曲線遠近法
曲線状の樽型歪み
曲線糸巻き歪み

曲線透視図法（五点透視図法とも呼ばれる）は、 3次元の物体を2次元の平面上に描く際に用いられる図形投影法である。3次元の物体上の（直線の）線は、2次元の平面上では直線ではない曲線に投影される（そのため「曲線的」という修飾語が用いられる）。この技法は、1968年に芸術家であり美術史家でもあるアンドレ・バレとアルベール・フロコンによって『La Perspective curvigne』 [ 1 ]という書籍で正式に体系化され、1987年に『Curvilinear Perspective: From Visual Space to the Constructed Image』として英訳され、カリフォルニア大学出版局から出版された。[ 2 ]

曲線遠近法は、魚眼レンズに例えて、口語的には魚眼遠近法と呼ばれることもあります。コンピュータアニメーションやモーショングラフィックスでは、タイニープラネットと呼ばれることもあります。

歴史

近似五点曲線遠近法の初期の例としては、初期フランドル派のヤン・ファン・エイクによる『アルノルフィーニ夫妻の肖像』（1434年）が挙げられます。後期の例としては、マニエリスムの画家パルミジャニーノの『凸面鏡の中の自画像』（1524年頃）や、オランダ黄金時代の画家カレル・ファブリティウスによる『デルフトの眺望』（1652年）などが挙げられます。

1959年、フロコンはM.C.エッシャーの『手による絵画の描写』を手に入れた。エッシャーの屈曲遠近法と湾曲遠近法の用法に強い感銘を受け、それがフロコンとバレが発展させていた理論に影響を与えた。二人は長きにわたる文通を始め、エッシャーはフロコンを「同志」と呼んだ[ 2 ] 。

地平線と消失点

同じオブジェクトを、左側に5点透視図法で表示し、右側に3点透視図法で表示した比較
写真における曲線性：曲線画像（上）と直線画像（下）。曲線画像では、魚眼レンズに典型的な樽型歪曲収差が見られます。この例はソフトウェアで直線補正されていますが、高品質の広角レンズは光学的な直線補正機能を備えています。

このシステムは、曲線の遠近法の線と直線の収束線の配列の両方を使用して、それ自体が球面である目の網膜上の像を、直線のみを使用し、端の部分で非常に歪んでいる従来の線遠近法よりも正確に近似します。

4つ、5つ、あるいはそれ以上の消失点を使用します。

  • 5 点 (魚眼) 透視図法では、4 つの消失点が円の周囲に配置され、N、W、S、E と名付けられ、円の中心に 1 つの消失点が配置されます。
  • 四点透視図法、または無限点透視図法は、（おそらく）人間の目の透視図法に最も近いと同時に、不可能な空間を作成するのに効果的です。一方、五点透視図法は一点透視図法の曲線に相当し、四点透視図法は二点透視図法に相当します。

この技法は、二点透視図法と同様に、垂直線を地平線として用いることで、虫の目線と鳥の目線の両方を同時に描くことができます。地平線に沿って等間隔に4点以上の点を配置​​し、すべての垂直線を地平線に垂直に描きます。直交線は、4つの消失点を通る90度の線にコンパスをセットして描きます。

幾何学的な関係

図1は、上面からの投影で壁1と観察者2を示しています。

観察者と壁の間の距離aとc は距離bよりも大きいため、物体が観察者から遠いほど小さくなるという原理を採用すると、壁が縮小され、端が歪んで見えます。

図2は観察者の視点から見た同じ状況を示しています。

数学

点が3D直交座標（x、y、z）を持つ場合：

P3D＝（×、y、z）{\displaystyle P_{\mathrm {3D} }=(x,y,z)}

点から原点までの距離をd = √ x 2 + y 2 + z 2とすると、

すると、その点を半径Rの曲線参照系に変換すると、

P2D＝（×Rd、yRd）{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)}

（d = 0の場合、点は原点にあり、その投影は未定義であることを意味します）

これは、まず3Dの点を原点を中心とした半径Rの球に投影することで導き出され、座標を持つ点の画像が得られます。

Psphere＝（×、y、z）∗（Rd）{\displaystyle P_{\mathrm {球面} }=(x,y,z)*\left({\frac {R}{d}}\right)}

次に、球面上の点を紙面上のz = Rに投影するために、 z軸に平行な平行投影を行うと、次の式が得られます。

P私メートル1つのグラムe＝（×Rd、yRd、R）{\displaystyle P_{\mathrm {image} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}},R\right)}

紙がz = R平面上にあるという事実は考慮しないので、像点の z座標は無視し、

P2D＝（×Rd、yRd）＝R∗（××2+y2+z2、y×2+y2+z2）{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {xR}{d}},{\frac {yR}{d}}\right)=R*\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}

変化はスケーリングのみに相当する ため、通常は 1 と定義され、式はさらに次のように簡略化されます。R{\displaystyle R}

P2D＝（×d、yd）＝（××2+y2+z2、y×2+y2+z2）{\displaystyle P_{\mathrm {2D} }=\left({\frac {x}{d}},{\frac {y}{d}}\right)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}

原点を通らない直線は球面上の大円に投影され、さらに平面上の楕円に投影されます。楕円の長軸は「境界円」の直径と同じであるという性質があります。

例

参照

参考文献

  1. ^アルベール・フロコンとアンドレ・バール、「La Perspective curviligne」、フラマリオン、エディトゥール、パリ、1​​968
  2. ^ a bアルバート・フロコンとアンドレ・バレ『曲線遠近法：視覚空間から構築されたイメージへ』（ロバート・ハンセン訳）、カリフォルニア大学出版局、カリフォルニア州バークレーおよびロサンゼルス、1987年ISBN 0-520-05979-4
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