確率的優位性

確率的優位性は、ランダム変数間の半順序である。^{[1] [2]これは}確率的順序付けの一種である。この概念は、意思決定理論と意思決定分析において、あるギャンブル（起こりうる結果の確率分布、つまり見通しとも呼ばれる）が、幅広い意思決定者層にとって他のギャンブルよりも優れていると判断できる状況で生じる。これは、起こりうる結果の集合とそれに関連する確率に関する共通の選好に基づいている。優位性を判断するには、選好に関する限られた知識のみが必要である。 リスク回避は、第二次確率的優位性においてのみ要因となる。

確率的優位性は、完全な順序を与えるのではなく、部分的な順序のみを与えます。つまり、いくつかの賭けのペアについては、どちらも他方を確率的に優位にすることはありません。これは、幅広い意思決定者のクラス内の異なるメンバーが、どの賭けが好ましいかについて異なる意見を持っているためです。ただし、一般的に、それらが同様に魅力的であると見なされることはありません。

記事全体を通して、は における確率分布 を表し、 はにおける特定の確率変数 を表します。この表記は、 が分布 を持つことを意味します。 ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A,B,X,Y,Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\sim \rho }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$

確率的優位順序付けの列は、第1位 から第2位、さらに高位 へと続きます。この列は次第に包括的になります。つまり、 ならば、すべての に対して が成り立ちます。さらに、となるような が存在しますが、 は成り立ちません。 ${\displaystyle \succeq _{1}}$ ${\displaystyle \succeq _{2}}$ ${\displaystyle \succeq _{n}}$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$ ${\displaystyle k\geq n}$ ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$

確率的優位性は（ブラックウェル、1953）^[3]にまで遡ることができるが、1969年から1970年まで発展しなかった。^[4]

状態ごとの優位性（ゼロ次）

確率的優位性の最も単純なケースは、次のように定義される 状態ごとの優位性（状態ごとの優位性とも呼ばれる）です。

ランダム変数 A がランダム変数 B に対して状態的に優位であるとは、A がすべての状態 (すべての可能な結果セット) で少なくとも同等の結果を出し、少なくとも 1 つの状態で確実に優れた結果を出す場合です。

例えば、宝くじの1つ以上の賞品に1ドルが追加された場合、新しい宝くじは州全体で古い宝くじを圧倒します。これは、宝くじで当選した特定の数字に関わらず、新しい宝くじの方が配当が高いためです。同様に、あるリスク保険が他の保険よりも保険料が低く、補償内容が充実している場合、損害の有無にかかわらず、結果はより良くなります。少ないものより多いものを好む人（一般的な用語で言えば、単調に増加する選好を持つ人）は、常に州全体で優位な賭けを好むでしょう。

一次

${\displaystyle F_{B\sim N(0,1)}(x)\geq F_{A\sim N(0.75,1)}(x)\forall x}$ ${\displaystyle \implies B(黒)\leq A(赤)}$

${\displaystyle F_{X\sim N(0,1)}}$ und 、X、Yは一次確率優位性を通じて比較できません。${\displaystyle F_{Y\sim N(0.25,1.5)}}$

状態優位性は一次確率優位性（FSD）を意味し、^[5]は以下のように定義される。

確率変数Aが確率変数Bに対して第一位確率的優位性を持つとは、任意の結果xに対して、Aが少なくともxを受け取る確率がBと少なくとも同じであり、かつあるxに対して、Aが少なくともxを受け取る確率がBよりも高い場合を言う。表記法では、すべてのxに対して、またあるxに対して、となる。${\displaystyle P[A\geq x]\geq P[B\geq x]}$ ${\displaystyle P[A\geq x]>P[B\geq x]}$

2 つの確率変数の累積分布関数において、 A が B を支配するということは、すべてのxに対して、あるxでは厳密な不等式が成り立つ ことを意味します。 ${\displaystyle F_{A}(x)\leq F_{B}(x)}$

交差しない分布関数の場合^{[説明が必要] 、}ウィルコクソン順位和検定は一次確率優位性を検定する。^[6]

同等の定義

が2つの確率分布（両方とも有限）であるとすると、以下の条件は同値となり、これらはすべて1次確率優位性の定義として使える。^[7]${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]}$

• 減少しないものについては、${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$

• ${\displaystyle F_{\rho }(t)\leq F_{\nu }(t),\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$
• 2 つの確率変数が存在し、となります。${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu }$ ${\displaystyle X=Y+\delta }$ ${\displaystyle \delta \geq 0}$

最初の定義では、増加する効用関数を持つすべての期待効用最大化者がギャンブルよりもギャンブルを好む場合にのみ、ギャンブルがギャンブルを第一順位確率的に優位に立つと述べられています。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$

3番目の定義は、分布 を持つギャンブルのペアを構築でき、ギャンブルは常に少なくともギャンブル と同じ額を支払う、というものです。より具体的には、まず一様分布 を構築し、次に逆変換サンプリングを用いてを取得し、任意の に対してを取得します。 ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z\sim \mathrm {制服} (0,1)}$ ${\displaystyle X=F_{X}^{-1}(Z),Y=F_{Y}^{-1}(Z)}$ ${\displaystyle X\geq Y}$ ${\displaystyle Z}$

図的に言えば、2 番目と 3 番目の定義は同等です。グラフ化された A の密度関数から B の密度関数に移行するには、上方向にも左方向にも移動できるからです。

拡張例

公平な 6 面サイコロを 1 回投げる 3 つの賭けを考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}{\text{状態（サイコロの結果）}}&1&2&3&4&5&6\\\hline {\text{ギャンブルAが勝ち}\$&1&1&2&2&2&2\\{\text{ギャンブルBが勝ち}\$&1&1&1&2&2&2\\{\text{ギャンブルCが勝ち}\$&3&3&3&1&1&1\\\hline \end{array}}}$

ギャンブルAはギャンブルBを状態優位と見なします。なぜなら、Aは全ての可能な状態（サイコロの出目）において少なくとも同等の利回りをもたらし、そのうちの1つ（状態3）ではAよりも確実に優れた利回りをもたらすからです。Aは状態優位であるため、Bも一階優位となります。

ギャンブル C は状態 4 から 6 では B の方がより良い収量を与えるため、状態的には B を支配しませんが、Pr(B ≥ 1) = Pr(C ≥ 1) = 1、Pr(B ≥ 2) = Pr(C ≥ 2) = 3/6、および Pr(B ≥ 3) = 0 であるのに対し、Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(B ≥ 3) であるため、C は第 1 次確率的に B を支配します。

ギャンブルAとCは、Pr(A ≥ 2) = 4/6 > Pr(C ≥ 2) = 3/6であるのに対し、Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(A ≥ 3) = 0であるため、一次確率優位性に基づいて相互に順序付けることはできません。

一般的に、あるギャンブルが別のギャンブルを一階確率的に優位に支配する場合、最初のギャンブルにおける利得の期待値は、二番目のギャンブルにおける利得の期待値よりも大きくなりますが、逆は成り立ちません。つまり、確率分布の平均値を単純に比較するだけでは、確率的優位性に関して宝くじを順位付けることはできません。例えば、上記の例では、Cの平均値（2）はAの平均値（5/3）よりも高いですが、CはAを一階確率的に優位に支配しません。

二次

確率的優位性のもう 1 つの一般的なタイプは、第 2 次確率的優位性です。^{[1] [8] [9]}大まかに言うと、2 つのギャンブルとについて、ギャンブルの方が予測可能 (つまり、リスクが少ない) で、平均値が少なくとも同じくらい高い場合、ギャンブルはギャンブルに対して第 2 次確率的優位性を持ちます。すべてのリスク回避的な期待効用最大化者(つまり、増加する凹型の効用関数を持つ者) は、被支配ギャンブルよりも第 2 次確率的に優位なギャンブルを好みます。第 2 次優位性は、第 1 次優位性よりも、より少数の意思決定者 (より多くがよいと考えるすべての人ではなく、より多くがよいと考え、リスクを回避する人々) の共通の選好を表します。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$

累積分布関数およびに関して、が に対して 2 次確率優位であることと、 がすべて に対してであり、ある で厳密な不等式が成り立つことが条件です。同様に、 が2 次で優位であることと、がすべて非減少かつ凹状の効用関数に対して である場合と、 が 2 次で優位であることは条件です。 ${\displaystyle F_{\rho}}$ ${\displaystyle F_{\nu}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$ ${\displaystyle u(x)}$

2 次確率的優位性は、次のようにも表現できます。ギャンブル が2 次確率的に優位となるのは、ギャンブルおよび が存在 し、常に 0 以下であり、のすべての値に対してとなる場合のみです。ここで、ランダム変数 の導入により、1 次確率的に が によって支配されるようになり（は、効用関数が増加する人々に嫌われるようになります）、ランダム変数 の導入により、における平均保存の広がりが導入され、は、凹型効用を持つ人々に嫌われます。と の平均が同じである場合（ランダム変数 が固定数 0 に退化します）、 は の平均保存の広がりであることに注意してください。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{\nu }{\overset {d}{=}}(x_{\rho }+y+z)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {E} (z\mid x_{\rho }+y)=0}$ ${\displaystyle x_{\rho }+y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \rho }$

同等の定義

が2つの確率分布（両方とも有限）であるとすると、以下の条件は同値となり、これらはすべて2次確率優位性の定義として使える。^[7]${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]}$

• 非減少かつ（必ずしも厳密には）凹である任意のものについては、${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}F_{\rho }(x)dx\leq \int _{-\infty }^{t}F_{\nu }(x)dx,\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$
• 2 つの確率変数（ 、 ）が存在し、となります。${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu }$ ${\displaystyle Y=X-\delta +\epsilon }$ ${\displaystyle \delta \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [\epsilon |X-\delta ]=0}$

これらは、上記に示した一次確率優位性の同等の定義と類似しています。

十分な条件

• AがBに対して1 次確率的優位であることは、AがBに対して2 次確率的優位であることの十分条件です。
• BがAの平均保存的広がりである場合、A は2 次確率的にBを優位にします。

必要な条件

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$ は が 2 次確率的に支配するために必要な条件です。${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$ はが 2 次支配的になるための必要条件である。この条件は、 の左裾がの左裾よりも厚くなければならないことを意味する。${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle F_{\nu}}$ ${\displaystyle F_{\rho}}$

3次

とを2つの異なる投資の累積分布関数とする。が3次の場合 に支配的となるのは、${\displaystyle F_{\rho}}$ ${\displaystyle F_{\nu}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\left(\int _{-\infty }^{z}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\right)dz\geq 0{\text{ for all }}x,}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$ 。

同様に、すべての に対してが 3 次で支配的である場合に限ります。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }U(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }U(x)}$ ${\displaystyle U\in D_{3}}$

このセットには同等の定義が 2 つあります。 ${\displaystyle D_{3}}$

• 正に歪んだ（つまり、全体を通して非負の三次導関数を持つ）非減少凹型効用関数の集合。 ^[10]
• 非減少凹型効用関数の集合。任意の確率変数に対して、リスクプレミアム関数は単調非増加関数となる。^[11]${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$ ${\displaystyle x}$

ここでは、問題の解決策として定義されています。詳細については、リスク プレミアムページを参照してください。 ${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$ $${\displaystyle u(x+\mathbb {E} [Z]-\pi )=\mathbb {E} [u(x+Z)].}$$

十分な条件

• 二次優位性は十分な条件です。

必要な条件^[要引用]

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(\log(x))\geq \mathbb {E} _{\nu }(\log(x))}$ は必要条件です。この条件は、の幾何平均が の幾何平均以上でなければならないことを意味します。${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$ は必要条件です。この条件は、 の左裾がの左裾よりも太くなければならないことを意味します。${\displaystyle F_{\nu }}$ ${\displaystyle F_{\rho }}$

高次の

確率的優位性の高次の順序も分析されており、確率的優位性の順序と選好関数のクラスとの間の双対関係の一般化も行われている。^[12] おそらく最も強力な優位性の基準は、絶対的リスク回避度が減少するという、広く受け入れられている経済的仮定に基づいている。^{[13] [14]} これにはいくつかの分析上の課題があり、それらに対処するための研究が進行中である。 ^[15]

正式には、n次の確率的優位性は次のように定義される^[16]

• 上の任意の確率分布に対して、関数を帰納的に定義します。${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

$${\displaystyle F_{\rho }^{1}(t)=F_{\rho }(t),\quad F_{\rho }^{2}(t)=\int _{0}^{t}F_{\rho }^{1}(x)dx,\quad \cdots }$$

• 上の任意の2つの確率分布に対して、非厳密なn次確率優位性と厳密なn次確率優位性は次のように定義される。${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ $${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad F_{\rho }^{n}\leq F_{\nu }^{n}{\text{ on }}[0,\infty )}$$ $${\displaystyle \rho \succ _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad \rho \succeq _{n}\nu {\text{ and }}\rho \neq \nu }$$

これらの関係は推移的であり、次第に包含的になります。つまり、 ならば、すべての に対して が成り立ちます。さらに、となるような が存在しますが、 は存在しません。 ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$ ${\displaystyle k\geq n}$ ${\displaystyle \rho ,\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$ ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$

n番目のモーメントを で定義すると、 ${\displaystyle \mu _{k}(\rho )=\mathbb {E} _{X\sim \rho }[X^{k}]=\int x^{k}dF_{\rho }(x)}$

定理— が、すべての に対して有限モーメントで上にある場合、 となります。 ${\displaystyle \rho \succ _{n}\nu }$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \mu _{k}(\rho ),\mu _{k}(\nu )}$ ${\displaystyle k=1,2,...,n}$ ${\displaystyle (\mu _{1}(\rho ),\ldots ,\mu _{n}(\rho ))\succ _{n}^{*}(\mu _{1}(\nu ),\ldots ,\mu _{n}(\nu ))}$

ここで、半順序は の場合にのみで定義され、が となる最小の とすると、${\displaystyle \succ _{n}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v\succ _{n}^{*}w}$ ${\displaystyle v\neq w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v_{k}\neq w_{k}}$ ${\displaystyle (-1)^{k-1}v_{k}>(-1)^{k-1}w_{k}}$

制約

確率的優位関係は、数学的最適化の問題、特に確率的計画法の問題における制約条件として使用できます。^{[17] [18] [19]}集合内のランダム変数に対して実関数を最大化する問題では、固定ランダムベンチマークが確率的に優位になることも要求されます。これらの問題では、効用関数は確率的優位制約に関連するラグランジュ乗数の役割を果たします。適切な条件下では、問題の解は （おそらく局所的） において （ は特定の効用関数）を最大化する問題の解でもあります 。第1次の確率的優位制約が採用されている場合、効用関数は非減少 です。第 2 次の確率的優位制約が使用されている場合、効用関数は非減少で、凹です。線形方程式のシステムにより、任意のそのような効用関数に対して与えられた解が効率的かどうかをテストできます。^[20] 三次確率的優位制約は凸二次制約計画法（QCP）を用いて扱うことができる。^[21]${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(X)+\mathbb {E} [u(X)-u(B)]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle u(x)}$

参照

• 現代ポートフォリオ理論
• 限界条件付き確率的優位性
• 応答セット拡張- 選好関係のコンテキストにおける確率的優位性に相当します。
• 量子触媒
• 順序パレート効率
• 辞書的優位性

参考文献

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