文字列グループ

数学の一分野である位相幾何学 において、弦群は、スピン群の-連結被覆としてストルツ (1996) によって導入された無限次元群である。弦多様体とは、その標構束を弦群束に持ち上げた多様体である。これは、経路に沿ったホロノミーを定義できることに加えて、弦間の面のホロノミーも定義できることを意味する。位相群の短完全列が存在する。${\displaystyle \operatorname {文字列} (n)}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 0\rightarrow {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0}$

ここで はアイレンバーグ・マクレーン空間であり、はスピン群である。弦群は、直交群のホワイトヘッドタワー（ポストニコフタワーの概念の双対）への要素である。${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle \operatorname {スピン} (n)}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \operatorname {五脳} (n)\to \operatorname {弦} (n)\rightarrow \operatorname {スピン} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)}$

これは、 のホモトピー群を で消去することによって得られる。これは、を で消去することによって得られるのと同じ方法である。結果として得られる多様体は、有限次元コンパクトリー群はすべて がゼロでない を持つため、有限次元リー群にはなり得ない。 を消去することによって、ファイブブレーン群が得られる。 ${\displaystyle \pi _{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {スピン} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {スピン} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{3}}$ ${\displaystyle \pi _{7}}$

より一般的には、アイレンバーグ・マクレーン空間から始まる短い正確な列を介したポストニコフタワーの構築は、任意のリー群 Gに適用でき、弦群String ( G ) が得られます。

弦群の直感

アイレンバーグ・マクレーン空間の意義は、ホモトピー同値が存在するという事実にある。${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

分類空間 については、事実は である。複素スピン群は群の拡張であるため、${\displaystyle B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to \operatorname {スピン} ^{\mathbb {C} }(n)\to \operatorname {スピン} (n)\to 0}$

ストリング群は、高次群論の意味で「高次の」複素スピン群の拡大と考えることができる。これは、空間が高次群の例であるためである。ストリング群は、一点を対象とし、その射が群である群の位相的実現と考えることができる。 のホモトピー次数は であり、これは写像のホモトピー繊維に由来するため、そのホモトピーが 次に集中していることを意味する。${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)}$

ホモトピー余核が であるホワイトヘッドタワーから となる。これはホモトピーファイバーによって次数が だけ下がるためである。 ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle 1}$

幾何学を理解する

^{弦束の幾何学はホモトピー理論における複数の構成[1]} の理解を必要とするが、本質的には-束とは何か、そしてこれらの高次群拡張がどのように振る舞うかを理解することに帰着する。すなわち、空間上の-束は幾何学的には束ガーベとして表現される。なぜなら、任意の-束はホモトピー平方を与える写像のホモトピーファイバーとして実現できるからである。${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}P&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\M&\xrightarrow {} &K(\mathbb {Z} ,3)\end{matrix}}}$

ここで、 です。すると、ストリングバンドルは、スピンバンドルがフレームバンドルに同変的にマッピングされるのと同様に、-同変であるスピンバンドルにマッピングされる必要があります。 ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)=B(K(\mathbb {Z} ,2))}$ ${\displaystyle S\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {S} \to M}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

ファイブブレーン群および高次群

五ブレーン群も同様に、ホワイトヘッドタワーを用いて弦群の群を消滅させることで 理解できる^{[2] 。そして、}高次の群の正確な列を用いて再び理解できる。${\displaystyle \pi _{7}(\operatorname {スピン} (n))\cong \pi _{7}(\operatorname {O} (n))}$ ${\displaystyle \operatorname {文字列} (n)}$

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,6)\to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to 0}$

it を反復拡張、つまりによる の拡張という観点から表現する。右側のマップはホワイトヘッドタワーからのものであり、左側のマップはホモトピーファイバーである点に注意すること。 ${\displaystyle \operatorname {五脳} (n)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,6)}$ ${\displaystyle \operatorname {文字列} (n)}$

参照

• ガーベ
• N群（圏論）
• 楕円コホモロジー
• ストリング・ボルディズム

参考文献

1. Jurco, Branislav (2011年8月). 「交差加群バンドルGerbes; 分類、弦群、微分幾何学」. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 08 (5): 1079– 1095. arXiv : math/0510078 . Bibcode :2011IJGMM..08.1079J. doi :10.1142/S0219887811005555. ISSN  0219-8878. S2CID  1347840.
2. Sati, Hisham; Schreiber, Urs; Stasheff, Jim (2009年11月). 「Fivebrane Structures」. Reviews in Mathematical Physics . 21 (10): 1197– 1240. arXiv : 0805.0564 . Bibcode :2009RvMaP..21.1197S. doi :10.1142/S0129055X09003840. ISSN  0129-055X. S2CID  13307997.

• Henriques, André G.; Douglas, Christopher L.; Hill, Michael A. (2011)「弦の向きに対するホモロジー的障害」, Int. Math. Res. Notices , 18 : 4074– 4088, arXiv : 0810.2131 , Bibcode :2008arXiv0810.2131D
• ヴォッケル、クリストフ；ザクセ、クリストフ；ニコラウス、トーマス（2013）、「弦群の滑らかなモデル」、国際数学研究通知、2013（16）：3678–3721、arXiv：1104.4288、Bibcode：2011arXiv1104.4288N、doi：10.1093/imrn/rns154
• シュトルツ、ステファン（1996）、「正のリッチ曲率とウィッテン種数に関する予想」、数学年報、304（4）：785-800、doi：10.1007/BF01446319、ISSN  0025-5831、MR  1380455、S2CID  123359573
• シュトルツ、ステファン、テイヒナー、ピーター (2004)、「楕円体とは何か？」(PDF)、位相幾何学、幾何学、量子場理論、ロンドン数学会講演ノートシリーズ、第308巻、ケンブリッジ大学出版局、pp.  247– 343、doi :10.1017/CBO9780511526398.013、ISBN 9780521540490、MR  2079378

外部リンク

• バエズ、J.（2007）「高次ゲージ理論と弦群」
• ループ群から2群へ - String(n)を2群として特徴づける
• nラボの弦楽器グループ
• nラボのホワイトヘッドタワー
• 楕円体とは何ですか?