運動定数

力学において、運動定数は運動を通して保存される物理量 であり、事実上運動に制約を課します。しかし、これは数学的な制約であり、運動方程式から自然に導かれるものであり、物理的な制約（追加の制約力を必要とする）ではありません。一般的な例としては、エネルギー、線運動量、角運動量、ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル（反二乗の力の法則）などが挙げられます。

アプリケーション

運動定数は、運動方程式を解くことなく運動の特性を導出できるため有用です。幸運なことに、運動の軌道さえも、運動定数に対応する等値面の交点として導出できます。例えば、ポアンソ作図は、剛体のトルクフリー回転が球面（全角運動量保存則）と楕円体（エネルギー保存則）の交点であることを示しています。これは、そうでなければ導出や視覚化が困難な軌道です。したがって、運動定数の特定は力学における重要な目標です。

運動定数の特定方法

運動定数を識別する方法はいくつかあります。

• 最も単純だが体系的ではないアプローチは、直感的な（「精神的な」）導出であり、この方法では、ある量は一定であると仮定され（おそらく実験データによる）、その後、運動全体にわたって保存されることが数学的に示されます。
• ハミルトン・ヤコビ方程式は、特にハミルトニアンが直交座標で認識可能な関数形式を採用している場合、運動定数を識別するための一般的に使用される簡単な方法を提供します。
• もう一つのアプローチは、保存量がラグランジアンの対称性に対応することを認識することです。ネーターの定理は、そのような量を対称性から導く体系的な方法を提供します。例えば、エネルギー保存は時間の原点のシフトに対するラグランジアンの不変性から生じ、線運動量の保存は空間の原点のシフト（並進対称性）に対するラグランジアンの不変性から生じ、角運動量の保存は回転に対するラグランジアンの不変性から生じます。逆もまた真です。ラグランジアンのすべての対称性は、保存された電荷または保存された電流と呼ばれる運動定数に対応します。
• ある量が運動定数であるとは、その総時間微分がゼロとなる場合である。これは、ハミルトニアンを含むポアソン括弧が、その時間に関する偏微分を引いた値に等しいときに起こる^{[ 1 ]。}${\displaystyle A}$ $${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\},}$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=-\{A,H\}.}$$

もう一つの有用な結果はポアソンの定理であり、これは、2 つの量と が運動定数である場合、それらのポアソン括弧 も運動定数であるということを述べています。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{A,B\}}$

n個の自由度とn 個の運動定数を持ち、任意の運動定数の対のポアソン括弧がゼロとなるような系は、完全積分系と呼ばれます。このような運動定数の集合は、互いに反転関係にあると言われます。閉系（ラグランジアンが時間に明示的に依存しない系）の場合、系のエネルギーは運動定数（保存量）です。

量子力学では

観測量Q が運動定数となるのは、ハミルトニアンHと交換関係にあり、かつそれ自体が時間に明示的に依存しない場合である。これは、 が交換関係にあるため で ある 。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \,}$$ $${\displaystyle [H,Q]=HQ-QH\,}$$

導出

位置、運動量、時間に依存する 観測可能な量Qがあるとする。$${\displaystyle Q=Q(x,p,t)}$$

また、シュレーディンガー方程式に従う波動関数が存在することも$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi .}$$

Qの期待値の時間微分を取るには積の法則を使う必要があり、次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle &={\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|Q\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=\left({\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|\right)Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|Q\left({\frac {d}{dt}}\left|\psi \right\rangle \right)\\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle H\psi \right|Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|Q\left|H\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|HQ\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|QH\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \end{aligned}}}$$

最後に、

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {dQ}{dt}}|\psi \rangle \,}$$

コメント

量子力学系の任意の状態において、HとQが可換である、つまり Qが時間に明示的に依存しないならば、 $${\displaystyle \left[H,Q\right]=0}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}$$

しかし、 がハミルトニアンの固有関数である場合、 Q が時間に依存しない という 条件が依然として当てはまります 。${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \left[H,Q\right]\neq 0}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}$$

導出

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left(HQ-QH\right)|\psi \rangle }$$ それ 以来 、ハミルトニアンの固有状態は定常状態とも呼ばれるようになりました。 $${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle &=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(E\langle \psi |Q|\psi \rangle -E\langle \psi |Q|\psi \rangle \right)\\[1ex]&=0\end{aligned}}}$$

量子カオスとの関連性

一般に、可積分系はエネルギー以外の運動定数を持つ。対照的に、非可積分系ではエネルギーが唯一の運動定数であり、そのような系はカオス的と呼ばれる。一般に、古典力学系は可積分である場合にのみ量子化可能である。2026年現在、カオス力学系を量子化する一貫した方法は知られていない。

運動の積分

運動定数は、与えられた力場において、軌道を通して一定である位相空間座標（位置と速度、または位置と運動量）と時間の任意の関数として定義される。運動定数のサブセットは運動の積分、または第一積分であり、軌道に沿って一定である位相空間座標のみの任意の関数として定義される。すべての運動の積分は運動定数であるが、運動定数は時間に依存することがあるため、その逆は真ではない。^{[ 2 ]}運動の積分の例としては、角運動量ベクトル、、または などの時間に依存しないハミルトニアンがある。運動定数だが運動の積分ではない関数の例としては、1次元で一定速度で運動している物体の 関数が挙げられる。${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {v} }$ ${\textstyle H(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle C(x,v,t)=x-vt}$

ディラック観測量

ゲージ理論から物理情報を抽出するには、ゲージ不変観測量を構築するか、ゲージを固定するかのいずれかを行う。標準的な言語では、これは通常、ゲージ生成第一級制約と制約面上でポアソン可換となる関数を構築するか、各ゲージ軌道内の点を特定することで後者の流れを固定することを意味する。このようなゲージ不変観測量は、ゲージ生成子の「運動定数」であり、ディラック観測量と呼ばれる。

参考文献

1. ランダウ、L.;リフシッツ、E. (1960)。力学。ペルガモンプレス。 p. 135.ISBN​ 0-7506-2896-0。
2. Binney, J. and Tremaine, S.: Galactic Dynamics . Princeton University Press. 2008年1月27日. ISBN 9780691130279. 2011年5月5日閲覧。

• グリフィス、デイビッド・J. (2004). 『量子力学入門（第2版）』 プレンティス・ホール出版. ISBN 0-13-805326-X。