フィルタリングされたカテゴリ

圏論において、フィルターされた圏は、有向集合の概念を圏として一般化したものである（したがって、有向圏と呼ばれるが、有向圏をフィルターされた圏の同義語として用いる者もいる）。共フィルターされた圏という双対的な概念があり、これについては後述する。

フィルタリングされたカテゴリ

カテゴリがフィルタリングされるのは 、${\displaystyle J}$

• それは空ではない、
• における2つのオブジェクトとに対して、には1つのオブジェクトと2つの矢印とが存在する。${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:j\to k}$ ${\displaystyle f':j'\to k}$ ${\displaystyle J}$
• における2 つの平行な矢印ごとに、となるオブジェクトと矢印が存在します。${\displaystyle u,v:i\to j}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w:j\to k}$ ${\displaystyle wu=wv}$

フィルターされた余極限は、フィルターされたカテゴリである 関数の余極限です。${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$

共フィルタリングされたカテゴリ

あるカテゴリがコフィルタリングされるとは、反対のカテゴリがフィルタリングされることを意味します。具体的には、あるカテゴリがコフィルタリングされるとは、 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J^{\mathrm {op} }}$

• それは空ではない、
• における2つのオブジェクトとに対して、には1つのオブジェクトと2つの矢印とが存在する。${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:k\to j}$ ${\displaystyle f':k\to j'}$ ${\displaystyle J}$
• における2 つの平行な矢印ごとに、となるオブジェクトと矢印が存在します。${\displaystyle u,v:j\to i}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w:k\to j}$ ${\displaystyle uw=vw}$

コフィルタ限界は、コフィルタカテゴリである 関数の限界です。${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$

内的オブジェクトと外的オブジェクト

小さなカテゴリ が与えられた場合、表現可能な前層の小さなフィルタされた余極限である集合の前層は、カテゴリ のind-対象と呼ばれます。カテゴリの ind-対象は、関数（前層）のカテゴリ の完全なサブカテゴリを形成します。における pro-対象のカテゴリは、反対のカテゴリ における ind-対象のカテゴリの反対です。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{op}\to Set}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Ind(C)}$ ${\displaystyle C^{op}\to Set}$ ${\displaystyle Pro(C)=Ind(C^{op})^{op}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{op}}$

κフィルタリングされたカテゴリ

「フィルタリングされたカテゴリ」の変種として「κ-フィルタリングされたカテゴリ」があり、以下のように定義されます。これは、以下の観察から始まります。上記のフィルタリングされたカテゴリの定義における3つの条件は、それぞれ、、、またはの形の任意の図式上にココーンが存在することを意味します。これらの3つの形状の図式にココーンが存在するということは、任意の有限図式にココーンが存在することを意味します。言い換えれば、カテゴリがフィルタリングされる（上記の定義によれば）のは、任意の有限図式上にココーンが存在する場合のみです。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \{\ \ \}\rightarrow J}$ ${\displaystyle \{j\ \ \ j'\}\rightarrow J}$ ${\displaystyle \{i\rightrightarrows j\}\rightarrow J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle d:D\to J}$

これを拡張すると、正規の基数κ が与えられたとき、κ より小さい基数を持つすべての図式上にココーンが存在する場合、そのカテゴリは κ フィルタリングされていると定義されます。（小さな図式が κ 基数を持つとは、その定義域の射集合が κ 基数を持つ場合です。） ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle J}$

κ フィルター余極限は、κ フィルター カテゴリである 関数の余極限です。${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$

参考文献

• アルティン、M.、グロタンディーク、A.、ヴェルディエ、J.-L. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie ( SGA 4 )。数学の講義ノート 269、Springer Verlag、1972。Exposé I、2.7。
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2、セクションIX.1。