焦点円錐

焦点円錐の定義A,C: 楕円の頂点と双曲線の焦点E,F: 楕円の焦点と双曲線の頂点

焦点円錐曲線: 2 つの放物線A: 赤い放物線の頂点と青い放物線の焦点F: 赤い放物線の焦点と青い放物線の頂点

幾何学において、焦点円錐曲線は^{[ 1 ] [ 2 ]}の いずれか で構成される2つの曲線である。

• 楕円と双曲線。双曲線は、楕円を含む平面に直交する平面に含まれます。双曲線の頂点は楕円の焦点であり、楕円の焦点は楕円の頂点です（図を参照）。

または

• 2 つの放物線は 2 つの直交平面に含まれ、一方の放物線の頂点はもう一方の放物線の焦点となり、逆もまた同様です。

焦点円錐は、「どの直円錐に特定の楕円、双曲線、または放物線が含まれるか (下記参照)」という質問に答える上で重要な役割を果たします。

焦点円錐は、 2つの方法でデュパンサイクリッドを運河面として生成するための準線として使用されます。^{[ 3 ] [ 4 ]}

焦点円錐は退化した焦点面として見ることができる。デュパンサイクライドは焦点面が一対の曲線、すなわち焦点円錐に収束する唯一の表面である。^{[ 5 ]}

物理化学では焦点円錐は液晶の幾何学的性質を記述するために使用される。^{[ 6 ]}

焦点円錐と共焦点円錐を混同しないでください。後者はすべて同じ焦点を持ちます。

方程式とパラメトリック表現

楕円と双曲線

方程式

xy平面上の楕円を一般的な方法で次の式で表すと、

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\;,}$

すると、xz平面における対応する焦点双曲線は次式で表される。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\;,}$

ここで、楕円の線形離心率は${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;c^{2}=a^{2}-b^{2}\;.}$

パラメトリック表現

楕円: と${\displaystyle \quad {\vec {u}}(\varphi )=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)^{T}\ }$

双曲線：${\displaystyle \ {\vec {v}}(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )^{T}\ .}$

2つの放物線

xy平面とxz平面の2つの放物線:

1. 放物線:そして${\displaystyle \y^{2}=p^{2}-2px\}$

2. 放物線:${\displaystyle \ z^{2}=2px\ .}$

両方の放物線の 半横行直筋とともに。${\displaystyle p}$

直円錐（緑）と楕円（青）

楕円を通る直円錐

• 与えられた楕円を通る直円錐の頂点は、その楕円に属する焦点双曲線上にあります。

楕円を通る直円錐

証拠

与えられたもの: 頂点と焦点を持つ楕円と、その楕円を頂点に含む直円錐(図を参照)。 ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle E,F}$ ${\displaystyle S}$

対称性のため、円錐の軸は焦点を通る平面に含まれ、この平面は楕円面と直交します。ダンデリン球面が 存在し、これは焦点で楕円面と接し 、円で円錐と接します。図と、点から球面へのすべての接線距離が等しいという事実から、次の式が得られます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle |AS|=|AA_{1}|+|A_{1}S|=|AF|+|B_{1}S|}$

${\displaystyle |BS|=|BB_{1}|+|B_{1}S|=|BF|+|B_{1}S|}$

したがって:

${\displaystyle |AS|-|BS|=|AF|-|BF|=|EF|=}$ 定数。

そして、すべての可能な頂点の集合は、頂点と焦点を持つ双曲線上に存在します。 ${\displaystyle E,F}$ ${\displaystyle A,B}$

同様に円錐に双曲線や放物線が含まれる場合も証明できる。^{[ 7 ]}

参考文献

1. ミュラー・クルッパ、S. 104
2. Glaeser-Stachel-Odehnal、p. 137
3. Felix Klein: Vorlesungen Über Höhere Geometrie、Herausgeber: W. Blaschke、Richard Courant、Springer-Verlag、2013、 ISBN 3642498485、S.58。
4. Glaeser-Stachel-Odehnal: p. 147
5. D. ヒルベルト、S. コーン＝ヴォッセン『幾何学と想像力』チェルシー出版社、1952年、218ページ。
6. トーマス・アンドリュー・ウェイ：生体プロセスの物理学、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、2014年、 ISBN 1118698274、128ページ。
7. Glaeser-Stachel-Odehnal p. 139

• Georg Glaeser、Hellmuth Stachel、Boris Odehnal: The Universe of Conics、Springer、2016、ISBN 3662454505。
• E. ミュラー、E. クルッパ: Lehrbuch der darstellenden Geomelrie、Springer-Verlag、ウィーン、1961、ISBN 978-3-211-80589-3。