積分点に関するシーゲルの定理

数学において、シーゲルの積分点の定理は、種数が0 より大きい曲線には、任意の数体上で有限個の積分点しか存在しないことを述べています。

この定理は1929年にカール・ルートヴィヒ・ジーゲルによって初めて証明され、ディオファントス方程式において、方程式の特別な代数形式ではなく種数のみに依存する最初の主要な結果となった。g > 1 の場合、この定理は1983年にファルティングスの定理に取って代わられた。

声明

シーゲルの積分点の定理:与えられた座標系のアフィン空間で表された数体K上に定義された種数gの滑らかな代数曲線Cの場合、g > 0 であれば、 Kの整数環O内の座標を持つC上の点は有限個しかありません。

歴史

1926 年、シーゲルは、モーデルの予想が正しいという 条件のもとで、この定理を特殊なケースで効果的に証明しました。${\displaystyle g=1}$

1929 年、シーゲルは、ディオファントス近似からのThue–Siegel–Roth の定理のバージョンと、ディオファントス幾何学からのMordell–Weil の定理( Cのヤコビ多様体に適用するために Weil のバージョンで必要) を組み合わせることで、この定理を無条件に証明しました。

2002年にウンベルト・ザニエとピエトロ・コルヴァハは部分空間定理に基づく新しい手法を用いて新たな証明を与えた。^{[ 1 ]}

有効なバージョン

シーゲルの結果は に対しては有効ではなかった（数論における有効な結果を参照）。これは、ディオファントス近似におけるトゥーの法も、次数 のほぼすべての代数的数に対する非常に良好な有理近似を記述するのに有効ではないためである。シーゲルは1926年に、この特殊なケースにおいてのみ、この法が有効であることを証明した。場合によっては、ベイカー法から有効な結果が導かれる。 ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle d\geq 5}$ ${\displaystyle g=1}$

参照

• ディオファントス幾何学

参考文献

1. Corvaja, P. および Zannier, U. 「曲線上の積分点への部分空間定理アプローチ」 Compte Rendu Acad. Sci., 334, 2002, pp. 267–271 doi : 10.1016/S1631-073X(02)02240-9

• ボンビエリ、エンリコ、ギュブラー、ウォルター（2006年）『ディオファントス幾何学における高さ』新数学モノグラフ第4巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl  1130.11034 .
• ラング、セルジュ(1978)。楕円曲線: ディオファンティン分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 231。128  ～ 153ページ。ISBN 3-540-08489-4. Zbl  0388.10001 .
• シーゲル、カール・ルートヴィヒ(1929)。 「Über einige Anwendungen diophantischer 近似」。Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (ドイツ語)。