電磁場ソルバー

電磁場ソルバー（または単にフィールドソルバー）は、マクスウェル方程式（の一部）を直接解くための特殊なプログラムです。電子設計自動化（EDA）分野の一部であり、集積回路やプリント回路基板の設計で広く用いられています。第一原理に基づく解法や最高精度が求められる場合に用いられます。

導入

寄生回路モデルの抽出は、タイミング、シグナル インテグリティ、基板結合、および電力グリッド解析などの物理検証のさまざまな側面で不可欠です。回路の速度と密度が向上するにつれて、より広範囲で複雑な相互接続構造の寄生効果を正確に考慮する必要性が高まっています。さらに、抵抗や容量からインダクタンス、そして現在では完全な電磁波伝播にいたるまで、電磁気の複雑さも増大しています。この複雑さの増大は、集積インダクタなどの受動デバイスの解析でも増大しています。電磁気的動作はマクスウェル方程式によって支配されており、すべての寄生抽出では何らかの形のマクスウェル方程式を解く必要があります。その形は、単純な解析的平行板容量方程式の場合もあれば、波伝播を伴う複雑な 3D形状の完全な数値解法を伴う場合もあります。レイアウト抽出では、精度よりも速度が重要であれば、単純なまたは簡略化された形状の解析式を使用できます。それでも、幾何学的構成が単純ではなく、精度の要求により単純化が許されない場合は、適切な形式のマクスウェル方程式の数値解法を使用する必要があります。

マクスウェル方程式の適切な形は、通常、2種類の方法のいずれかによって解かれます。1つ目は、支配方程式の微分形式を用い、電磁場が存在する領域全体を離散化（メッシュ分割）する必要があります。この最初のクラスで最も一般的な2つのアプローチは、有限差分法（FD）と有限要素法（FEM）です。解くべき結果として得られる線形代数システム（行列）は、大規模ですが疎です（非ゼロ要素が非常に少ない）。これらのシステムを解くには、疎因数分解法、共役勾配法、マルチグリッド法などの疎線形解法を使用できます。これらの方法の中で最も優れた方法は、CPU時間とメモリ使用量がO(N)時間です（Nは離散化における要素数）。しかし、電子設計自動化（EDA）におけるほとんどの問題は、外部問題とも呼ばれる未解決問題であり、電磁場は無限大に向かって緩やかに減少するため、これらの方法では非常に大きなNが必要になる場合があります。

2 番目のクラスの方法は積分方程式法であり、この方法では電磁場発生源のみの離散化が必要です。これらの発生源は、静電容量問題の表面電荷密度などの物理量、またはグリーンの定理を適用した結果の数学的な抽象化です。発生源が 3 次元問題で 2 次元表面にのみ存在する場合、この方法はモーメント法(MoM) または境界要素法(BEM) と呼ばれることがよくあります。未解決問題の場合、場の発生源は場自体よりもはるかに狭い領域に存在するため、積分方程式法によって生成される線形システムのサイズは FD や FEM よりもはるかに小さくなります。ただし、積分方程式法は密な (すべてのエントリが非ゼロの) 線形システムを生成するため、このような方法は小さな問題に対してのみ FD や FEM よりも適しています。このようなシステムでは、保存にO(n 2 ) のメモリが必要で、直接ガウス消去法で解くにはO(n 3 )が必要で、反復的に解く場合はせいぜいO(n 2 ) です。回路の速度と密度が増加すると、ますます複雑な相互接続を解決する必要があり、問題のサイズが大きくなるにつれて計算コストが急激に増加するため、密な積分方程式のアプローチは適さなくなります。

過去20年間、微分方程式と積分方程式の両方のアプローチの改良、およびランダムウォーク法に基づく新しいアプローチに多くの研究が行われてきました。[ 1 ] [ 2 ] FDおよびFEMアプローチに必要な離散化を打ち切る方法により、必要な要素数が大幅に削減されました。[ 3 ] [ 4 ]積分方程式アプローチは、スパース化技術（行列圧縮、加速、または行列フリー技術とも呼ばれる）により、相互接続抽出で特に人気が高まっており、積分方程式法のストレージと解の時間がほぼO(n)増加しました。[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

スパース積分方程式法は、IC業界では容量およびインダクタンス抽出問題を解くために一般的に用いられています。ランダムウォーク法は容量抽出において非常に成熟した手法となっています。完全なマクスウェル方程式（全波）の解を必要とする問題では、微分方程式と積分方程式の両方のアプローチが一般的です。

参照

参考文献

  1. ^ YL Le CozとRB Iverson.集積回路における高速容量抽出のための確率的アルゴリズム. Solid State Electronics, 35(7):1005-1012, 1992.
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  • 集積回路のための電子設計自動化ハンドブック、Lavagno、Martin、Scheffer著、ISBN 0-8493-3096-3電子設計自動化分野の概説。この概要は、Mattan KamonとRalph Iverson著『第2巻、第26章「高精度寄生抽出」 』から許可を得て抜粋したものです。
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