フィッティング補題

数学において、フィッティング補題（Fitting lemma）は、数学者ハンス・フィッティングにちなんで名付けられた抽象代数学における基本的な命題である。Mをある環上の加群とする。Mが分解不可能で有限長を持つ場合、Mの任意の自己準同型は自己同型または冪零 のいずれかとなる。^{[ 1 ]}

直接的な結果として、すべての有限長の分解不可能なモジュールの自己準同型環は局所的であることがわかります。

フィッティングの補題の一種は、群の表現論においてしばしば用いられる。これは実際には、群Gの任意のK -線型表現が群代数KG上の加群とみなせるため、上記のバージョンの特殊なケースである。

証拠

フィッティングの補題を証明するために、 Mの準同型写像fを取り、次の2つのサブモジュールの連鎖を考えます。

• 最初は下降チェーンです。${\displaystyle \mathrm {im} (f)\supseteq \mathrm {im} (f^{2})\supseteq \mathrm {im} (f^{3})\supseteq \ldots }$
• 2番目は上昇連鎖である${\displaystyle \mathrm {ker} (f)\subseteq \mathrm {ker} (f^{2})\subseteq \mathrm {ker} (f^{3})\subseteq \ldots }$

は有限の長さなので、これらの連鎖は両方とも最終的には安定するはずなので、すべての に対してとなるものがあり、すべてのに対して となるものもある。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (f^{n})=\mathrm {im} (f^{n'})}$ ${\displaystyle n'\geq n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{m})=\mathrm {ker} (f^{m'})}$ ${\displaystyle m'\geq m.}$

さて、構築と${\displaystyle k=\max\{n,m\}}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (f^{2k})=\mathrm {im} (f^{k})}$ ${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{2k})=\mathrm {ker} (f^{k})。}$

我々は を主張する。確かに、任意の はいくつかの に対してを満たすが、も満たすので となり、したがって となり、したがって${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})\cap \mathrm {im} (f^{k})=0}$ ${\displaystyle x\in \mathrm {ker} (f^{k})\cap \mathrm {im} (f^{k})}$ ${\displaystyle x=f^{k}(y)}$ ${\displaystyle y\in M}$ ${\displaystyle f^{k}(x)=0}$ ${\displaystyle 0=f^{k}(x)=f^{k}(f^{k}(y))=f^{2k}(y)}$ ${\displaystyle y\in \mathrm {ker} (f^{2k})=\mathrm {ker} (f^{k})}$ ${\displaystyle x=f^{k}(y)=0.}$

さらに、任意の に対して、となるものが存在し（ であるため）、したがって となり、したがって となり、したがって${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})+\mathrm {im} (f^{k})=M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle y\in M}$ ${\displaystyle f^{k}(x)=f^{2k}(y)}$ ${\displaystyle f^{k}(x)\in \mathrm {im} (f^{k})=\mathrm {im} (f^{2k})}$ ${\displaystyle f^{k}(xf^{k}(y))=f^{k}(x)-f^{2k}(y)=0}$ ${\displaystyle xf^{k}(y)\in \mathrm {ker} (f^{k})}$ ${\displaystyle x\in \mathrm {ker} (f^{k})+f^{k}(y)\subseteq \mathrm {ker} (f^{k})+\mathrm {im} (f^{k})。}$

したがって、は との直和である。（この定理はフィッティング分解定理としても知られている。） は分解不可能であるため、これら2つの加数のうち1つは に等しく、もう1つは零部分加群でなければならない。2つの加数のうちどちらが零であるかによって、 は全単射または冪零のいずれかとなる。^{[ 2 ]}${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (f^{k})}$ ${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

注記

1. Jacobson 2009、定理3.7の前の補題。
2. ジェイコブソン（2009）、113–114頁。

参考文献

• ジェイコブソン、ネイサン（2009）、基礎代数学、第2巻（第2版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-47187-7