フラットカバー

代数学において、環上の加群Mの平坦被覆とは、ある意味で極小となる、平坦加群FからMへの射影準同型である。環上の任意の加群は、（一意でない）同型を除いて一意となる平坦被覆を持つ。平坦被覆は、ある意味では入射包と双対であり、射影被覆や捩れのない被覆と関連している。

定義

準同型写像F → Mは、それが射影的であり、Fが平坦であり、平坦モジュールからMへのすべての準同型がFを介して因数分解され、 M への写像と可換なFからFへの任意の写像がFの自己同型である場合に、 Mの平坦被覆として定義されます。

歴史

加群の射影被覆は常に存在するわけではないが、一般環に対してはすべての加群が平坦被覆を持つと推測された。この平坦被覆予想は、( Enochs 1981 , p 196)で初めて明示的に示された。この予想は真であることが判明し、Bican、El Bashir、Enochs (2001)によって肯定的に解決され、同時に証明された。これに先立ち、P. Eklof、J. Trlifaj、J. Xuによる重要な貢献があった。

最小限のフラット解像度

環上の任意のモジュールMは平坦なモジュールによる分解を持つ

→ F ₂ → F ₁ → F ₀ → M → 0

各F _{n +1は}F _n → F _{n −1}の核の平坦被覆となる。このような解決は同型を除いて一意であり、Mの任意の平坦解決がそれを因子として通るという意味で極小平坦解決である。加群の任意の準同型は、対応する平坦解決間の準同型に拡張されるが、この拡張は一般に一意ではない。

参考文献

• エノックス、エドガー E. (1981)、「単射および平坦被覆、包絡線およびレゾルベント」、イスラエル数学ジャーナル、39 (3): 189– 209、doi : 10.1007/BF02760849、ISSN  0021-2172、MR  0636889
• Bican, L.; El Bashir, R.; Enochs, E. (2001)、「すべてのモジュールはフラットカバーを持つ」、ロンドン数学会誌、33 (4): 385– 390、doi : 10.1017/S0024609301008104、ISSN  0024-6093、MR  1832549
• 「フラットカバー」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Xu, Jinzhong (1996),モジュールのフラットカバー, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1634, ベルリン: Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0094173 , ISBN 3-540-61640-3、MR  1438789