退化（代数幾何学）

代数幾何学において、退化（または特殊化）とは、多様体の族の極限をとる行為である。正確には、射が与えられたとき、

${\displaystyle \pi :{\mathcal {X}}\to C,}$

原点0の曲線C （例えばアフィン直線や射影直線）への多様体（またはスキーム）の繊維

${\displaystyle \pi^{-1}(t)}$

はC上の多様体の族を形成する。このとき、ファイバーはの極限として考えることができる。このとき、族は特殊ファイバーに退化するという。この極限過程は、が平坦射のとき良好に振る舞い、その場合の退化は平坦退化と呼ばれる。多くの研究者は退化が平坦であると仮定している。 ${\displaystyle \pi^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \pi^{-1}(t)}$ ${\displaystyle t\to 0}$ ${\displaystyle \pi^{-1}(t),t\neq 0}$ ${\displaystyle \pi^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \pi }$

族が特殊ファイバーから離れて自明である場合、つまり、（コヒーレントな）同型まで独立である場合、一般ファイバーと呼ばれます。 ${\displaystyle \pi^{-1}(t)}$ ${\displaystyle \pi^{-1}(t)}$ ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle \pi^{-1}(t),t\neq 0}$

曲線の退化

曲線のモジュライの研究では、モジュライの境界を理解することが重要な点であり、それは曲線の退化を理解することに等しい。

不変量の安定性

被支配性は特殊化する。正確には、マツサカの定理は次のように述べている。

X を離散付値環上の通常の既約射影スキームとする。ジェネリックファイバーがルール化されている場合、特殊ファイバーの各既約成分もルール化されている。

微小変形

D = k [ ε ]を体k上の双対数環とし、Y をk上の有限型のスキームとする。 Yの閉部分スキームXが与えられたとき、定義により、Xの埋め込まれた一階微小変形はY × _{Spec( k )} Spec( D )の閉部分スキームX 'であり、射影X ' → Spec Dは平坦であり、X を特殊ファイバーとする。

Y = Spec AとX = Spec( A / I )がアフィンである場合、埋め込まれた微小変形はA [ ε ]のイデアルI 'に相当し、 A [ ε ]/ I 'はD上で平坦であり、 A = A [ ε ]/ εにおけるI 'の像はIになります。

一般に、尖端スキーム ( S , 0) とスキームXが与えられたとき、スキームπ : X ' → Sの射は、スキームX が平坦であり、かつSの特定の点 0 上のそのファイバーがXであるとき、スキームXの変形と呼ばれる。したがって、上記の概念は、 S = Spec Dであり、埋め込みの選択肢がある 場合の特別なケースである。

参照

• 変形理論
• 微分次数リー代数
• 小平・スペンサー地図
• フロベニウス分割
• 相対有効カルティエ除数

参考文献

• M. アルティン、「特異点の変形に関する講義」 – タタ基礎研究所、1976年
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• E. セルネシ:代数スキームの変形
• M. グロス、M. シーバート、「トーリック変性への招待」
• M. Kontsevich, Y. Soibelman: アフィン構造と非アルキメデス解析空間、数学の統一性（P. Etingof、V. Retakh、IM Singer編）、321–385、Progr. Math. 244、Birkh ̈auser 2006。
• Karen E Smith、「素特性局所代数による消失、特異点、有効境界」
• V. Alexeev, Ch. Birkenhake, K. Hulek, Prym多様体の退化, J. Reine Angew. Math. 553 (2002), 73–116.

外部リンク

• http://mathoverflow.net/questions/88552/when-do-infinitesimal-deformations-lift-to-global-deformations