フラットトポロジー
数学において、平坦位相とは代数幾何学で用いられるグロタンディーク位相の一種である。平坦コホモロジーの理論を定義するために用いられ、また、降下理論（忠実平坦降下）においても基本的な役割を果たす。[ 1 ]ここでの「平坦」という用語は、平坦加群に由来する。
わずかに異なる平坦位相がいくつか存在するが、最も一般的なものはfppf 位相とfpqc 位相である。 fppfはfidèlement plate de présentation finieの略で、この位相では、アフィン スキームの射は、忠実に平坦かつ有限表示であれば被覆射となる。 fpqcはfidèlement plate et quasi-compacteの略で、この位相では、アフィン スキームの射は、忠実に平坦かつ準コンパクト射であれば被覆射となる。どちらのカテゴリでも、被覆族は、ザリスキー開部分集合上の被覆となる族として定義される。[ 2 ] fpqc 位相では、忠実に平坦かつ準コンパクト射は被覆である。[ 3 ]これらの位相は降下と 密接に関連している。準コンパクト性や有限表現などのさらなる有限性条件のない「純粋な」忠実に平坦な位相は、準標準ではないためあまり使用されません。言い換えると、表現可能な関数は層である必要はありません。
残念ながら、平坦トポロジーの用語は標準化されていません。一部の著者はプレトポロジーに対して「トポロジー」という用語を使用していますが、fppf または fpqc (プレ)トポロジーと呼ばれる、わずかに異なるプレトポロジーが複数存在し、それらは同じトポロジーを与えることもあります。
平坦コホモロジーは1960年頃にグロタンディークによって導入された。[ 4 ]
大規模および小規模のfppfサイト
X をアフィンスキームとする。Xのfppf 被覆を有限かつ共射影な射影族として 定義する。
- （φ a ：X a → X）
各Xはアフィンであり、各φは平坦で有限提示である。これは前位相を生成する。任意のXに対して、 Xのfppf被覆を族として 定義する。
- （φ a ：X a → X）
これは、 Xの開アフィン部分スキームへの基底変換後のfppf被覆である。この前位相は、fppf位相と呼ばれる位相を生成する。（これは、任意のXとX aから始めて、被覆族を平坦で有限に提示された射影の族とした場合に得られる位相とは異なる。）fppf位相を持つスキームのカテゴリを Fppfと表記する。
Xの小さな fppf サイトは、カテゴリO ( X fppf ) であり、その対象は、ある被覆族の一部である固定射U → Xを持つスキームUである。(これは、射が平坦で有限提示であることを意味しない。) これらの射は、Xへの固定写像と両立するスキームの射である。Xの大きな fppf サイトはカテゴリFppf/X 、すなわち fppf 位相で考慮される、 Xへの固定写像を持つスキームのカテゴリである。
「Fppf」は「fidèlement plate de présentation finie」の略語であり、これは「忠実に平坦で有限提示である」という意味です。平坦かつ有限提示された射影のあらゆる射影族はこの位相の被覆族であるため、この名前が付けられました。fppf前位相の定義は、追加の準有限性条件を付与することによっても与えられます。EGA IV 4の系17.16.2から、これも同じ位相を与えることが分かります。
大規模および小規模のFPQCサイト
X をアフィン スキームとします。Xのfpqc被覆を、各X αがアフィンであり、各u αが平坦かつ準コンパクトであるような有限かつ共同射影的な射の族 { u α : X α → X } として定義します。これにより、プレトポロジーが生成されます。任意のXに対して、 Xの fpqc 被覆を、Xの開いたアフィン サブスキームへの基底変換後の fpqc 被覆である族 { u α : X α → X } として定義します。このプレトポロジーは、fpqc トポロジーと呼ばれるトポロジーを生成します。(これは、任意のXとX αから始めて、被覆族を平坦射の共同射影的な族とした場合に得られるトポロジーとは異なります。) fpqc トポロジーを持つスキームのカテゴリを Fpqcと書きます。
Xの小さな fpqc サイトは、ある被覆族の一部である固定射U → Xを持つスキームUを対象とするカテゴリO ( X fpqc ) である。これらの射は、 Xへの固定写像と両立するスキームの射である。Xの大きな fpqc サイトはカテゴリFpqc/X 、すなわち fpqc 位相で考慮される、 Xへの固定写像を持つスキームのカテゴリである。
「Fpqc」は「fidèlement plate quasi-compacte」、つまり「忠実に平坦かつ準コンパクト」の略語です。平坦かつ準コンパクト射の射影族はすべてこの位相の被覆族となるため、この名前が付けられました。
平坦コホモロジー
コホモロジー群を定義する手順は標準的なものです。コホモロジーは、アーベル群の層のセクションを取る関数の導来関数の列として定義されます。
このような群には数多くの応用があるが、エタールコホモロジーなどの他の理論に還元される場合を除いて、一般に計算は容易ではない。
例
次の例は、有限性条件のない「忠実に平坦な位相」がなぜうまく動作しないかを示しています。X が代数的に閉体 k 上のアフィン直線であると仮定します。Xの各閉点xに対して、この点における局所環R xを考えることができます。これは離散付値環であり、そのスペクトルには1つの閉点と1つの開点（ジェネリック）があります。これらのスペクトルの開点を同定することで、スペクトルを結合し、スキームYを得ます。Y からXへの自然写像が存在します。アフィン直線Xは、忠実に平坦な位相において開集合 Spec( R x ) で覆われており、これらの集合はそれぞれYへの自然写像を持ち、これらの写像は交差において同一です。しかし、 XとYの基底空間の 位相が異なる ため、これらを組み合わせてXからYへの写像を得ることはできません。
参照
注記
- ^ 「（代数的）構造の形式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
- ^ SGA III 1、IV 6.3。
- ^ SGA III 1、IV 6.3、提案 6.3.1(v)。
- ^ *グロタンディーク、アレクサンダー; Raynaud, Michele (2003) [1971]、Revêtements étales et groupe Fondamental (SGA 1)、Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)]、vol. 3、パリ:フランス数学協会、p. XI.4.8、arXiv : math/0206203、Bibcode : 2002math....6203G、ISBN 978-2-85629-141-2、MR 2017446
参考文献
- 幾何学的計算の要素、Vol. IV. 2
- ミルン、ジェームスS. (1980)、『エタール コホモロジー』、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08238-7
- マイケル・アルティンとJSミルン、「曲線の平坦コホモロジーにおける双対性」、Inventiones Mathematicae、第35巻第1号、1976年12月
外部リンク
- ジェームズ・ミルン著のオンラインブック「算術双対定理（PDF）」は、ガロア・コホモロジーのテイト・ポワトゥー双対性に由来する平坦コホモロジーの双対定理のレベルで説明している。
