部分的に満たされた導管の流れ

流体力学において、閉管内の流れは、排水溝や下水道など、液体が閉じた流路内を連続的に流れ、流路が一定の深さまでしか満たされていない場所でよく見られます。このような流れの典型的な例としては、円形流路やΔ型流路内の流れが挙げられます。

閉水路流れは、開水路流れと、閉水路流れには閉じた上端の幅があるという点のみで異なる。一方、開水路では片側が周囲の環境に露出している。閉水路流れは、一般的に水路流れの原理に従う。これは、流れる液体が水路内に自由表面を持つためである。 ^{[ 1 ]}しかし、境界が上端に収束することで、閉水路流れには最大流量が発生する深さが有限であるなど、流れにいくつかの特殊な特性が付与される。^{[ 2 ]}計算上、流れは一様流として扱われる。このような閉水路流れの数学的計算には、マニングの式、連続の式（Q=AV）、および水路断面の幾何学的関係が用いられる。^{[ 2 ]}

円形チャネル内の流れに関する数学的解析

直径Dの閉じた円形の導管を考えます。導管内には部分的に液体が流れています。図(a)に示すように、導管中心の自由表面がなす角度をラジアンで2θとします。

導管を流れる液体の断面積（A）は次のように計算されます。

${\begin{aligned}A=&{{D^{2}\theta } \over {4}}-2{\biggl (}\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {D}{2}}\sin \theta {\frac {D}{2}}\cos \theta {\Biggr )}\\&={\frac {D^{2}}{4}}{\biggl (}\theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta {\biggr )}\\\end{aligned}}$ （式1）

ここで、濡れ周囲長(P) は次のように表されます。

$P=D\theta$

したがって、水力半径（R _h）は、断面積（A）と濡れ周囲長（P）を使用して次の関係で計算されます。

$R_{h}={\frac {A}{P}}={\frac {D}{4}}{\biggl (}1-{\frac {1}{2}}{\frac {\sin 2\theta }{\theta }}{\biggr )}$ ^{[ 1 ]} （式2）

排出率はマニングの式から計算できます。

$Q={\frac {D^{2}}{4}}{\biggl (}\theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta {\biggr )}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}S^{\frac {1}{2}}{{{\biggl (}{\frac {D}{4}}{\biggl (}1-{\frac {1}{2}}{\frac {\sin 2\theta }{\theta }}{\biggr )}{\biggr )}}^{\frac {2}{3}}}$ . ^{[ 1 ]}

$=K{\biggl (}\theta -{\frac {\sin 2\theta }{2}}{\biggr )}{{{\biggl (}1-{\frac {\sin 2\theta }{2\theta }}{\Biggr )}}^{\frac {2}{3}}}$ （式3）

ここで定数 $K={\frac {{D}^{\frac {8}{3}}}{{4}^{\frac {5}{3}}}}{\frac {{S}^{\frac {1}{2}}}{n}}$

上記の式に代入すると、導管が満水になった場合の流量（Q _full）が得られます。 $\theta =\pi$

$Q_{(full)}=K\pi$ （式4）

最終的な無次元量

無次元形式では、放電率 Q は通常次のように表されます。

${\frac {Q}{{Q}_{full}}}={\frac {1}{\pi }}{\biggl (}\theta -{\frac {\sin 2\theta }{2}}{\biggr )}{{{\biggl (}1-{\frac {\sin 2\theta }{2\theta }}{\biggr )}}^{\frac {2}{3}}}$ ^{[ 1 ]} （式5）

同様に速度（V）については次のように書くことができます。

${\frac {V}{{V}_{(full)}}}={{{\biggl (}1-{\frac {\sin 2\theta }{2\theta }}{\biggr )}}^{\frac {2}{3}}}$ ^{[ 1 ]} （式6）

流れの深さ（H）は、無次元形式で次のように表されます。

${\frac {H}{D}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta$ ^{[ 1 ]} （式7）

流動特性

_{Q/Q (満水)}と V/V _(満水)の H/D 比による変化を図 (b) に示します。式 5 から、Q/Q _(満水)の最大値は H/D =0.94 で 1.08 に等しいことがわかります。これは、導管が部分的に満水の場合に、導管を通る流量が最大になることを意味します。同様に、V/V _(満水)の最大値(1.14 に等しい) も、H/D = 0.81 で導管が部分的に満水の場合に観測されます。これらの結果の物理的な説明は、一般的に、マニングの式におけるシェジーの係数の水力半径 R _hによる典型的な変化に起因します。^{[ 1 ]}ただし、これらの値を計算する際、マニングの粗度係数 'n' は流れの深さに依存しないという重要な仮定が採用されます。また、Q/Q(full)の寸法曲線は、深さが約0.82Dより大きい場合、同じ流量に対して0.938Dの値より上と下の2つの異なる深さが存在する可能性があることを示している^{[ 3 ]}

実際には、水深が0.82Dを超えると水面のわずかな乱れによって水面が別の法線深度を求めて水面が不安定になる可能性があるため、2つの法線深度領域を避けるために、0.82Dの値以下に流量を制限するのが一般的です。^{[ 2 ]}

参考文献

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^gスマン・チャクラボルティ、SK・ソム（2004年）『流体力学と流体機械入門』ニューデリー：マグロウヒル・エデュケーション、pp. 599, 600. ISBN 978-0-07-132919-4。
^ ^a ^b ^c SUBRAMANYAM, K. (2009).開水路の流れ. ニューデリー: McGRAW HILL PUBLICATIONS. pp. 106, 107, 113. ISBN 978-0-07-008695-1。
^ CHOW, VEN TE (1959). OPEN CHANNEL HYDRAULICS . ニューヨーク: McGraw Hill Publications. p. 134. OCLC 4010975 .

[:0-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^gスマン・チャクラボルティ、SK・ソム（2004年）『流体力学と流体機械入門』ニューデリー：マグロウヒル・エデュケーション、pp. 599, 600. ISBN 978-0-07-132919-4。

[:1-2] SUBRAMANYAM, K. (2009).開水路の流れ. ニューデリー: McGRAW HILL PUBLICATIONS. pp. 106, 107, 113. ISBN 978-0-07-008695-1。

[3] CHOW, VEN TE (1959). OPEN CHANNEL HYDRAULICS . ニューヨーク: McGraw Hill Publications. p. 134. OCLC 4010975 .

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