しかしながら、当時の実験技術ではファウラー・ノルドハイム}の理論的結果とミリカン・ローリッセン実験結果を区別することはできなかった。

物理学文献では、ファウラーとノルドハイムの研究は、波動力学によって予測される電子トンネル効果の証拠としてしばしば提示されている。これは確かに正しいが、波動力学は1928年までに広く受け入れられていた。むしろ、ファウラー＝ノルドハイムの論文は、現代の電子バンド理論を確立する上でより革命的な役割を果たした。1928年以前には、金属中には「熱電子」と「伝導電子」という2種類の電子が存在し、熱放出電子電流は熱電子の放出によるもの、電界放出電流は伝導電子の放出によるものという仮説が立てられていた。1927年になってようやく、ゾンマーフェルトはフェルミ＝ディラック統計が金属中の電子の挙動に当てはまると主張した。 ^{[ 17 ]} 1928年のファウラー＝ノルドハイムの研究は、熱電子が内部電子の別個のクラスとして存在する必要はないことを示唆した。電子はフェルミ＝ディラック統計に従って占有される単一のバンドから来ることができるが、温度や印加磁場の条件によって統計的に異なる方法で放出される。ファウラー＝ノルドハイム理論の成功は、ゾンマーフェルトの考えの正しさを大いに裏付けた。^{[ 18 ]}

特に、ファウラー・ノルドハイム型方程式は、電子スピンの存在による統計力学的帰結を実験的凝縮物質効果の理論に組み込んだ最初の方程式の一つであった。ファウラー・ノルドハイムの論文はまた、電場誘起電子放出と熱誘起電子放出の統一的な取り扱いのための物理的基礎を確立した。^{[ 18 ]}

オッペンハイマー、ファウラー、ノルドハイムの考えは、1928年後半にジョージ・ガモフ^{[ 19 ]}、ロナルド・W・ガーニー、エドワード・コンドン^{[ 20 ]}、^{[ 21 ]}による原子核の放射性崩壊（アルファ粒子トンネル効果による）理論の発展にも重要な刺激を与えた。^{[ 22 ]}

実用化：過去と現在

電界電子顕微鏡法と関連する基礎

すでに述べたように、電界電子放出に関する初期の実験研究（1910～1920年）^{[ 7 ]}は、医療用途向けの小型X線管を開発したいというリリエンフェルトの願望によって推進されました。しかし、この技術が成功するには時期尚早でした。

1928年のファウラー＝ノルドハイム理論研究の後、1937年にエルヴィン・W・ミュラーが球面形状電界電子顕微鏡（FEM）^{[ 23 ]} （「電界放出顕微鏡」とも呼ばれる）を開発し、大きな進歩を遂げました。この装置では、電子放出源は先端半径rの鋭く尖ったワイヤです。これは真空容器内で、画像検出器（当初は蛍光スクリーン）の反対側に、距離Rで配置されます。顕微鏡スクリーンには、放出源先端における電流密度Jの分布の投影像が映し出され、倍率は約( R / r )、典型的には10 ⁵～ 10 ⁶です。FEMの研究では、先端半径は典型的には100 nm～1 μmです。先端ワイヤの先端は、物理的な物体として言及される場合、「電界放出源」、「先端」、あるいは（最近では）「ミュラー放出源」と呼ばれています。

エミッタ表面がきれいな場合、この FEM 画像は次の特性を示します。

1. エミッターの材料。
2. 針/ワイヤ軸に対する材料の向き。
3. ある程度、エミッタエンドフォームの形状。

FEM像において、暗い領域は局所仕事関数φが比較的高い、または局所障壁場Fが比較的低い領域に対応し、Jが比較的低い。明るい領域はφが比較的低い、またはFが比較的高い領域に対応し、Jが比較的高い。これは、ファウラー・ノルドハイム型方程式の指数によって予測される通りである（下記式(30)参照）。

エミッター表面またはその一部に酸素などのガス原子層が吸着すると、表面電気双極子が生成され、表面のこの部分の局所仕事関数が変化することがあります。これはFEM 画像に影響を与えます。また、仕事関数の変化は、ファウラー・ノルドハイム プロットを使用して測定できます (下記参照)。このように、FEM は表面科学の初期の観察ツールとなりました。^{[ 24 ] [ 25 ]}たとえば、1960 年代には、FEM の結果が不均一触媒に関する議論に大きく貢献しました。^{[ 26 ]} FEM は表面原子拡散の研究にも使用されています。しかし、現在では FEM は新しい表面科学手法にほぼ完全に取って代わられています。

FEMの開発とその後の実験の結果、エミッタが「クリーン」な状態、つまり他の技術で確立されたクリーン表面仕事関数を示す状態を（FEM画像検査から）識別することが可能になった。これは、標準的なファウラー・ノルドハイム型方程式の妥当性を検証するために設計された実験において重要であった。^{[ 27 ] [ 28 ]}これらの実験では、タングステンのクリーン表面φ値を仮定し、ファウラー・ノルドハイムプロット（下記参照）から電圧-障壁電界変換係数βの値を導出し、これをエミッタ形状の電子顕微鏡観察と静電モデリングから得られた値と比較した。約10%以内の一致が達成された。ごく最近になって^{[ 29 ]}、逆の比較が可能になった。すなわち、適切に準備されたプローブを適切に準備された表面に非常に近づけることで、近似的に平行板形状を仮定し、変換係数を1/ W（Wは測定されたプローブとエミッター間の距離）とすることができる。得られたファウラー・ノルドハイムプロットを解析すると、エミッターの独立に知られている仕事関数に近い値が得られる。

電界電子分光法（電子エネルギー分析）

電界放出電子のエネルギー分布測定は1939年に初めて報告されました^{[ 30 ]。} 1959年にはヤングによって理論的に実現され^{[ 31 ]}、ヤングとミュラーによって実験的に確認されました^{[ 32 ]。}球面形状において測定される量は、放出された電子の全エネルギー分布（「全エネルギー分布」）であることが示されました。これは、球面形状において、電子は放出体のある点の周りの角運動量がほぼ保存されるように運動するためです。したがって、放出時に放出体表面に平行な方向にある運動エネルギーは、運動の半径方向に関連するエネルギーに変換されます。したがって、エネルギー分析装置で測定されるのは、放出時における全エネルギーです。

1960年代に高感度電子エネルギー分析装置が開発されたことで、全エネルギー分布の微細な測定が可能になった。これは表面物理の微細な部分を反映するものであり、電界電子分光法はしばらくの間隆盛を極めたが、その後、より新しい表面科学技術に取って代わられた。^{[ 33 ] [ 34 ]}

電子銃源としての電界電子放出源

電子顕微鏡のショットキーエミッタ電子源

電子顕微鏡やその他の電子ビーム装置（電子ビームリソグラフィーに用いられるものなど）で高解像度を達成するには、小型で光学的に明るく、かつ安定した電子源から始めることが有効です。ミュラー放出器の形状に基づく電子源は、最初の2つの基準を満たしています。電子顕微鏡（EM）による最初の原子の観察は、 1970年にアルバート・クルー、J・ウォール、J・ラングモアによって行われました^{[ 35 ]} 。彼らは初期の電界放出銃を備えた走査透過型電子顕微鏡を用いていました。

1950年代以降、電子銃用の電界放出源の開発に多大な努力が払われてきた。^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]} [例：DD53] 軸上ビームを生成する方法は、電界誘起エミッターの構築、または低仕事関数の吸着質（通常は酸化ジルコニウム– ZrO）を（100）配向のタングステンエミッターの平坦な頂点に選択的に堆積させることによって開発されてきた。^{[ 39 ]}

室温で動作する電子源は、真空システムの壁から吸着分子が付着する可能性があり、エミッターを高温に「フラッシュ」して定期的に洗浄する必要があるという欠点があります。現在では、ショットキー放出領域またはいわゆる温度場中間領域のいずれかで高温で動作するミュラー放出型電子源が一般的に使用されています。現代の高解像度電子顕微鏡および電子ビーム装置のほとんどは、何らかの形の電界放出電子源を使用しています。現在、電子銃電界放出源としてカーボンナノチューブ（CNT）の開発が試みられています。 ^{[ 40 ] [ 41 ]}

電子光学機器における電界放出源の利用には、荷電粒子光学に関する適切な理論の発展^{[ 37 ] [ 42 ]}と、関連するモデリングの開発が伴ってきた。ミュラー放出器には様々な形状モデルが試されてきたが、最も優れたモデルは、1953年にDyke、Trolan、Dolan、Barnesによって導入された「球状直交円錐」（SOC）モデルであると思われる。^{[ 43 ]} SOC放出器モデルを用いた軌道追跡を含む重要なシミュレーションは、WiesenerとEverhartによって行われた。^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]}今日では、ミュラー放出器からの電界放出をシミュレートする機能は、電子ビーム機器の設計に使用される商用電子光学プログラムに組み込まれていることが多い。効率的な現代の電界放出電子銃の設計には、高度に専門的な知識が求められる。

原子レベルで鋭いエミッター

今日では、単一原子で終わるエミッターを含む、非常に鋭いエミッターを作製することが可能です。この場合、電子放出は単一原子の結晶学的サイズの約2倍の領域から生じます。これは、エミッターのFEM像と電界イオン顕微鏡（FIM）像を比較することで実証されました。 ^{[ 47 ]}単一原子頂点ミュラーエミッターは、走査プローブ顕微鏡やヘリウム走査イオン顕微鏡（He SIM）にも関連しています。^{[ 48 ]}これらを作製する技術は長年にわたり研究されてきました。^{[ 47 ] [ 49 ]}関連する最近の重要な進歩として、He SIMで使用するために、3原子（「トリマー」）頂点が分解した場合に、それを元の状態に戻す自動化技術が開発されました。^{[ 48 ]}

大面積電界放出源：真空ナノエレクトロニクス

材料面

大面積電界放出源は1970年代から注目を集めてきました。これらのデバイスでは、基板（当初はシリコン）上に高密度の個別の電界放出点が形成されます。この研究分野は当初「真空マイクロエレクトロニクス」と呼ばれ、現在では「真空ナノエレクトロニクス」と呼ばれています。

元々の2種類のデバイスのうちの1つである「スピントアレイ」^{[ 50 ]}は、シリコン集積回路（IC）製造技術を用いて規則的なアレイを作製した。このアレイでは、モリブデンの円錐が酸化膜内の小さな円筒状の空隙に堆積され、その空隙は中央に円形の開口部を持つ対電極で覆われていた。この全体的な形状は、空隙内で成長した カーボンナノチューブにも用いられている。

もう一つのオリジナルデバイスは「レイサムエミッター」でした。^{[ 51 ] [ 52 ]}これらはMIMIV（金属-絶縁体-金属-絶縁体-真空）デバイス、あるいはより一般的にはCDCDV（導体-誘電体-導体-誘電体-真空）デバイスであり、誘電体膜内に導電性微粒子を封入していました。このデバイスは、その微細構造／ナノ構造が電界増強特性を持つため、電界放出を起こします。この材料は「インク」として塗布できるため、IC製造技術を必要としないという潜在的な製造上の利点がありました。しかしながら、実際には均一な信頼性を持つデバイスを製造することは困難であることが判明しました。

適切な電界増強特性を持つ薄膜として堆積／成長させることができる他の材料を探す研究が進展した。平行板配置では、板間の「巨視的」電界F _MはF _M = V / Wで与えられる。ここで、Wは板間隔、Vは印加電圧である。一方の板上に鋭利な物体が作られると、その頂点における局所電界FはF _Mよりも大きくなり、 F _Mと次式 の関係が得られる。

${\displaystyle F=\gamma F_{\mathrm {M} }.}$

パラメータγは「電界増強係数」と呼ばれ、基本的には物体の形状によって決まります。電界放出特性は局所電界Fによって決まるため、物体のγ値が高いほど、顕著な放出が発生するF _Mの値は低くなります。したがって、 Wの値が一定であれば、顕著な放出が発生する印加電圧V は低くなります。

1990年代半ばから約10年間、プラズマ蒸着法で作製したアモルファス炭素や「ダイヤモンド状」炭素の膜からの電界放出に大きな関心が寄せられた。^{[ 53 ] [ 54 ]}しかし、その後、CNTエミッターの登場や、蒸着プロセス中に未知の方法で生成された炭素粒子が放出部位と関連している可能性があるという証拠が出てきたことなどから、関心は薄れていった。このことは、工業規模の生産プロセスの 品質管理に問題がある可能性を示唆していた。

^{CNTフィールドエミッター[ 41 ]}の導入は、「マット」形状と「成長アレイ」形状の両方において大きな前進であった。その物理的特性と技術的応用の可能性の両方について、広範な研究が行われてきた。^{[ 40 ]}フィールドエミッションにおけるCNTの利点は、その高アスペクト比の形状により、「天然の電界増強物体」となることである。

近年、他の形態の薄膜エミッターの開発への関心も高まっており、これには他の炭素材料（例えば「カーボンナノウォール」^{[ 55 ]}）や様々な形態のワイドバンドギャップ半導体に基づくものの両方が含まれます。^{[ 56 ]}特に目指されているのは、個々の放出サイトの密度が十分に高い「高γ 」ナノ構造の開発です。ナノチューブウェブの形態をとるナノチューブ薄膜は、電界放出電極の開発にも用いられています。^{[ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]}製造パラメータを微調整することで、これらのウェブは個々の放出サイトの密度を最適化できることが示されています。^{[ 57 ]これらのウェブを互いに垂直に配向させた2層構造の電極は、ターンオン電界（10 μA/cm 2}の放出電流を達成するために必要な電界）を0.3 V/μmまで低減し、安定した電界放出性能を実現できることが示されています。^{[ 58 ]}

あらゆる電界放出デバイス、特に「工業用真空条件」で動作するデバイスに共通する問題は、システム内の他の場所から侵入するガス原子の吸着によって放出性能が低下する可能性があること、そして放出された電子が気相中の原子や対電極表面に衝突することで生成されるイオンによる衝撃など、様々な望ましくない付随プロセスによってエミッタの形状が原理的に有害な変化を生じる可能性があることです。したがって、「劣悪な真空条件下における堅牢性」は重要な産業的要件であり、新しいエミッタ材料の研究においてはこの点を考慮する必要があります。

本稿執筆時点では、大面積電界放出源として最も有望な形態は (達成される平均放出電流密度の観点からは間違いなく)、スピントアレイと CNT をベースにしたさまざまな形態の放出源であると思われます。

アプリケーション

大面積電界放出源の開発は、もともと、より効率的な新しい形態の電子情報ディスプレイを開発したいという願望から始まりました。これらは「電界放出ディスプレイ」または「ナノエミッションディスプレイ」として知られています。いくつかのプロトタイプが実証されているものの^{[ 40 ]} 、このようなディスプレイを信頼性の高い商用製品へと開発することは、光源特性とは直接関係のない様々な産業生産上の問題によって妨げられてきました[En08]。

大面積電界放出源の他の用途としては^{[ 40 ]} 、マイクロ波発生、宇宙船の無力化、X線発生、そして（アレイ光源の場合）多重電子ビームリソグラフィーなどが提案されている。また、最近では「プラスチックエレクトロニクス」への幅広いトレンドに沿って、フレキシブル基板上に大面積エミッターを開発する試みも行われている。

このような用途の開発は、真空ナノエレクトロニクスの使命です。しかしながら、電界放出源は良好な超高真空条件下で最も効果的に機能します。現在までに最も成功した応用例（FEM、FES、EMガン）は、こうした条件下で実現されています。しかし、残念ながら、電界放出源と産業用真空環境は相性が良くなく、このような環境で使用される電界放出源の良好な「真空耐性」を確実に確保するという関連する問題は、現状よりも優れた解決策（おそらくより巧妙な材料ソリューション）を待ち望んでいます。

真空破壊と放電現象

すでに述べたように、電界電子放出の最も初期の兆候は、それが引き起こす放電であったと考えられています。ファウラー＝ノルドハイムの研究の後、電界電子放出（CFE）は真空破壊および放電現象の根本原因の一つである可能性があると理解されました。（詳細なメカニズムと経路は非常に複雑であり、単一の普遍的な原因は存在しません）^{[ 60 ]}真空破壊が陰極からの電子放出によって引き起こされることが知られている場合、当初の考えでは、そのメカニズムは小さな導電性の針状の表面突起からの電界電子放出（CFE）であると考えられていました。不要な電界電子放出電流を生成する可能性のある電極表面を丸く滑らかにする手順が（現在も）用いられてきました。しかし、レイサムらの研究^{[ 51 ]}は、放出は滑らかな表面における半導体介在物の存在とも関連している可能性があることを示しました。放出がどのように発生するかという物理学的メカニズムはまだ完全には解明されていませんが、いわゆる「三重接合効果」が関与しているのではないかとの疑いがあります。さらに詳しい情報は、レイサムの著書^{[ 51 ]}およびオンライン参考文献^{[ 60 ]に記載されています。}

電子デバイスにおける内部電子移動

一部の電子デバイスでは、ある物質から別の物質への電子移動、あるいは（傾斜バンドの場合）あるバンドから別のバンドへの電子移動（「ツェナートンネル効果」）は、ファウラー・ノルドハイムトンネル効果の一種とみなせる電界誘起トンネル効果によって起こる。例えば、ローデリックの著書では、金属-半導体接合に関連する理論が論じられている。^{[ 61 ]}

ファウラー・ノルドハイムトンネル

ファウラー・ノルドハイム・トンネル効果は、電子が正三角形または丸みを帯びた三角形の障壁を通過する波動力学的トンネル効果である。物質の構造に応じて、電子は当初表面に局在するか、バルク内に非局在化し、進行波として最もよく表される。金属伝導帯からの放出は後者のタイプの状況であり、ここでは後者のみを扱う。また、障壁は1次元（すなわち、横方向の構造を持たない）であり、「散乱」または「共鳴」効果を引き起こす微細構造を持たないと仮定する。これらの仮定は主に理論を単純化するために用いられるが、物質の原子構造は実質的に無視されている。

治療には主に4つの段階があります。

1. 丸みを帯びた三角形の障壁を通過する電子のトンネル効果を考慮して、脱出確率の公式を導出します。
2. 内部電子状態を積分して総エネルギー分布を得る。
3. 2 回目の積分では、局所障壁場と局所仕事関数の関数として放出電流密度を取得します。
4. 局所仕事関数を、印加電圧の関数としての電流の式に変換します。

大面積エミッターに必要な修正された方程式と実験データ分析の問題は別々に扱われます。

原動力

電子の場合、1次元シュレーディンガー方程式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=\left[U(x)-E_{\mathrm {n} }\right]\Psi (x)=M(x)\Psi (x),}$

1

ここで、Ψ( x ) は電子の波動関数であり、エミッターの電気表面から測った距離xの関数として表される。 ^{[ 62 ]} ħは換算プランク定数、mは電子の質量、U ( x ) は電子の位置エネルギー、E _nはx方向の運動に関連する全電子エネルギー、M ( x ) = [ U ( x ) − E _n ]は電子の駆動エネルギーと呼ばれる。^{[ 63 ]} M ( x ) は、仮想的な古典的な点電子のx方向の運動に関連する電子の運動エネルギーの負として解釈でき、障壁では正である。

トンネル障壁の形状は、 M ( x ) > 0の領域におけるM(x)の位置による変化によって決まる。電界放出理論では、( 2 )に示す正確な三角形(ET)障壁と( 3 )に示すショットキー・ノルドハイム(SN)障壁という2つのモデルが特別な地位を占めている。 ^{[ 64 ] [ 65 ]}

${\displaystyle M^{\mathrm {ET} }(x)=h-eFx}$

2

${\displaystyle M^{\rm {SN}}(x)=h-eFx-{\frac {e^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}x}},}$

3

ここで、hは障壁の零電場高さ（または減衰前の高さ）、 eは正電荷素量、Fは障壁電場、ε _0は電気定数である。慣例により、古典的な静電場は負であるにもかかわらず、Fは正とみなされる。SN方程式は、古典的な鏡像ポテンシャルエネルギーを用いて、物理的効果「相関と交換」を表す。

脱出確率

与えられた障壁に内側から接近する電子の脱出確率（または「透過係数」もしくは「透過係数」）は、 hとFの関数であり、 D ( h , F )と表記される。トンネル理論の主目的は、D ( h , F )を計算することである。ショットキー・ノルドハイム障壁のような物理的に現実的な障壁モデルの場合、シュレーディンガー方程式を単純な方法で正確に解くことはできない。そこで、いわゆる「半古典的」アプローチを用いることができる。パラメータG ( h , F )は、JWKB（ジェフリーズ・ウェンツェル・クラマース・ブリルアン）積分によって定義できる。 ^{[ 66 ]}

${\displaystyle G(h,F)=g\int M^{1/2}{\mbox{d}}x,}$

4

ここで積分は障壁（つまりM > 0の領域 ）を横切って行われ、パラメータgは次式で与えられる普遍定数である。

${\displaystyle g\,=2{\sqrt {2m}}/\hbar \approx 10.24624\;{\rm {eV}}^{-1/2}\;{\rm {nm}}^{-1}.}$

5

フォーブスは、フロマンとフロマンによって証明された結果を再整理し、形式的には、1次元の扱いで、Dの正確な解は次のように書けることを示した^{[ 67 ]。}

${\displaystyle \,D={\frac {P\mathrm {e} ^{-G}}{1+P\mathrm {e} ^{-G}}},}$

6

ここでトンネル効果のプレファクタPは原理的には複素空間内の経路に沿った複雑な反復積分によって評価できるが、単純なモデルでは≈1である。^{[ 67 ] [ 68 ]} CFE領域では（定義により）G  ≫ 1である。したがって式（6）はいわゆる単純なJWKB式に簡約される。

${\displaystyle D\approx P\mathrm {e} ^{-G}\approx \mathrm {e} ^{-G}.}$

7

正確な三角形の障壁については、式（2）を式（4）に代入すると、 G ^ET = bh ^3/2 / Fが得られる。ここで、

${\displaystyle b={\frac {2g}{3e}}={\frac {4{\sqrt {2m}}}{3e\hbar }}\approx 6.830890\;{\mathrm {eV} }^{-3/2}\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1}.}$

8

このパラメータbは普遍定数であり、第二ファウラー・ノルドハイム定数と呼ばれることもある。他の形状の障壁については、次のように書く。

${\displaystyle G(h,F)=\nu (h,F)G^{\mathrm {ET} }=\nu (h,F)bh^{3/2}/F,}$

9

ここでν ( h , F )は式( 4 )の数値積分によって決定される補正係数である。

ショットキー・ノルドハイム障壁の補正係数

ファウラー・ノルドハイム電界放出（および増強熱イオン放出）に対するショットキー・ノルドハイム障壁

^{標準的なファウラー・ノルドハイム型方程式[ 69 ]}を導出する際に用いられる障壁モデルであるショットキー・ノルドハイム障壁は特別なケースである。この場合、補正係数は単一の変数f _hの関数であり、 f _h  =  F / F _hで定義されることが知られている。ここで、F _hはショットキー・ノルドハイム障壁の高さをhから0に下げるために必要な電場である。この電場は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\it {\nu }}}$

${\displaystyle \,F_{h}=(4\pi \epsilon _{0}/e^{3})h^{2}=(0.6944617\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1})(h/{\rm {eV}})^{2}.}$

10

パラメータf _hは 0 から 1 までの範囲にあり、ゼロ場高さhのショットキー・ノルドハイム障壁に対して、スケールされた障壁場と呼ばれることもあります。

ショットキー・ノルドハイム障壁の場合、ν ( h , F )は関数ν ( ℓ ′ ) の特定の値ν ( f _h ) によって与えられる。後者は明示的な級数展開を伴う数理物理学の関数であり^{[ 70 ]} 、主ショットキー・ノルドハイム障壁関数と呼ばれている。ν ( f _h )の次のような良い単純な近似式が見出されている: ^{[ 69 ]}

${\displaystyle v(f_{h})\approx 1-f_{h}+{\tfrac {1}{6}}f_{h}\ln f_{h}.}$

11

減衰幅

減衰幅（エネルギー）d _hは、障壁の高さhが増加するにつれて脱出確率Dがどれだけ速く減少するかを測定します。d _hは次のように定義されます。

${\displaystyle {\frac {1}{d_{h}}}=-{\frac {\mathrm {d} (\ln D)}{\mathrm {d} h}}.}$

12

hがd _hだけ増加すると、脱出確率Dはe（≈2.718282）に近い係数で減少する。正確な三角形障壁に基づく基本モデルでは、ν  = 1、P  ≈ 1とすると、以下の式が得られる 。

${\displaystyle d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {2F}{3b{\sqrt {h}}}}={\frac {eF}{g{\sqrt {h}}}}.}$

より一般的な式（12 ）から導かれる減衰幅d _hは、これから「減衰幅補正係数」λ _dだけ異なるので、

${\displaystyle d_{h}=\lambda _{d}d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {\lambda _{d}eF}{g{\sqrt {h}}}}.}$

13

通常、補正係数は 1 として近似できます。

局所仕事関数φに等しいhを持つ障壁の減衰幅d _Fは特に興味深い。数値的にこれは次のように与えられる。

${\displaystyle d_{\mathrm {F} }={\frac {\lambda _{d}eF}{g{\sqrt {\phi }}}}\approx {\frac {eF}{g{\sqrt {\phi }}}}\approx 0.09759678\;\mathrm {eV} \,\cdot {\sqrt {\frac {1\ \mathrm {eV} }{\phi }}}\cdot {\frac {F}{1\ \mathrm {V} \ \mathrm {nm} ^{-1}}}.}$

14

金属の場合、 d _Fの値は通常 0.2 eV 程度ですが、障壁場Fによって変化します。

コメント

歴史的な注釈が必要である。式( 9 )のようにショットキー・ノルドハイム障壁に補正係数が必要であるという考えは、1928年にノルドハイムによって導入されたが^{[ 65 ]}、係数の数学的分析は間違っていた。新しい（正しい）関数は1953年にバージェス、クローマー、ヒューストンによって導入され^{[ 71 ]}、その数学的展開は1956年にマーフィーとグッドによってさらに進められた^{[ 72 ]。}この補正関数は「特殊電界放出楕円関数」と呼ばれることもあり、「ノルドハイムパラメータ」として知られる数学的変数yの関数として表現された。最近になって（2006年から2008年）、数学的には変数ℓ ′ （= y2）^を使用する方がはるかに適切であることが認識された。そしてごく最近になって、この関数の正確な級数展開（ガウスの超幾何微分方程式の既知の特殊解から出発して）の妥当性を開発・証明することで、ν ( ℓ ′ ) の定義が完成しました。また、近似値 ( 11 ) もごく最近になって発見されました。近似値 ( 11 ) は同等の計算量を持つ従来の近似値をすべて上回り、最終的にはそれらに取って代わると考えられます。これらの最近の進展とその影響は、いずれ電界放出研究に大きな影響を与えると考えられます。

これらの結果をまとめると以下のようになります。適切な高さの、適切に動作する障壁の頂部よりかなり下をトンネルで通過する場合、脱出確率D ( h , F )は次のように正式に与えられます。

${\displaystyle D(h,F)\approx P\exp \left[-{\frac {\nu (h,F)bh^{3/2}}{F}}\right],}$

15

ここで、 ν ( h , F )は、一般には数値積分によって求めなければならない補正係数です。ショットキー・ノルドハイム障壁の特殊なケースについては、解析的な結果が存在し、ν ( h , F )は、上で説明したようにν ( f _h )で与えられます。 ν ( f _h ) の近似値 (11) は、あらゆる技術的目的には十分すぎるほどです。 前置係数Pも、原理的にはhと (おそらく) Fの関数ですが、ここで説明する単純な物理モデルでは、通常は近似値P  = 1 で十分です。 正確な三角形の障壁は、シュレーディンガー方程式がファウラーとノルドハイムによって行われたように正確に解ける特殊なケースです。^{[ 1 ]}この物理的に非現実的なケースでは、ν ( f _h ) = 1 であり、 Pの解析的近似値が存在します。

ここで述べるアプローチは、もともと滑らかで、古典的に平坦な平面発光面からのファウラー・ノルドハイム・トンネル効果を記述するために開発されたものです。このアプローチは、半径が10～20 nm程度の滑らかで古典的な曲面には適しています。より急峻な半径の表面にも適用できますが、その場合、νやDといった値は、表面曲率を記述するパラメータの重要な関数となります。エミッターが非常に鋭く、原子レベルの詳細を無視できない場合、および／またはトンネル障壁がエミッター頂点の寸法よりも厚い場合は、より洗練されたアプローチが望ましいでしょう。

冒頭で述べたように、ここで議論した電界電子放出の比較的単純な扱いでは、物質の原子構造の影響は無視されている。原子構造を適切に考慮することは非常に難しい問題であり、これまで限られた進展しか見られなかった。^{[ 33 ]}しかし、ファウラー・ノルドハイム・トンネル理論への主な影響は（実際には）式（15）のPとνの値を、現時点では容易に推定できない程度に変化させることになると思われる。

これらの考察はすべて、原理的には、（トンネル効果発生前に）電子が進行波状態にあるとみなせるあらゆる導体からのファウラー・ノルドハイム・トンネル効果に当てはまる。このアプローチは、電子が当初は放射面またはその近傍に局在状態にある状況にも（近似的に）適用できる可能性があるが、これは本稿の範囲外である。

総エネルギー分布

放出された電子のエネルギー分布は、放出された電子のエネルギー分布を用いてエミッター表面の物理的側面を調べる科学実験^{[ 34 ]}と、電子顕微鏡などの電子ビーム計測機器で使用される電界放出源^{[ 42 ]}の両方にとって重要です。後者の場合、分布の「幅」（エネルギー）は、ビームをどれだけ細かく焦点を合わせることができるかに影響します。

ここでの理論的説明はフォーブスのアプローチに従う。^{[ 73 ]} εがエミッタフェルミ準位に対する全電子エネルギーを表し、Kp_がエミッタ表面に平行な電子の運動エネルギーを表す場合、電子の法線エネルギーεn （「順方向エネルギー」と呼ばれることもある_）は次のように定義される。

${\displaystyle \;\epsilon _{\mathrm {n} }=\epsilon -K_{\mathrm {p} }.}$

16

理論的なエネルギー分布には2種類あります。1つは、放出直後（つまりトンネル障壁のすぐ外側）におけるエネルギーε _{nの分布を示す}通常エネルギー分布（NED）です。もう1つは、全エネルギーεの分布を示す全エネルギー分布です。放出側のフェルミ準位を基準ゼロ準位として使用する場合、εとε _{n は}どちらも正または負のいずれかになります。

1930年代から電界放出器を用いたエネルギー分析実験が行われてきました。しかし、これらの実験では常に全エネルギー分布が測定されていたことが（YoungとMueller ^{[ 31 ]} [,YM58]によって）認識されたのは1950年代後半になってからのことでした。この全エネルギー分布は現在では通常j ( ε ) で表されます。これは、放出が平坦な表面上の小さな電界増強突起から発生する場合にも当てはまります（あるいはほぼ当てはまります）。^{[ 34 ]}

ゾンマーフェルトの自由電子型モデルの枠組み内で全エネルギー分布をどのように計算するかを確認するには、PT エネルギー空間図(PT="parallel-total") を参照してください。

PT エネルギー空間図。進行波電子状態が存在する PT エネルギー空間の領域を示します。

これは、横軸に「平行運動エネルギー」K _p 、縦軸に全エネルギーεを示している。バルク金属内部の電子は通常、 K _pとεの値が薄く塗りつぶされた領域内に存在する。このエネルギー空間の各要素 d ε d K _{p が}、エミッタ境界の内側に入射する電子電流密度に寄与することがわかる。 ^{[ 73 ]}ここで、z _Sは普遍定数（ここではゾンマーフェルト供給密度と呼ばれる）である。 ${\displaystyle z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }}$

${\displaystyle z_{\mathrm {S} }=4\mathrm {\pi } em/h_{\mathrm {P} }^{3}=1.618311\times 10^{14}\,{\rm {{A}\,m^{-2}\,eV^{-2},}}}$

17

はフェルミ・ディラック分布関数である。 ${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }}$

${\displaystyle \,f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )=1/[1+\exp(\epsilon /k_{\mathrm {B} }T)],}$

18

ここで、Tは熱力学温度、k _Bはボルツマン定数です。

この入射電流密度の要素は、次式で与えられる高さhの障壁を検出します。

${\displaystyle \,h=\phi -\epsilon +K_{\mathrm {p} }}$

19a

対応する脱出確率はD ( h , F )である。これは（近似的に）次のように展開できる^{[ 73 ]}

${\displaystyle D(h,F)\approx D_{\mathrm {F} }\;\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })\;\exp(-K_{\mathrm {p} }/d_{\mathrm {F} }),}$

19b

ここで、 D _Fは、局所仕事関数φに等しい高さの障壁からの脱出確率である。したがって、要素 d ε d K _pは放出電流密度に寄与し、要素範囲 d εのエネルギーを持つ入射電子による全寄与は、 ${\displaystyle z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }D\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }}$

${\displaystyle j(\epsilon )\mathrm {d} \epsilon =z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }\left[\int D\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }\right]\mathrm {d} \epsilon =z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }D_{\mathrm {F} }\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })\left[\int _{0}^{\infty }\exp(-K_{\mathrm {p} }/d_{\mathrm {F} })\;\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }\right]\mathrm {d} \epsilon ,}$

20

ここで積分は原理的には図に示す帯状に沿って行われますが、実際には、減衰幅d _{F が}フェルミエネルギーK _Fよりはるかに小さい場合（金属の場合は常にそうなります）、∞まで拡張することができます。積分の結果は次のように表すことができます。

${\displaystyle \,j(\epsilon )=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })=j_{\mathrm {F} }f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} }),}$

21

ここで、およびは、局所仕事関数φに等しい、高さhが減少していない障壁に適切な値であり、この式によって定義されます。 ${\displaystyle d_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle D_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle j_{\mathrm {F} }[\,=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }]}$

与えられたエミッターに与えられた電界が印加された場合、はFに依存しないので、式(21)は、分布の形状（ε がフェルミ準位よりはるかに低い負の値から増加するにつれて）が、FD分布関数を乗じた指数関数的に増加することを示しています。これは、Youngによって最初に予測された、よく知られた分布形状を生成します。^{[ 31 ]}低温では、 はフェルミ準位付近で1から0に急激に変化し、分布の 半値幅（FWHM）は次のように表されます。${\displaystyle j_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )}$

${\displaystyle \mathrm {FWHM} \,=d_{\mathrm {F} }\ln(2)\approx 0.693\,d_{\mathrm {F} }.}$

22

実験的な CFE 総エネルギー分布がこの基本的な形状を持つという事実は、金属中の電子がフェルミ・ディラック統計に従うことを実験的に確認する良い証拠となります。

冷電界電子放出

ファウラー・ノルドハイム型方程式

導入

J – F形式のファウラー・ノルドハイム型方程式は、バルク金属の伝導帯における内部電子状態から放出される局所電流密度Jを記述するために導出される（近似的な）理論方程式である。放出面の均一な微小領域における放出電流密度（ECD）Jは、通常、その微小領域を特徴付ける局所仕事関数φと局所障壁場Fの関数J ( φ , F )として表される。鋭角に曲がった表面の場合、J は表面の曲率を記述するパラメータにも依存する場合がある。

当初の導出において行われた物理的仮定のため、^{[ 1 ]}ファウラー・ノルドハイム型方程式という用語は、長らく零温度におけるECDを記述する方程式にのみ使用されてきた。しかし、CFE放出領域内の有限温度において有効な、わずかに修正された方程式（後述）もこの名称に含める方が適切である。

零温度型

電流密度はA/m ²で測定するのが最も適切である。均一な小さな領域から放出される全電流密度は、全エネルギー分布j ( ε ) を全電子エネルギーεで積分することによって得られる。零温度では、フェルミ・ディラック分布関数はε < 0でf _FD = 1、ε > 0でf _FD = 0 となる。したがって、0 Kにおける電子密度J ₀は式(18)から次のように与えられる。

${\displaystyle J_{0}=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }\int _{-\infty }^{0}\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })\;\mathrm {d} \epsilon \;=\;z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}D_{\mathrm {F} }\;=\;Z_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} },}$

23

ここでは状態 F の有効供給量であり、この式で定義されます。厳密には、積分の下限は − K _F（K _Fはフェルミエネルギー）となります。しかし、d _FがK _Fよりも非常に小さい場合（金属では常にそうなります）、積分へのK _F未満のエネルギーからの寄与は大きくなく、積分は正式には -∞ まで拡張できます。 ${\displaystyle Z_{\mathrm {F} }\;[=z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}]}$

結果(23)は、図1を参照することで、単純かつ有用な物理的解釈が得られる。図中の点「F」における電子状態（「状態F」）は、「フェルミ準位で前進する状態」（すなわち、フェルミ準位の電子がエミッタ表面に対して垂直に、かつエミッタ表面に向かって移動する状態）である。0 Kにおいて、この状態の電子は、高さφの減少しない障壁に直面し、他の占有電子状態よりも高い脱出確率D _{Fを持つ。したがって、} J _0をZ _F D _Fと表記するのが便利である。ここで、「有効供給」Z _{F は}、すべての放出が状態Fから発生すると仮定した場合、金属内部で状態Fが担わなければならない電流密度である。

実際には、電流密度は主に状態Fのエネルギーに近い一群の状態から生じ、そのほとんどはエネルギー空間図の濃い影付きの領域内にあります。自由電子モデルでは、電流密度への寄与はエネルギー空間の面積に正比例するため（比例定数としてゾンマーフェルトの供給密度z _{Sを用いる）、エネルギー空間図において}d _F ²（単位はeV ²）の大きさの領域内の電子状態からECDが引き出されると考えると便利です。つまり、図1の濃い影付きの領域内の状態からECDが引き出されると考えると便利です。（この近似は温度が上昇するにつれて徐々に悪化します。）

Z _{F は}次の形式でも表記されます。

${\displaystyle Z_{\mathrm {F} }=z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}={\lambda _{d}}^{2}(z_{\mathrm {S} }e^{2}g^{-2})\phi ^{-1}F^{2}={\lambda _{d}}^{2}a\phi ^{-1}F^{2},}$

24

ここで、普遍定数aは、第一ファウラー・ノルドハイム定数とも呼ばれ、次のように与えられる。

${\displaystyle a=z_{\mathrm {S} }e^{2}g^{-2}=e^{3}/8\pi h_{\mathrm {P} }\approx \;1.541434\times 10^{-6}\;\mathrm {A\;eV} \;{\mathrm {V} }^{-2}.}$

25

これは、ファウラー・ノルドハイム型方程式に現れる指数関数前係数aφ ⁻¹ F ²が、自由電子モデルにおけるエミッタ表面への電子の有効供給に関係していることを明確に示しています。

非零気温

非零温度で有効な結果を得るために、式(23)からz _S d _F D _F = J ₀ / d _Fが成り立つことに留意する。したがって、式(21)を非零温度で積分すると、この置換とフェルミ・ディラック分布関数の明示的な形を挿入することで、ECD Jは次の式で表される。

${\displaystyle J=J_{0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })}{1+\exp[(\epsilon /d_{\mathrm {F} })(d_{\mathrm {F} }/k_{\mathrm {B} }T)]}}\mathrm {d} (\epsilon /d_{\mathrm {F} })=\lambda _{T}J_{0},}$

26

ここでλT_は積分によって与えられる温度補正係数である。積分は、およびを書き、そして、と書き直すことで標準的な結果に変換できる。 ^{[ 74 ]}${\displaystyle w=d_{\mathrm {F} }/k_{\mathrm {B} }T}$ ${\displaystyle x=\epsilon /d_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle u=\exp(x)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\mathrm {e} }^{x}}{1+{\mathrm {e} }^{wx}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{1+u^{w}}}={\frac {\pi }{w\sin(\pi /w)}}.}$

27

これはw > 1（すなわちd _F / k _B T > 1 ）のときに成立する。したがって、 k _B T < d _Fとなる温度では、次の式が成り立つ。

${\displaystyle \lambda _{T}={\frac {\pi k_{\mathrm {B} }T/d_{\mathrm {F} }}{\sin(\pi k_{\mathrm {B} }T/d_{\mathrm {F} })}}\approx 1+{\frac {1}{6}}\left({\frac {\pi k_{\mathrm {B} }T}{d_{\mathrm {F} }}}\right)^{2},}$

28

ここで、展開は ( π k _B T / d _F ) ≪ 1 の場合にのみ有効です。例えば、φ = 4.5 eV、F = 5 V/nm、T = 300 Kの場合、 λ _T = 1.024となります。一般的には、CFE領域ではλ _Tは他の不確かさに比べて常に小さく、室温での電流密度の式に明示的に含める必要はないと考えられてきました。

金属の放出領域は、実際には、与えられた放出方程式群が数学的に適切な障壁場Fと温度Tの範囲によって定義される。障壁場Fが0 Kで金属放出のCFE領域が機能するのに十分高い場合、条件k _B T < d _FはCFE放出領域の正式な上限（温度）を提供する。しかし、（導出の他の部分で行われた近似により）条件k _B T < 0.7 d _Fがより適切な動作限界であると主張されてきた。これはλ _T値が約1.09に相当し、（この例では）CFE領域の上限温度は約1770 Kである。この限界は障壁場の関数である。^{[ 33 ] [ 72 ]}

ここでの結果(28)は、任意の形状の障壁に適用されることに注意する(ただし、dF_は障壁によって異なる)。

物理的に完全なファウラー・ノルドハイム型方程式

結果(23)は、原子レベルの効果を考慮した場合、バンド構造がもはや自由電子的でなくなった場合に何が起こるかについても、ある程度理解することにつながる。原子イオンコアの存在により、表面障壁、そして表面における電子波動関数も変化する。これは、補正係数、前置係数P、そして（限定的に）補正係数λ _dの値に影響を与える。これらの変化は、今度はパラメータD _Fと（限定的に）パラメータd _Fの値に影響を与える。実際の金属の場合、供給密度はエネルギー空間における位置によって変化し、点「F」における値はゾンマーフェルト供給密度と異なる可能性がある。この効果は、式(23)に電子バンド構造補正係数λ _Bを導入することで考慮することができる。Modinosはこの係数の計算方法について議論しており、0.1から1の間になる可能性が高いと推定している。これらの限界の外側にある可能性はあるが、 0.01 < λB < 10_の範囲外にある可能性は非常に低い。^{[ 75 ]}${\displaystyle \nu }$

総供給補正係数λZをλTλBλd2と定義し_、上記_の式を^{組み合わせる}_と、いわゆる物理的に完全なファウラー・ノルドハイム型方程式が得_られる。^{[ 76 ]}

${\displaystyle J\;=\lambda _{Z}a\phi ^{-1}F^{2}P_{\mathrm {F} }\exp[-\nu _{\mathrm {F} }b\phi ^{3/2}/F],}$

29

ここで、[= ( φ , F )] は、高さφが減少していない障壁の指数補正係数です。これは、ファウラー・ノルドハイム型の最も一般的な方程式です。この族の他の方程式は、それに含まれる 3 つの補正係数、P _F、およびλ _Zに特定の式を代入することで得られます。学部生の教科書で電界放出について説明されている、いわゆる基本的なファウラー・ノルドハイム型方程式は、λ _Z → 1、P _F → 1、→ 1と置くことで得られます。これは、障壁を物理的現実よりも強くするため、適切な定量的予測は得られません。いわゆる標準ファウラー・ノルドハイム型方程式は、もともとマーフィーとグッドによって開発され_[ ^{72 ] 、}過去の文献で多用されてきたが、λZ→tF−2、PF→1、→vFと置くことで得られる。_ここで_vF^はv ( f )であり_、 f_はh = φと置くことで_得られるfhの値であり、tFは関連するパラメータ（1に近い値）である。^{[ 69 ]}${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$

ここで述べたより完全な理論では、係数t _F ^{−2は補正係数}λ _d ²の構成要素である（^{[ 67 ]}を参照。λ _d ^{2はそこで}λ _Dと表記されている）。 t F ₋₂^を個別に特定し続けることに大きな価値はない。おそらく、現在の知識レベルでは、金属からのCFEのモデリングに基づく単純なFowler–Nordheim型方程式の最良近似は、λ _Z → 1、P _F → 1、→ v ( f )と置くことによって得られる。これは、1956年にDykeとDolanが使用したFowler–Nordheim型方程式を再生成するもので、「簡略化された標準Fowler–Nordheim型方程式」と呼ぶことができる。 ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$

単純なファウラー・ノルドハイム型計算の推奨形式

明示的には、この推奨される簡略化された標準ファウラー-ノルドハイム型方程式と関連する公式は次のとおりです。

${\displaystyle J=\;a{\phi ^{-1}}F^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/F],}$

30a

${\displaystyle a\approx \;1.541434\times 10^{-6}\;\mathrm {A\;eV} \;{\mathrm {V} }^{-2};\;\;\;\;\;b\approx 6.830890\;{\mathrm {eV} }^{-3/2}\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1},}$

30b

${\displaystyle v(f)\approx 1-f+(1/6)f\ln f}$

30セント

${\displaystyle f=\;F/F_{\phi }=(e^{3}/4\pi \epsilon _{0})(F/{\phi }^{2})=(1.439964\;{\mathrm {eV} }^{2}\;{\mathrm {V} }^{-1}\;\mathrm {nm} )(F/{\phi }^{2}).}$

30日

ここでF _φは、高さが低減されていないショットキー・ノルドハイム障壁をゼロにするために必要な電界で、その高さは局所仕事関数φに等しく、fは高さが低減されていないショットキー・ノルドハイム障壁のスケールされた障壁電界である。 [この量fは、より正確にはf _φ ^SNと書くこともできたが、 ^{[ 69 ]}式(2.16)でf _φ ^SNで表される量を意味するという慣例を採用すれば、このファウラー・ノルドハイム型の式がすっきり見える。] 例の場合 ( φ = 4.5 eV、F = 5 V/nm )、f ≈ 0.36およびv ( f ) ≈ 0.58 である。これらのパラメータの実際的な範囲については、 ^{[ 77 ]}でさらに議論する。

変数f （スケーリングされた障壁場）は、過去の電界放出文献で広く用いられてきた変数y （ノルドハイムパラメータ）とは異なることに注意すべきである。また、「 v ( f ) 」は、電界放出文献に現れる量「 v ( y ) 」と同じ数学的意味や値を持たない。ここで述べる改訂理論の文脈では、v ( y ) の公式やv ( y ) の値の表は無視するか、v ( f ^{1/2 ) の値として扱うべきである。} v ( f )のより正確な値が必要な場合は、^{[ 69 ]が、8×10 −10}を超える絶対数学的精度でv ( f )の値を与える公式を提供している。しかし、上記の近似式（30c）は、絶対数学的精度が0.0025以内の正確な値を与えるため、あらゆる技術的目的に十分な精度を持つはずである。^{[ 69 ]}

コメント

ファウラー・ノルドハイム型方程式の導出法に関する歴史的考察が必要である。自由電子理論を用いてこれらの方程式を導出する方法はいくつか考えられる。ここで用いる方法は2004年にフォーブス誌で発表されたもので、「平行運動エネルギーK _{p を}積分の最初の変数として、全エネルギー分布を介して積分する」と説明できる。^{[ 73 ]}基本的に、これはモディノス法^{[ 33 ] [ 75 ]}（より高度な量子力学的処理）の「表面ブリルアンゾーンにわたって積分する」という手順の自由電子版である。対照的に、ヤング（1959年）^{[ 31 ]} 、ガドズクとプラマー（1973年）^{[ 34 ]}、モディノス（1984年）^{[ 33 ]}によるCFEの自由電子処理も全エネルギー分布を介して積分するが、積分の最初の変数として法線エネルギーε _n（または関連量）を用いる。

1928年のノルドハイムの独創的な論文に基づく、より古いアプローチもある。^{[ 78 ]}これは問題を別の形で定式化し、まずK _{p を}、次にε _n（または関連量）を積分の変数として使用する。これは「通常エネルギー分布による積分」として知られている。このアプローチは、一部の著者によって現在も使用されている。特に共鳴現象を議論する場合にいくつかの利点があるが、積分の最初の段階でフェルミ–ディラック分布関数の積分を必要とする。自由電子に似ていない電子バンド構造の場合、これは非常に複雑でエラーが発生しやすい計算につながる可能性がある（半導体に関するストラットンの研究のように）。^{[ 79 ]}さらに、通常エネルギー分布による積分では、実験的に測定された電子エネルギー分布は生成されない。

一般に、ここで使用されているアプローチは理解しやすく、より単純な数学につながります。

また、この方法は原理的に、実際のバルク結晶固体を扱う際に用いられる、より洗練された手法に近い。その最初のステップは、波数ベクトル空間（k空間）内の一定エネルギー面上でECDへの寄与を積分するか、または関連する表面ブリルアンゾーン上で寄与を積分するかのいずれかである。^{[ 34 ] [ 33 ]}フォーブスのアプローチは、変数Kpを使用して放射面に対して垂直な方向の軸の周りに円筒対称性を持つリング状の積分要素を定義し、k空間内_の球面上で積分するか、または円形リング要素を使用して（拡張された）表面ブリルアンゾーン上で積分することと同等である。

CFE理論方程式

前節では、ファウラー・ノルドハイム型方程式の導出方法を説明した。厳密には、これらの方程式はバルク金属からのCFEにのみ適用される。以下の節で説明する考え方は、より一般的なCFEにも適用されるが、説明のために式(30)を用いる。

CFEの場合、基本的な理論的処理により、放出面上の局所的な位置における局所放出電流密度Jと局所障壁電場Fの関係が示される。実験では、放出面の特定の部分からの放出電流iを、対電極に印加された電圧Vの関数として測定する。これらの変数をJおよびFに関連付けるために、補助方程式が用いられる。

電圧-障壁電界変換係数βは次のように定義されます。

${\displaystyle F=\;\beta V,}$

31

Fの値はエミッタ表面上の位置によって変化し、それに応じてβの値も変化します。

金属エミッターの場合、特定の位置におけるβ値は、以下の条件下では一定（電圧に依存しない）となる：(1) 装置は「ダイオード」配置であり、存在する電極はエミッターと一連の「周囲」のみであり、その周囲はすべて同じ電圧となっている。(2) 顕著な電界放出真空空間電荷（FEVSC）は存在しない（これは、放出電流密度が10 ⁹ A/m ²程度以上と非常に高い場合を除いて当てはまる^{[ 27 ] [ 80 ]} ）。(3)局所的な仕事関数の不均一性の結果として、顕著な「パッチ電界」は存在しない^{[ 63 ]}（これは通常は当てはまると想定されているが、状況によっては当てはまらない場合もある）。非金属の場合、「電界浸透」および「バンドベンディング」と呼ばれる物理的効果 [M084]により、 βは印加電圧の関数となる可能性があるが、驚くべきことに、この効果に関する研究はほとんど行われていない。

放出電流密度J は、エミッタ表面上の位置によって変化します。エミッタの特定部分からの総放出電流i は、その部分におけるJ を積分することで得られます。i ( V )の簡単な式を得るには、以下の手順を用います。エミッタ表面のこの部分（多くの場合、電流密度が最も高い点）内に基準点 "r" を選択し、この基準点における電流密度をJ _{rとします。次に、点 "r" を基準とした}概念放出面積と呼ばれるパラメータA _rを以下のように定義します。

${\displaystyle i=A_{\mathrm {r} }J_{\mathrm {r} }=\int J\mathrm {d} A,}$

32

ここで積分は、関心のあるエミッターの部分にわたって行われます。

このパラメータA _rは、1929年にスターン、ゴスリング、ファウラーによってCFE理論に導入されました（彼らはこれを「加重平均面積」と呼びました）。^{[ 16 ]}実際のエミッターの場合、ファウラー・ノルドハイム型方程式で使用されるエミッション電流密度は、常にある基準点における電流密度です（ただし、これは通常明示されません）。長年確立された慣習では、この基準電流密度は単純な記号Jで表され、対応する局所電界と変換係数は単純な記号Fとβで表され、上記の下付き文字「r」は使用されていません。以下ではこの慣例を使用します。

概念的な放出面積Ar_は、多くの場合、参照局所場（したがって電圧）の関数となり、^{[ 30 ]}、状況によっては温度の重要な関数となる可能性がある。

A _{r は}数学的な定義を持つため、電界電子（放出）顕微鏡において単一点エミッターからの放出が観察される面積と必ずしも一致するとは限りません。多数の個々の放出点を含む大面積エミッターの場合、A _{r は、目視で観察されるエミッターの「マクロ的な」幾何学的面積（} A _M ）よりもほぼ常に非常に小さくなります（下記参照）。

これらの補助方程式を式（30a）に組み込むと、

${\displaystyle i=\;A_{\mathrm {r} }a{\phi ^{-1}}{\beta }^{2}V^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/\beta V],}$

33

これは、 i – V形式で簡略化された標準的なファウラー・ノルドハイム型方程式です。対応する「物理的に完全な」方程式は、 λ _Z P _Fを乗じることで得られます。

大面積エミッターの修正方程式

前節の式は、CFE領域で動作するすべての電界放出エミッタに適用されます。ただし、多数の個別の放出サイトを含む大面積エミッタの場合、さらなる発展が有用です。

このような放射体の場合、概念的な放射面積は、物理的放射体の視覚的に観測される見かけの「マクロ的」幾何学的面積（ A _M ）よりもほぼ常に非常に小さくなります。放射の面積効率を表す無次元パラメータα _{r は}、次のように定義されます。

${\displaystyle A_{\mathrm {r} }=\;\alpha _{\mathrm {r} }A_{\mathrm {M} }.}$

34

また、「マクロ的」（または「平均」）放出電流密度J _M（エミッターの幾何学的面積A _Mにわたって平均）は、上で使用した 基準電流密度J _{rと次のように関連付けて定義できます。}

${\displaystyle J_{\mathrm {M} }=\;i/A_{\mathrm {M} }=\alpha _{\mathrm {r} }(i/A_{\mathrm {r} })=\alpha _{\mathrm {r} }J_{\mathrm {r} }.}$

35

これにより、簡略化された標準ファウラー・ノルドハイム型方程式の次の「大面積バージョン」が導き出されます。

${\displaystyle J_{\mathrm {M} }=\alpha _{\mathrm {r} }a{\phi ^{-1}}F^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/F],}$

36

${\displaystyle i=\;\alpha _{\mathrm {r} }A_{\mathrm {M} }a{\phi ^{-1}}{\beta }^{2}V^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/\beta V],}$

37

これらの式はどちらも、放出面積効率α _rを含んでいます。任意のエミッターにおいて、このパラメータの値は一般によく分かっていません。一般的に、α _{r はエミッター材料の種類によって大きく異なり、また同じ材料であっても異なる方法で調製・加工された試料によっても大きく異なります。10} ⁻¹⁰から 10 ⁻⁶の範囲の値となる可能性が高いと思われますが、この範囲外の値となる可能性もあります。

式（36）のαrの存在は_{、文献でしばしば引用される巨視的電流密度（}スピントアレイ以外の多くの大面積エミッタでは典型的には10A/ ^{m2 [ 50 ] ）と、実際の放出部位における局所的な電流密度との間の差を説明しています。局所的な電流密度は大きく変化する可能性がありますが、一般的には109A}  /m2^程度、あるいはそれよりわずかに小さいと考えられています。

大面積エミッターに関する技術文献の多くは、局所的な電流密度とマクロ的な電流密度、あるいは概念的なエミッション面積A _rとマクロ的なエミッション面積A _Mを明確に区別しておらず、また、引用された式からパラメータα _rを省略している。解釈の誤りを避けるために注意が必要である。

変換係数β _{r を、}エミッターとその周囲の全体的な形状に関連する「マクロ的部分」と、エミッター表面の非常に局所的な構造が電界を増強する能力に関連する「局所的部分」に分割することが便利な場合もあります。これは通常、「マクロ的電界」F _Mを定義することによって行われます。これは、増強を引き起こす局所構造がない場合に放出部位に存在する電界です。この電界F _{M は}、印加電圧と「電圧-マクロ的電界変換係数」β _Mによって関連しており、以下のように定義されます。

${\displaystyle F_{\mathrm {M} }=\;\beta _{\mathrm {M} }V.}$

38

距離Wで分離された 2 つの平行プレートで構成され、そのうちの 1 つに発光ナノ構造が作成されたシステムの一般的なケースでは、β _M = 1/ Wとなります。

「場の増強係数」γは次 のように定義され、 β _rとβ _Mの値と関係している。

${\displaystyle \gamma =\;F_{\mathrm {r} }/F_{\mathrm {M} }=\beta _{\mathrm {r} }/\beta _{\mathrm {M} }.}$

39

式(31)を用いると次の式が得られる。

${\displaystyle F=\;\gamma F_{\mathrm {M} }=\beta V;}$

40

${\displaystyle \beta =\;\beta _{\mathrm {M} }\gamma ;}$

41

ここで、通常の慣例に従い、参照点に関するパラメータから接尾辞「r」は削除されている。様々なエミッター形状、特に「柱上の半球」に対して、古典的な静電気力学を用いてγを推定する公式が存在する。 ^{[ 81 ]}

式(40)は、 FまたはβVのいずれかを に置き換えたファウラー・ノルドハイム型方程式のバージョンが書けることを示唆している。これは、局所エミッタナノ構造の電界増強特性に主な関心が寄せられる技術応用においてしばしば行われる。しかしながら、過去のいくつかの研究では、障壁電界Fと巨視的電界F _Mを明確に区別しなかったために、混乱や誤りが生じてきた。 ${\displaystyle \gamma F_{\mathrm {M} }}$

より一般的には、大面積電界放出器の技術開発における目的は、放出面積効率α _{rの値を高めることで放出の均一性を高め、} βの値を高めることで顕著な放出が発生する「開始」電圧を下げることである。式(41)は、これが2つの方法で実現可能であることを示している。すなわち、「高γ 」ナノ構造の開発を試みるか、 β _Mが増加するようにシステム全体の形状を変更するかのいずれかである。様々なトレードオフと制約が存在する。

実際には、上記で使用したマクロな電界の定義が最も一般的ですが、文献では、特に個々のエミッターのi - V特性を調べるためのプローブの使用に関連して、他の（異なる定義の）タイプのマクロな電界と電界増強係数が使用されています。^{[ 82 ]}

技術的な文脈では、電界放出データは、X座標として（特定の定義の） F _Mまたは1/ F _Mを用いてプロットされることが多い。しかし、科学的な分析では、実験データを事前に操作するのではなく、測定された生のi – Vデータを直接プロットする方が通常は適切である。γ（の様々な形式）などの技術パラメータの値は、i – Vデータプロットのフィッティングパラメータ（下記参照）から、関連する定義を用いて得ることができる。

ナノメートルレベルの鋭いエミッターの修正方程式

電界放出理論における理論的導出のほとんどは、障壁が式(3)のショットキー・ノルドハイム型をとるという仮定の下で行われている。しかし、この障壁型は、曲率半径Rがトンネル障壁の長さに匹敵するエミッタには適用できない。トンネル障壁の長さは仕事関数と電界に依存するが、実用上重要なケースでは、次節で説明するように、 SN障壁近似は半径R > 20 nmのエミッタに対して有効と考えられる。

SN障壁近似の主な仮定は、静電ポテンシャル項がトンネル領域において線形形をとるというものである。後者は の場合にのみ成立することが証明されている。^{[ 83 ]}したがって、トンネル領域の長さが であれば、それがトンネル過程を決定する。したがって、式(1)が成立し、SN障壁近似は有効である。トンネル確率が測定可能な電界放出を生成するのに十分高い場合、Lは1～2 nmを超えない。したがって、SN障壁は半径が数十nm程度のエミッターに対して有効である。 ${\displaystyle \Phi =Fx}$ ${\displaystyle x\ll R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x<L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L\ll R}$

しかし、現代のエミッターはこれよりもはるかに鋭く、半径は数nm程度です。そのため、標準的なFN方程式、あるいはSN障壁を仮定したそのいかなるバージョンも、このような鋭いエミッターに対しては大きな誤差をもたらします。これは理論的に示され^{[ 84 ] [ 85 ]}、実験的にも確認されています^{[ 86 ] 。}

^{上記の問題は、キリタキスとザンタキス[ 83 ]} によって取り組まれ、彼らはSN障壁をエミッター曲率の静電効果を含めることで一般化した。平均曲率半径（2つの主曲率の平均の逆数）を持つエミッターの一般的な障壁形式は、漸近的に展開できる^{[ 87 ]。}${\displaystyle R}$

${\displaystyle M^{KX}(x)=h-eFx\left[1-{\frac {x}{R}}+O\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right]-{\frac {e^{2}}{16\pi \epsilon _{0}x}}\left[1-{\frac {x}{2R}}+O\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right]}$ 。

43

すべての項を無視し、この障壁に対してJWKB近似（4）を適用すると、ガモフ指数は式（5）を一般化した形をとる。 ${\displaystyle O(x/R)^{2}}$

${\displaystyle G(h,F,R)={\frac {bh^{3/2}}{F}}\left(v(f)+\omega (f){\frac {h}{eFR}}\right)}$

44

ここで、は(30d)で定義され、は(30c)で与えられ、は(30c)と同様の方法で近似できる新しい関数である（文献^{[ 83 ]}には誤植があるが、ここでは修正されている）。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v(f)}$ ${\displaystyle \omega (f)}$

${\displaystyle \omega (f)\approx {\frac {4}{5}}-{\frac {7}{40}}f+{\frac {1}{200}}\log(f).}$

45

ガモフ指数を無電場障壁高さの関数として表す式から、冷陰極電界放出における放出電流密度は式(23)から得られる。これは ${\displaystyle h}$

${\displaystyle J=a{\frac {F^{2}}{\phi }}\left({\frac {1}{\lambda _{d}(f)}}+{\frac {\phi }{eFR}}\psi (f)\right)^{-2}\exp \left[-{\frac {b\phi ^{3/2}}{F}}\left(v(f)+\omega (f){\frac {\phi }{eFR}}\right)\right]}$

46

ここで関数と関数は次のように定義される。 ${\displaystyle \lambda _{d}(f)}$ ${\displaystyle \psi (f)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{d}(f)}}\equiv v(f)-{\frac {4}{3}}f{\frac {\partial v}{\partial f}}\approx 1+{\frac {f}{9}}-{\frac {f\log(f)}{22}}}$

47a

そして

${\displaystyle \psi (f)\equiv {\frac {5}{3}}\omega (f)-{\frac {4}{3}}f{\frac {\partial \omega }{\partial f}}\approx {\frac {4}{3}}-{\frac {f}{15}}-{\frac {f\log(f)}{1200}}}$

47b

式(46)では、完全性を保つため、λ _{d は(29)や(30a)のように1で近似されていないが、ほとんどの実用例では非常に良い近似となる。これとは別に、式(43)、(44)、(46)は、} R → ∞の極限において、標準的なファウラー・ノルドハイム理論(3)、(9)、(30a)の対応する式と一致する。これは、前者が後者を一般化しているため予想されることである。

最後に、上記の解析は、SN障壁を用いた標準的なファウラー・ノルドハイム理論と同様に、 L ≪ Rの極限で漸近的であることに注意されたい。しかし、二次項を追加することで、曲率半径が約5～20 nmの範囲にあるエミッターに対しては、解析の精度が大幅に向上する。より鋭いエミッターの場合、電流密度の一般的な近似値は存在しない。電流密度を得るためには、静電ポテンシャルを計算し、JWKB積分を数値的に評価する必要がある。この目的のために、科学計算ソフトウェアが開発されている（例えば、GETELEC ^{[ 88 ]}を参照）。

経験的CFE i – V方程式

CFE理論の発展段階において、理論的なCFE方程式と経験的なCFE方程式を区別することが重要です。前者は（詳細な展開が困難な状況ではあるものの）凝縮系物理学から導出されます。一方、経験的なCFE方程式は、電流iの電圧 Vへの依存性の実際の実験的形を単純に表現しようとするものです。

1920年代には、実験的なCFE結果を記述すると想定される片対数方程式の指数に現れるVのべき乗を求めるために、経験式が用いられました。1928年には、理論と実験が融合され、（おそらく非常に鋭いエミッターを除いて）このべき乗はV ⁻¹であることが示されました。近年、CFE実験は、次の経験的CFE方程式の前指数におけるVのべき乗（ κ）を求めるために行われるべきであると示唆されています。 ^{[ 89 ]}

${\displaystyle i=\;CV^{\kappa }\exp[-B/V],}$

48

ここで、 B、C、κは定数として扱われます。

式（42）から、

${\displaystyle -\mathrm {d} \ln i/\mathrm {d} (1/V)=\;\kappa V+B,}$

49

1920年代の実験技術では、κ = 0（ミリカンとローティセンが仮定）^{[ 13 ]}とκ = 2（元のファウラー・ノルドハイム型方程式で予測）の結果を区別することができませんでした。^{[ 1 ]}しかし、現在では、dlni/d(1/V)を（必要に応じてロックインアンプ/位相敏感検出技術とコンピュータ制御装置を使用して）かなり正確に測定し、適切なデータプロットの傾きからκを導くことが可能になっています。 ^{[ 50 ]}

近似式(30b)の発見により、バルク金属からのCFEであってもκ = 2の値は期待できないことが非常に明確になった。これは以下のように示される。上記の式(30c)を用いると、無次元パラメータηは次のように定義できる。

${\displaystyle \eta =b\phi ^{3/2}/F_{\phi }=\;(be^{3}/4\pi \epsilon _{0}){\phi }^{-1/2}\approx 9.836239\;\;(\mathrm {eV} /\phi )^{1/2}.}$

50

φ = 4.50 eVの場合、このパラメータの値はη = 4.64となる。f = F / F _φであり、v ( f ) は式(30b)で与えられるため、簡略化された標準ファウラー・ノルドハイム型方程式(30)の指数は別の形で表すことができ、次のように展開される。^{[ 69 ]}

${\displaystyle \exp[-v(f)\;b{\phi }^{3/2}/F]\;=\;\exp[-v(f)\;\eta /f]\;\approx \;{\mathrm {e} }^{\eta }f^{-\eta /6}\exp[-\eta /f]\;=\;{\mathrm {e} }^{\eta }f^{-\eta /6}\exp[-b{\phi }^{3/2}/F].}$

51

変換係数βが電圧に依存しないと仮定すると、パラメータfはf = V / V _φという別の定義を持つ。ここで、V _φは、特定の実験システムにおいて、ショットキー・ノルドハイム障壁の高さをφからゼロに下げるために必要な電圧である。したがって、理論式（30）の指数における係数v ( f )が、経験式の指数前項に追加のV依存性を生じさせることは明らかである。したがって、（ショットキー・ノルドハイム障壁による効果、およびφ = 4.5 eVのエミッタの場合）次の予測が得られる。

${\displaystyle \kappa \approx 2-\eta /6=2-0.77=1.23.}$

52

ファウラー・ノルドハイム型方程式の他の要素、特に概念的な放出面積^{[ 30 ]} A _rと局所仕事関数にも電圧依存性がある可能性があるため、局所仕事関数が4.5 eVの金属からのCFEのκが必ずしもκ = 1.23の値を持つとは期待されませんが、元のファウラー・ノルドハイム値κ = 2を持つと期待する理由は確かにありません。^{[ 90 ]}

この提案の最初の実験的検証はカークによって行われ、彼はやや複雑なデータ分析を用いてパラメータ κの値を1.36と算出した。彼のパラメータκはここで用いられたパラメータκと非常に似ているものの、完全に同じではない。しかし、それでも彼の結果は、この分析形式の潜在的な有用性を裏付けているように思われる。^{[ 91 ]}

経験的CFE方程式(42)の使用とκの測定は、非金属の場合に特に有用である可能性がある。厳密に言えば、ファウラー・ノルドハイム型の方程式はバルク結晶固体の伝導帯からの放出にのみ適用される。しかし、形式(42)の経験的方程式はすべての材料に適用できるはずである（ただし、非常に鋭い放出源の場合は修正が必要になる可能性がある）。新しい材料のCFE方程式がファウラー・ノルドハイム型の方程式と異なる点の1つは、これらのCFE方程式の前指数関数のF（またはV ）のべき乗が異なる可能性があることである可能性が非常に高いと思われる。κの測定は、このことを実験的に示唆するかもしれない。

Fowler-Nordheim プロットと Millikan-Lauritsen プロット

^{FowlerとNordheim [ 1 ]}によって導かれた元の理論式は、過去80年間、実験CFEデータのプロットと分析の方法に影響を与えてきました。1929年にSternらによって導入された、非常に広く使用されているFowler–Nordheimプロット^{[ 16 ]}では、量ln{ i / V ^{2 }が1/} Vに対してプロットされます。当初の考えは、（元の、または基本的なFowler–Nordheim型方程式によって予測されたように）これは傾きS _FNの正確な直線を生成するというものでした 。S _{FN は}、i – V形式のFowler–Nordheim型方程式の指数に現れるパラメータと次のように関係します。

${\displaystyle S_{\mathrm {FN} }=\;-b{\phi }^{3/2}/\beta .}$

47

したがって、φがわかればβを決定でき、その逆も同様です。

[原理的には、局所的な電界増強ナノ構造が存在し、マクロな変換係数β _Mが決定できるシステム形状においては、βが分かれば、エミッターの有効電界増強係数γの値は式γ = β / β _Mから決定できる。一般的なケースとして、プレート間隔W（したがってβ _M = 1/ W） の2プレート配置の1つのプレート上に生成されたフィルムエミッターでは、

${\displaystyle \gamma =\;\beta W.}$

48

現在、これはファウラー・ノルドハイム プロットの最も可能性の高い応用例の 1 つです。

その後、上記の当初の考え方は、物理的に非現実的な平面エミッターと正確な三角形のバリアという状況においてのみ厳密に正しいことが明らかになりました。実際のエミッターとバリアに対しては、「傾き補正係数」σ _FNを導入する必要があり、修正された式は次のようになります。

${\displaystyle S_{\mathrm {FN} }=\;-\sigma _{\mathrm {FN} }b{\phi }^{3/2}/\beta .}$

49

σ _FNの値は、原理的には、電圧依存性を持つ i ( V )の物理的に完全なファウラー・ノルドハイム型方程式の任意のパラメータによって影響を受けます。

現在、重要だと考えられている唯一のパラメータは障壁の形状に関連する補正係数であり、十分に確立された詳細な理論が存在する唯一の障壁はショットキー・ノルドハイム障壁である。この場合、σ _{FN は}sと呼ばれる数学関数によって与えられる。この関数s は、1953 年にBurgess、Kroemer、Houstonによって初めて正しく表にされた（ノルドハイムパラメータyの関数として）。 ^{[ 71 ]}そして、ショットキー・ノルドハイム障壁のスケールされた障壁場fの関数としてsを与える現代の処理はで与えられている。^{[ 69 ]}しかし、実際のエミッタ動作では、 sの値が0.9 ～ 1 の範囲にあることはずっと以前から明らかである。 ${\displaystyle \nu _{\mathrm {F} }}$

_{実際には、傾き補正係数を詳細に考慮すると}余分な複雑さが生じるため、多くの著者は（事実上）式（49）でσFN = 1とし、 βやγの推定値に系統的誤差を生じさせているが、これは通常5%程度と考えられている。

しかしながら、原理的にはファウラー・ノルドハイム型方程式よりも一般化された経験式(42)は、電界放出i - Vデータの解析に新たな可能性をもたらす。一般に、経験式中のパラメータBは、トンネル電子が観測するある特性障壁の 減衰前の高さHと関係していると考えられる。

${\displaystyle B=\;bH^{3/2}/\beta .}$

50

（ほとんどの場合、必ずしもすべてではありませんが、Hは局所仕事関数に等しくなります。これは金属では確かに当てはまります。）問題は、実験によってBの値をどのように決定するかです。2つの明らかな方法があります。（1）式（43）を使用して、[−dln{ i }/d(1/ V ) vs. V ]の形のプロットの傾きから、κの実験値をかなり正確に決定できると 仮定します。この場合、2番目のプロット、ln( i )/ V ^κ vs. 1/ Vは、傾きが− Bの正確な直線になるはずです。この方法は、 Bを決定する最も正確な方法であるはずです 。

(2) あるいは、 κの値が正確には分かっておらず、正確に測定することもできないが、推定または推測できる場合は、Bの値は[ln{ i } vs. 1/ V ]の形のプロットから導くことができる。これは1928年にミリカンとローリッセンが用いたプロットの形である。式(43)を整理すると、

${\displaystyle B=\;-\mathrm {d} \ln(i)/\mathrm {d} (1/V)-\kappa (1/V).}$

51

したがって、ミリカン・ローリッセンプロットの平均傾きを 1/ Vのある範囲にわたって決定し、その範囲の中点での 1/ V の値と κ の想定値を使用して補正を適用することによって、 B をかなりの近似値で決定することができます 。

ファウラー・ノルドハイム プロットと傾き補正係数ではなく、ミリカン・ローリッセン プロットとこの形式の補正手順を使用する主な利点は次のとおりです。(1) プロット手順がわずかに簡単になります。(2) 補正には、計算しなければならない物理パラメータ ( f ) ではなく、測定量である物理パラメータ ( V )が使用されます (その後、s ( f ) の値、またはより一般的にはσ _FN ( f ) の値を計算します)。(3) パラメータκ自体と補正手順はどちらも、ファウラー・ノルドハイム プロットの同等のものよりも透明性が高く (理解しやすく) なっています。 (4) この手順では、 κの値に影響を及ぼすすべての物理的効果が考慮されるが、ファウラー・ノルドハイム・プロット補正手順 (過去 50 年間実行されてきた形式) では、障壁の形状に関連する効果のみが考慮されます (さらに、この形状はショットキー・ノルドハイム障壁であると想定されています)。 (5) 理論的関心と技術的関心はより明確に分離されています。理論家は、κの測定値が CFE 理論についてどのような情報を提供するかを確立することに関心がありますが、実験家はκの測定値を使用して、必要に応じてより正確な場増強係数の推定を行うことができます。

ミリカン・ローリッセン・プロットに対するこの補正手順は、 κの測定が十分に行われ、典型的な値が実際にどの程度であるかをより正確に把握できれば、より容易に適用できるようになります。現時点では、ほとんどの材料においてκは-1 < κ < 3の範囲にあると考えられます。

さらなる理論情報

上記の金属からCFEの近似理論を構築することは、以下の理由から比較的容易である。(1) ゾンマーフェルトの自由電子理論は、内部電子状態のエネルギー分布に関する特別な仮定に基づき、多くの金属に第一近似として十分に適用できる。(2) ほとんどの場合、金属には表面状態がなく、（多くの場合）金属波動関数には顕著な「表面共鳴」がない。(3) 金属はフェルミ準位で高い状態密度を持つため、外部電場を生成／遮蔽する電荷は主に最上原子層の外側に存在し、意味のある「電場の浸透」は発生しない。(4) 金属は高い電気伝導性を持つ。金属エミッター内部では大きな電圧降下が発生しない。これは、放出面への電子供給を妨げる要因がなく、この領域の電子は局所的な有効熱力学的平衡状態と、エミッターが取り付けられている金属支持構造内の電子との有効熱力学的平衡状態の両方にあることを意味する。 （５）原子レベルの影響は無視される。

電界電子放出に関する「単純な」理論、特にファウラー・ノルドハイム型方程式の開発は、上記の5つの要素すべてが真であることを前提としています。金属以外の材料（および原子レベルで鋭い金属エミッター）の場合、上記の要素の1つ以上は真ではありません。例えば、結晶半導体は自由電子のようなバンド構造を持たず、表面状態を持ち、電界浸透とバンドベンディングの影響を受け、内部電圧降下と表面状態電子分布とバルクバンド構造の表面領域における電子分布との統計的分離（この分離は「モディノス効果」として知られています）の両方を示す可能性があります。 ^{[ 33 ] [ 92 ]}

実際には、実際のファウラー・ノルドハイム・トンネル過程の理論はすべての材料でほぼ同じです (ただし、障壁の形状の詳細は異なる場合があり、進行波状ではなく局所的な初期状態用に修正理論を開発する必要があります)。ただし、そのような違いにもかかわらず、(熱力学的平衡状況では) すべての CFE 方程式の指数は一般に同じように振舞うと予想されます。これが、ここで示した導出の範囲外の材料にファウラー・ノルドハイム型の方程式を適用しても多くの場合うまく機能する理由です。ファウラー・ノルドハイムまたはミリカン・ローリッセン プロットの傾きと CFE 方程式の指数に関係するパラメーター (電場増強係数など) のみに関心がある場合、ファウラー・ノルドハイム型の理論によって適切な推定値が得られることがよくあります。ただし、意味のある電流密度値を導出しようとすると、通常はまたは常に失敗します。

ファウラー・ノルドハイム プロットまたはミリカン・ローリッセン プロットの直線は、対応する物質からの放出がファウラー・ノルドハイム型の方程式に従うことを示すものではないことに注意してください。これは、個々の電子の放出メカニズムがおそらくファウラー・ノルドハイム トンネリングであることを示すだけです。

異なる物質は内部電子状態のエネルギー分布が根本的に異なる場合があり、電流密度の寄与を内部電子状態にわたって積分する過程で、異なる物質クラスにおいて電流密度前指数関数の表現が著しく異なる可能性があります。特に、前指数関数に現れる障壁場のべき乗は、元のファウラー・ノルドハイム値「2」と異なる可能性があります。この種の効果の調査は活発な研究テーマです。原子レベルの「共鳴」効果や「散乱」効果が発生した場合、理論も修正される可能性があります。

材料が電界浸透やバンドベンディングの影響を受ける場合、CFEの詳細な理論を構築する前に、（異なる材料クラスごとに）これらの効果に関する優れた理論を構築しておくことが不可欠です。電圧降下効果が生じる場合、放出電流の理論は、程度の差はあれ、内部輸送効果を含む理論となり、非常に複雑になる可能性があります。

参照

• 電界放出顕微鏡
• 電界放出プローブ
• フィールドエミッタアレイ
• 電界放出ディスプレイ
• フランツ・ケルディッシュ効果

参考文献

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さらに読む

一般情報

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• GNファージー（2005年）『真空マイクロエレクトロニクスにおける電界放出』Kluwer Academic、ニューヨーク。ISBN 0-306-47450-6。

電界侵入とバンドベンディング（半導体）

• Seiwatz, Ruth; Green, Mino (1958). 「半導体の空間電荷計算」. Journal of Applied Physics . 29 (7): 1034. Bibcode : 1958JAP....29.1034S . doi : 10.1063/1.1723358 .
• A. Many、Y. Goldstein、NB Grover、「半導体表面」（北ホラント、アムステルダム、1965 年）。
• W. メンシュ、「半導体表面とインターフェース」(Springer、ベルリン、1995)。
• Peng, Jie; Li, Zhibing; He, Chunshan; Chen, Guihua; Wang, Weiliang; Deng, Shaozhi; Xu, Ningsheng; Zheng, Xiao; Chen, GuanHua; Edgcombe, Chris J.; Forbes, Richard G. (2008). 「荷電・電界放出・単層カーボンナノチューブの物理における頂点双極子と電界浸透の役割」. Journal of Applied Physics . 104 (1). AIP Publishing: 014310–014310–12. arXiv : cond-mat/0612600 . Bibcode : 2008JAP...104a4310P . doi : 10.1063/1.2946449 . ISSN  0021-8979 . S2CID  53453404。

電界放出真空空間電荷

• Barbour, JP; Dolan, WW; Trolan, JK; Martin, EE; Dyke, WP (1953). 「電界放出における空間電荷効果」 . Physical Review . 92 (1): 45– 51. Bibcode : 1953PhRv...92...45B . doi : 10.1103/PhysRev.92.45 .

高温での電界放出と光電界放出

• ジェンセン、ケビン（2007年）電子放出物理学．イメージングと電子物理学の進歩．第149巻．サンディエゴ：アカデミック・プレス．ISBN 978-0-12-374207-0. OCLC  647688316 .

電界誘起爆発的電子放出

• GA Mesyats、爆発的電子放出 (URO Press、エカテリンブルク、1998)、