サブグループのインデックス

数学、特に群論において、群Gの部分群Hの添え字は、 HのGにおける左剰余類の数、あるいは同値な、 HのGにおける右剰余類の数である。添え字はまたはまたは と表記される。Gは左剰余類の互いに素な和集合であり、各左剰余類はHと同じ大きさであるため、添え字は2つの群の 位数と次の式で結びつく。|G:H|{\displaystyle |G:H|}[G:H]{\displaystyle [G:H]}（G:H）{\displaystyle (G:H)}

|G|＝|G:H||H|{\displaystyle |G|=|G:H||H|}

（もしそれらの量の一部が無限大であれば、それらを基数として解釈する）。したがって、この指標はGとHの「相対的な大きさ」を測定するものである。 |G:H|{\displaystyle |G:H|}

例えば、を加法による整数群とし、 を偶数からなる部分群とします。すると、 には偶数集合と奇数集合という 2つの剰余類が存在するため、指数は2です。より一般的には、任意の正の整数nに対して、 となります。 G＝Z{\displaystyle G=\mathbb {Z} }H＝2Z{\displaystyle H=2\mathbb {Z} }2Z{\displaystyle 2\mathbb {Z} }Z{\displaystyle \mathbb {Z} }|Z:2Z|{\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |}|Z:nZ|＝n{\displaystyle |\mathbb {Z} :n\mathbb {Z} |=n}

Gが有限の場合、式は と表すことができ、 を割り切るラグランジュの定理が成り立ちます。 |G:H|＝|G|/|H|{\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}|H|{\displaystyle |H|}|G|{\displaystyle |G|}

Gが無限大のとき、は非零基数で、有限または無限大の可能性がある。例えば、は無限大である。 |G:H|{\displaystyle |G:H|}|Z:2Z|＝2{\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |=2}|R:Z|{\displaystyle |\mathbb {R} :\mathbb {Z} |}

NがGの正規部分群である場合、の基礎集合はGにおけるNの剰余類の集合であるため、 は商群の位数に等しくなります。 |G:北|{\displaystyle |G:N|}G/北{\displaystyle G/N}G/北{\displaystyle G/N}

プロパティ

  • HがGの部分群であり、KがHの部分群である場合、
|G:K|＝|G:H||H:K|。{\displaystyle |G:K|=|G:H|\,|H:K|.}
  • HとKがGの部分群である場合、
|G:H∩K|≤|G:H||G:K|、{\displaystyle |G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,}
の場合には等式が成り立ちます。（が有限であれば、 の場合にのみ等式が成り立ちます。）HK＝G{\displaystyle HK=G}|G:H∩K|{\displaystyle |G:H\cap K|}HK＝G{\displaystyle HK=G}
  • 同様に、HとKがGの部分群である場合、
|H:H∩K|≤|G:K|、{\displaystyle |H:H\cap K|\leq |G:K|,}
の場合には等式が成り立ちます。（が有限であれば、 の場合にのみ等式が成り立ちます。）HK＝G{\displaystyle HK=G}|H:H∩K|{\displaystyle |H:H\cap K|}HK＝G{\displaystyle HK=G}
  • GとHが群で が準同型である場合、 Gにおけるの核のインデックスは像の位数に等しくなります。φ:G→H{\displaystyle \varphi \colon G\to H}φ{\displaystyle \varphi }
|G:カーφ|＝|私はφ|。{\displaystyle |G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.}
|G×|＝|G:G×|。{\displaystyle |Gx|=|G:G_{x}|.\!}
これは軌道安定定理として知られています。
  • 軌道安定定理の特殊なケースとして、元の共役 の数はGにおけるxの中心化の指数に等しくなります。グラム×グラム−1{\displaystyle gxg^{-1}}×∈G{\displaystyle x\in G}
  • 同様に、 Gにおける部分群Hの共役の数は、GにおけるHの正規化元のインデックスに等しくなります。グラムHグラム−1{\displaystyle gHg^{-1}}
  • HがGのサブグループである場合、 Hの正規コアの指数は次の不等式を満たします。
|G:コア⁡（H）|≤|G:H|!{\displaystyle |G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!}
ここで、! は階乗関数を表します。これについては後ほど詳しく説明します。
  • 結果として、GにおけるHのインデックスが 2 の場合、または有限群の場合はGの位数を割り切る最小の素数pの場合、Hのコアのインデックスもpである必要があるため、 Hは正規であり、したがってH はそのコアに等しくなります。つまり、H は正規です。
  • 非素数位数の単純な群や、​​より一般的には完全な群などでは、最も低い素数指数の部分群が存在しない可能性があることに注意してください。

例

  • 交代群は対称群の指数 2 を持ち、したがって正規群です。あn{\displaystyle A_{n}}Sn、{\displaystyle S_{n},}
  • 特殊直交群は直交群の指数 2 を持ち、したがって正規です。それで⁡（n）{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}お⁡（n）{\displaystyle \operatorname {O} (n)}
  • 自由アーベル群に は指数2の部分群が3つある。Z⊕Z{\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }
{（×、y）∣× 偶数}、{（×、y）∣y 偶数}、そして{（×、y）∣×+y 偶数}{\displaystyle \{(x,y)\mid x{\text{ は偶数}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ は偶数}}\},\quad {\text{and}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ は偶数}}\}}。
  • より一般的には、pが素数の場合、には非自明な準同型に対応するインデックスpの部分群があります。Zn{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}（pn−1）/（p−1）{\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}（pn−1）{\displaystyle (p^{n}-1)}Zn→Z/pZ{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
  • 同様に、自由群に は インデックスpのサブグループがあります。Fn{\displaystyle F_{n}}（pn−1）/（p−1）{\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}
  • 無限二面体群には指数 2 の巡回部分群があり、これは必然的に正規群になります。

無限インデックス

H がGに無限個の剰余類を持つ場合、 GにおけるHの添え字は無限であると言われる。この場合、添え字は実際には基数である。例えば、HがGに可算個の剰余類を持つかどうかによって、GにおけるHの添え字は可算または不可算 となる。H の添え字は最大でも G の位数であり、これは自明な部分群、あるいは実際にはGの基数よりも小さい無限基数を持つ任意の部分群Hに対して実現される。|G:H|{\displaystyle |G:H|}

有限インデックス

有限群または無限群G内の有限指数の部分群Hは、必ず有限指数の正規部分群N（G）を含みます。実際、Hの指数がnの場合、 Nの指数はnの約数であり、かつnの倍数となります。実際、N はGからHの左（または右）剰余類の置換群への自然準同型の核と見なすことができます。右剰余類を用いて、これをより詳しく説明しましょう。

すべての剰余類を同じにするGの元はグループを形成します。

この群をAと呼ぶことにする。Aの定義によりHa ⊂ Hなので、AはHの部分群である。Bを、Hの剰余類に対して与えられた置換を実行するGの元の集合とする。すると、BはAの右剰余類となる。

これまで述べてきたことは、 Hのインデックスが有限か無限かに関係なく適用されます。ここで、それが有限数nであると仮定します。剰余類の可能な順列の数は有限、つまりn ! なので、 Bのようなセットは有限個しか存在できません。( Gが無限であれば、そのようなセットはすべて無限です。) これらのセットの集合は順列群の部分集合と同型な群を形成するので、これらのセットの数はn ! を割り切れる必要があります。さらに、 Hの各剰余類にはAの剰余類が同じ数含まれるので、それはnの倍数でなければなりません。最後に、あるc ∈ Gとa ∈ Aについてca = xcが成り立つ場合、任意のd ∈ Gについてdca = dxc が成り立ちますが、あるh ∈ H ( Aの定義により) についてdca = hdcも成り立つので、hd = dxです。これは任意のdに対して成り立つため、x はA のメンバーでなければならないため、ca = xcはcac −1 ∈ Aを意味し、したがってAは正規部分群です。

正規部分群の添字は、 n !の約数であるだけでなく、他の条件も満たす必要があります。正規部分群はHの部分群であるため、Gにおけるその添字はH内の添字のn倍でなければなりません。また、Gにおけるその添字は、n個の対象からなる順列群である対称群S nの部分群に対応していなければなりません。例えば、nが5の場合、たとえ5!を割り切れたとしても、添字は15にはなりません。なぜなら、S 5には位数15の部分群が存在しないからです。

n = 2の場合、インデックス 2 の部分群Hは正規部分群であるというかなり明白な結果が得られます。これは、 Hの正規部分群はGでインデックス 2 を持つ必要があり、したがってHと同一であるためです。(この事実は、 Hに含まれないGのすべての要素がHの右剰余類と左剰余類を構成するため、2つは同一であることに注目することによっても得られます。) より一般的には、インデックスpの部分群( pはGの位数の最小の素因数( Gが有限の場合)) は必然的に正規です。これは、Nのインデックスがpを割り切るため、他の素因数を持たず、p と等しくなければならないためです。たとえば、位数21 の非アーベル群の部分群Z 7 は正規です ( 「小さな非アーベル群の一覧とフロベニウス群#例」を参照)。

指数が最低の素数pの部分群が正規群であるという結果の別の証明と、素数指数の部分群のその他の特性は、( Lam 2004 ) に示されています。

例

カイラル八面体対称群Oには24個の元がある。この群には位数8の二面体D 4部分群（実際には3つある）があり、したがってOにおける指数は3であり、これをHと呼ぶことにする。この二面体群には4元の D 2部分群があり、これをAと呼ぶことにする。 Hの右剰余類の任意の元に A の元を右に掛けると、Hの同じ剰余類の元が得られる（Hca = Hc）。AはOにおいて正規である。 Aには6個の剰余類があり、それぞれ対称群S 3の6個の元に対応する。 Aの任意の剰余類のすべての元は、Hの剰余類の同じ順列置換を実行する。

一方、黄鉛面体対称性の群 T hも24個の要素と指数3の部分群（今回はD 2h柱状対称群、3次元点群を参照）を持ちますが、この場合、部分群全体が正規部分群です。特定の剰余類のすべての要素は、これらの剰余類の同じ置換を実行しますが、この場合、それらは6要素S 3対称群の3要素交代群のみを表します。

素数指数の正規部分群

素数冪指数の正規部分群は、 p群への射影写像の核であり、 「焦点部分群定理: 部分群」で説明され、 「焦点部分群定理」で詳しく説明されているように、興味深い構造を持っています。

素数指数の重要な正規サブグループが 3 つあり、それぞれが特定のクラス内の最小の正規サブグループです。

  • E p ( G ) はすべての指数p の正規部分群の共通部分です。G / E p ( G ) は基本アーベル群であり、G が射影する最大の基本アーベルp群です。
  • A p ( G ) は、G / Kがアーベルp群であるような（つまり、K が導出群を含むインデックス正規部分群である）すべての正規部分群Kの共通部分です。 G / A p ( G ) は、 Gが射影する最大のアーベルp群（必ずしも基本的ではない）です。pけ{\displaystyle p^{k}}[G、G]{\displaystyle [G,G]}
  • O p ( G ) は、G / K が（非可換な場合もある）p群（つまり、K が指数正規部分群である）であるような、G のすべての正規部分群 K の共通部分である。G / O p ( G )は、Gが射影する最大のp群（必ずしも可換ではない）である。O p ( G )は、pけ{\displaystyle p^{k}}p残差サブグループ。

これらはK群に対するより弱い条件なので、包含関係は次のようになる。

Ep（G）⊇あp（G）⊇おp（G）。{\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}

これらのグループは、そこで議論されているように、シロー部分群および転送準同型性 と重要な関係があります。

幾何学的構造

基本的な観察は、指数2の部分群は正確に2つは存在できないということである。なぜなら、それらの対称差の補集合は3つ目の部分群を生み出すからである。これは、上記の議論（すなわち、基本アーベル群のベクトル空間構造の射影化）の単純な系である。

G/Ep（G）≅（Z/p）け{\displaystyle G/\mathbf {E} ^{p}(G)\cong (\mathbf {Z} /p)^{k}}、

さらに、G はこの幾何学には作用せず、非アーベル構造も反映しません (どちらの場合も商がアーベルであるため)。

しかし、これは基本的な結果であり、具体的には次のように見ることができる。与えられた指数pの正規部分群の集合は射影空間、すなわち射影空間 を形成する。

P（ホム⁡（G、Z/p））。{\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))。}

詳細には、 Gから位数p の（巡回）群への準同型写像の空間は有限体上のベクトル空間である。このような写像は、添え字pの正規部分群を核として持ち、その写像に（ pを法とする非ゼロ数）の元を乗じても核は変化しない。したがって、次のような写像が得られる。 ホム⁡（G、Z/p）、{\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p),}Fp＝Z/p。{\displaystyle \mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p.}（Z/p）×{\displaystyle (\mathbf {Z} /p)^{\times }}

P（ホム⁡（G、Z/p））:=（ホム⁡（G、Z/p））∖{0}）/（Z/p）×{\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))\setminus \{0\})/(\mathbf {Z} /p)^{\times }}

正規インデックスpの部分群への写像。逆に、インデックスpの正規部分群は、どの剰余類がどの剰余類に写像するかを選択することで、この写像が一対一であることが示せるまで、非自明な写像を決定する。 Z/p{\displaystyle \mathbf {Z} /p}1∈Z/p、{\displaystyle 1\in \mathbf {Z} /p,}

結果として、指数pの正規部分群の数は

（pけ+1−1）/（p−1）＝1+p+⋯+pけ{\displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}}

あるk に対して、指数pの正規部分群は存在しない。さらに、指数 p の異なる2つの正規部分群が与えられた場合、そのような部分群からなる射影直線が得られる。 け＝−1{\displaystyle k=-1}p+1{\displaystyle p+1}

2 つの異なるインデックス 2 サブグループ (必ず正規分布する) の対称差は、これらのサブグループを含む射影直線上の 3 番目の点を与え、グループにはインデックス 2 サブグループが含まれている必要があります。たとえば、正確に 2 つまたは 4 つのインデックス 2 サブグループを含めることはできません。 p＝2、{\displaystyle p=2,}0、1、3、7、15、…{\displaystyle 0,1,3,7,15,\ldots }

参照

参考文献

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