固定小数点空間

数学において、ハウスドルフ空間 Xは、すべての連続関数が不動点を持ち、その点が となる不動点定理に従うとき、不動点空間と呼ばれます。^[1] ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=x}$

例えば、閉単位区間は不動点空間であり、これは中間値定理から証明できる。実数直線は不動点空間ではない。なぜなら、その引数に1を加える連続関数は不動点を持たないからである。単位区間を一般化すると、ブラウワーの不動点定理により、ユークリッド空間内のすべてのコンパクト有界凸集合は不動点空間となる。^[1]

不動点空間の定義は位相空間の連続関数から他の種類の空間上の写像のクラスにも拡張できる。^[1]

参考文献

1. Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003),不動点理論, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer-Verlag, p. 2, doi :10.1007/978-0-387-21593-8, ISBN 0-387-00173-5、MR  1987179