フィッシュカーブ

スケールパラメータa = 1の魚曲線

フィッシュカーブは、魚のような形をした楕円形の負のペダル曲線です。フィッシュカーブでは、ペダル点は、偏心の2乗の特殊なケースの焦点にあります。^{[ 1 ]}フィッシュカーブの媒介変数方程式は、関連する楕円の方程式に対応しています。 ${\displaystyle e^{2}={\tfrac {1}{2}}}$

方程式

媒介変数方程式を持つ楕円の場合、 対応する魚の曲線には媒介変数方程式がある。 $${\displaystyle \textstyle {x=a\cos(t),\qquad y={\frac {a\sin(t)}{\sqrt {2}}}},}$$ $${\displaystyle \textstyle {x=a\cos(t)-{\frac {a\sin^{2}(t)}{\sqrt {2}}},\qquad y=a\cos(t)\sin(t)}.}$$

原点をノード（交差点）に移動すると、直交座標は次のように表される。^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle \left(2x^{2}+y^{2}\right)^{2}-2{\sqrt {2}}ax\left(2x^{2}-3y^{2}\right)+2a^{2}\left(y^{2}-x^{2}\right)=0.}$$

プロパティ

エリア

魚の曲線の面積は次のように表される： したがって、尾と頭の面積は次のように表される： 魚全体の面積は次のようになる：^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left|\int {\left(xy'-yx'\right)dt}\right|\\&={\frac {1}{8}}a^{2}\left|\int {\left[3\cos(t)+\cos(3t)+2{\sqrt {2}}\sin^{2}(t)\right]dt}\right|,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{尾部}}&=\left({\frac {2}{3}}-{\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\right)a^{2},\\A_{\text{頭部}}&=\left({\frac {2}{3}}+{\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\right)a^{2},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle A={\frac {4}{3}}a^{2}.}$$

曲率、弧の長さ、接線角

曲線の弧の長さは次のように与え られる。$${\displaystyle a{\sqrt {2}}\left({\frac {1}{2}}\pi +3\right).}$$

魚曲線の曲率は次のように与えられ 、接線角は次のように与えられます。 ここで、 は複素引数です。 $${\displaystyle K(t)={\frac {2{\sqrt {2}}+3\cos(t)-\cos(3t)}{2a\left[\cos ^{4}t+\sin ^{2}t+\sin ^{4}t+{\sqrt {2}}\sin(t)\sin(2t)\right]^{\​​frac {3}{2}}}},}$$ $${\displaystyle \phi (t)=\pi -\arg \left({\sqrt {2}}-1-{\frac {2}{\left(1+{\sqrt {2}}\right)e^{it}-1}}\right),}$$ ${\displaystyle \arg(z)}$

参考文献

1. Lockwood, EH (1957). 「焦点に対する楕円の負のペダル曲線」. Math. Gaz . 41 : 254–257 . doi : 10.1017/S0025557200037293 . S2CID  125623811 .
2. Weisstein, Eric W. 「Fish Curve」 . MathWorld . 2010年5月23日閲覧。
3. ロックウッド、EH (1967). 『曲線の本』 ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局. p. 157.