1階偏微分方程式

数学において、一階偏微分方程式（いちきへいへんきほうていえん）とは、変数の未知の関数の一次導関数を含む偏微分方程式である。この方程式は、偏微分を表すために添え字表記 を用いた^[1]の形をとる。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ $${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0,}$$ ${\displaystyle u}$

このような方程式は、双曲型偏微分方程式の特性面の構築、変分法、いくつかの幾何学的問題、そして移流方程式などの特性法を用いて解く気体力学の単純なモデルにおいて生じる。単一の一次偏微分方程式の解の族が見つかれば、その族の解の包絡線を形成することで追加の解を得ることができる。関連する手順として、常微分方程式の族を積分することで一般解を得ることができる。

一般解と完全積分

1階偏微分方程式の一般解は、任意の関数を含む解です。しかし、独立変数の数と同じ数の任意定数を含む1階偏微分方程式の解は、完全積分と呼ばれます。以下のnパラメータ解族は、

${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},u,a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

は完全積分である。^[2]以下の積分の種類に関する議論は、アンドリュー・フォーサイス著の教科書『微分方程式に関する論文』（第IX章、第6版、1928年）に基づいている。^[3]${\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}$

完全積分

解は2次元または3次元では比較的単純な方法で記述され、その主要な概念は高次元にも容易に拡張される。3次元における一般的な1階偏微分方程式は、以下の形をとる。

${\displaystyle F(x,y,z,u,p,q,r)=0,\,}$

ここで、3つの任意定数を含む完全積分を仮定する。この積分から、微分によって3つの関係式が得られる。 ${\displaystyle p=u_{x},\,q=u_{y},\,r=u_{z}.}$ ${\displaystyle \phi (x,y,z,u,a,b,c)=0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=0}$

完全積分 ​​と上記の3つの関係式を用いて、3つの定数を消去し、 を関係付ける方程式（元の偏微分方程式）を得ることができます。定数を消去して得られる偏微分方程式は必ずしも一意である必要はありません。つまり、2つの異なる方程式から同じ完全積分が得られることもあります。例えば、関係式から定数を消去すると、およびが得られます。 ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle (x,y,z,u,p,q,r)}$ ${\displaystyle u={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}+z-c}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=1}$ ${\displaystyle r=1}$

一般積分

完全積分が求まれば、そこから一般解を構築できる。一般積分は、定数を座標の関数、すなわち とすることで得られる。これらの関数は、 の形が変化しないように選ばれ、完全積分からの消去法を利用できる。完全積分の微分は、 ${\displaystyle a=a(x,y,z),\,b=b(x,y,z),\,c=c(x,y,z)}$ ${\displaystyle (p,q,r)}$

${\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=-(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})}$

${\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=-(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})}$

${\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=-(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})}$

ここで、3つの方程式の右辺の項が全て等しく零となることを要求し、を から消去すると偏微分方程式が得られる。この要求は、より簡潔に次のように書くことができる。 ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle J\phi _{a}=0,\quad J\phi _{b}=0,\quad J\phi _{c}=0}$

どこ

${\displaystyle J={\frac {\partial (a,b,c)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

はヤコビ行列式である。条件は一般解を導く。 のときはいつでも、 との間には関数関係が存在する。これは、行列式がゼロであるときはいつでも、列（または行）は線形独立ではないためである。この関数関係を次のようにとる。 ${\displaystyle J=0}$ ${\displaystyle J=0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle c=\psi (a,b).}$

が見つかれば、問題は解決します。上記の関係から、 を得ます。元の方程式、 、を足し合わせると が得られます。導出された2つの方程式から を消去すると、 が得られます 。${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle dc=\psi _{a}da+\psi _{b}db}$ ${\displaystyle (a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})=0}$ ${\displaystyle (a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})=0}$ ${\displaystyle (a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})=0}$ ${\displaystyle \phi _{a}da+\phi _{b}db+\phi _{c}dc=0}$ ${\displaystyle dc}$

${\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})da+(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})db=0}$

とが独立な ので、${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})=0}$

${\displaystyle (\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})=0.}$

上記の2つの方程式は、とを解くのに使用できます。をに代入すると、一般積分が得られます。したがって、一般積分は、2つの既知の独立関数、および任意の関数の関係を記述します。行列式をゼロにすると仮定していますが、これは必ずしも必要ではありません。または の関係があれば、行列式をゼロにするのに十分です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle (x,y,z,u)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \psi (a,b)}$ ${\displaystyle c=\psi (a,b)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle c=\psi (a)}$ ${\displaystyle c=\psi (b)}$

特異積分

のとき特異積分が得られる。この場合、からを消去することは、 ${\displaystyle J\neq 0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0,\quad \phi _{c}=0.}$

3つの方程式は3つの未知数を解くのに使えます。このようにして得られた解は、特異積分と呼ばれるものになります。 ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

特殊積分

通常、ほとんどの積分は上記の3つのカテゴリに分類されますが、解が上記の3つのタイプのいずれにも当てはまらない場合があります。これらの解は特殊積分と呼ばれます。偏微分方程式を満たす関係式は、以下の式から 決定できない場合、特殊積分と呼ばれます。${\displaystyle \chi (x,y,z,u)=0}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle \phi _{x}\chi _{u}-\chi _{x}\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{y}\chi _{u}-\chi _{y}\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{z}\chi _{u}-\chi _{z}\phi _{u}=0.}$

上記の方程式のセットから決定できれば、は前に説明した 3 つの積分のうちの 1 つであることがわかります。 ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle \chi =0}$

2次元の場合

2次元空間における完全積分は と書ける。一般積分は、以下の式から を消去することで得られる。${\displaystyle \phi (x,y,u,a,b)=0}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \phi (x,y,z,a,\psi (a))=0,\quad \phi _{a}+\psi _{a}\phi _{b}=0.}$

特異積分が存在する場合、次の式から 消去することによって得られる。${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \phi (x,y,z,a,b)=0,\quad \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0.}$

完全な積分が不可能な場合でも、常方程式系を解くことで解が得られる場合があります。この系を得るには、まず偏微分方程式が各点において円錐（光円錐に類似）を決定することに留意してください。偏微分方程式がuの微分に対して線形（準線形）である場合、円錐は直線に退化します。一般的な場合、方程式を満たすペア（p、q）は、与えられた点における平面の族を決定します。

${\displaystyle u-u_{0}=p(x-x_{0})+q(y-y_{0}),\,}$

どこ

${\displaystyle F(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)=0.\,}$

これらの平面の包絡線は円錐、あるいは偏微分方程式が準線形の場合は直線である。包絡線となるための条件は

${\displaystyle F_{p}\,dp+F_{q}\,dq=0,\,}$

ここでFは で評価され、dpとdqはF =0を満たすpとqの増分である。したがって円錐の生成子は方向 ${\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0},p,q)}$

${\displaystyle dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}).\,}$

この方向は波動方程式の光線に対応します。これらの方向に沿って微分方程式を積分するには、光線に沿ったpとqの増分が必要です。これは偏微分方程式を微分することで得られます。

${\displaystyle F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,}$

${\displaystyle F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,}$

したがって、空間における光線の方向は ${\displaystyle (x,y,u,p,q)}$

${\displaystyle dx:dy:du:dp:dq=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q).\,}$

これらの方程式を積分すると、各点における放射状円錐が得られる。そして、このような円錐の包絡線から偏微分方程式の一般解を得ることができる。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0})}$

微分システムの線形従属の定義

この部分はクーラントの著書から参照できます。 ^[4]${\displaystyle \S 1.2.3}$

これらの方程式は独立している、つまり、微分や消去法によっていずれの方程式も他の方程式から導き出すことはできないと仮定します。${\displaystyle h}$

— クーラント、R. & ヒルベルト、D. (1962)『数理物理学の方法：偏微分方程式、II』p.15-18

同等の記述が与えられている。一次線形偏微分方程式における線形従属の2つの定義が与えられている。

${\displaystyle (*)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(1)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{1}}=0\\\vdots \\\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(n)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{n}}=0\end{array}}\right.}$

ここで、 は独立変数、は従属未知数、 は線形係数、 は 非同次項目です。 とします 。 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle a_{ij}^{(k)}}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\textstyle {Z_{k}}\equiv \sum _{ij}^{}{a_{ij}^{(k)}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{k}}}$

定義 I: 数体 が与えられ、係数 ( ) がすべてゼロではなく、 となるとき、式 (*) は線形従属です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{k}\in P}$ ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}=0}}$

定義 II (微分線形従属)：数体 が与えられ、係数 ( ) がすべてゼロではなく、 となるとき、式(*) は微分線形従属であると考えられる。 の場合、この定義は定義 I に退化する。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {c_{k}},d_{kl}\in P}$ ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{kl}{{d_{kl}}{\frac {\partial }{\partial {x_{l}}}}{Z_{k}}=0}}$ ${\displaystyle {d_{kl}}\equiv 0}$

div-curl システム、マクスウェル方程式、アインシュタイン方程式(4 つの調和座標を含む)、および ヤン-ミルズ方程式(ゲージ条件を含む) は定義 II では適切に決定されていますが、定義 I では過剰に決定されています。

波動方程式の特性面

波動方程式の特性面は、方程式の解の平面である。

${\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}$

と設定しても一般性はほとんど損なわれない。その場合uは ${\displaystyle u_{t}=1}$

${\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}$

ベクトル表記では、

${\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}$

平面を水平面とする解の族は次のように与えられる。

${\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}$

どこ

${\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}$

xとx ₀を固定すると、これらの解の包絡線は、半径 1/ cの球面上でuの値が定常となる点を見つけることで得られます。これはが に平行である場合に当てはまります。したがって、包絡線は次式で表されます。 ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}$

${\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}$

これらの解は、速度cに応じて半径が拡大または縮小する球体に対応します。これらは時空における光円錐です。

この方程式の初期値問題は、t =0 のときu =0となる水平面Sを指定することである。解は、S上に中心を持ち、半径が速度cとともに増加するすべての球の包絡線を取ることで得られる。この包絡線は、

${\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}$

この条件は、 がSに垂直であれば満たされます。したがって、包絡線はSの各法線に沿った速度cの運動に対応します。これはホイヘンスの波面構成です。S上の各点は時刻t =0において球面波を放射し、その後の時刻tにおける波面はこれらの球面波の包絡線となります。S の法線は光線です。 ${\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}$

参考文献

1. エヴァンス 1998、1ページ。
2. Garabedian, PR (1964).偏微分方程式. ニューヨーク: Wiley. OCLC  527754.
3. フォーサイス, AR (1928). 微分方程式に関する論文.
4. Courant, R. & Hilbert, D. (1962). 『数理物理学の方法：偏微分方程式』第2巻. ニューヨーク: Wiley-Interscience. ISBN 9783527617241。

さらに読む

• エヴァンス, LC (1998).偏微分方程式. プロビデンス: アメリカ数学会. ISBN 0-8218-0772-2。
• ポリアニン, AD; ザイツェフ, VF; ムッシオー, A. (2002). 『第一階偏微分方程式ハンドブック』ロンドン: テイラー・アンド・フランシス. ISBN 0-415-27267-X。
• ポリアニン, AD (2002).エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック. ボカラトン: チャップマン＆ホール/CRCプレス. ISBN 1-58488-299-9。
• サラ、スコット (2003). 「特性法とその保存則への応用」オンライン数学とその応用ジャーナル.