死の力

保険数理学と人口統計学において、死亡力とは、通常 と表記され、年齢xまで生存することを条件として、年齢xで死亡が発生する瞬間的な割合を表す関数である。[1]生存分析ではハザード関数に相当し、信頼性理論では故障率に相当する。[2] [3]単位は時間の逆数であり、これを区間にわたって積分すると、その区間における生存確率が得られる。[2] μ （ × ） {\displaystyle \mu (x)}

意味

を個人の死亡時（または生存時）の年齢を表す非負確率変数とする。その累積分布関数を、生存関数を と書く。[2] X {\displaystyle X} F （ × ） ＝ 広報 （ X ≤ × ） {\displaystyle F(x)=\Pr(X\leq x)} S （ × ） ＝ 広報 （ X > × ） {\displaystyle S(x)=\Pr(X>x)}

年齢 における死亡力（）は、年齢 における瞬間的な条件付き死亡率として定義されます。正式には、 後の短期間に死亡する条件付き確率の極限を期間の長さで割った値です[1]。 × {\displaystyle x} μ （ × ） {\displaystyle \mu (x)} × {\displaystyle x} × {\displaystyle x} μ （ × ） ＝ リム Δ × → 0 + 広報 （ × < X ≤ × + Δ × ∣ X > × ） Δ × 。 {\displaystyle \mu (x)=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {\Pr(x<X\leq x+\Delta x\mid X>x)}{\Delta x}}.}

が確率密度関数と連続である場合、死亡の力は と を用いて次のように表される[2]。 X {\displaystyle X} f （ × ） {\displaystyle f(x)} f {\displaystyle f} S {\displaystyle S} μ （ × ） ＝ f （ × ） S （ × ） ＝ f （ × ） 1 − F （ × ） 。 {\displaystyle \mu(x)={\frac{f(x)}{S(x)}}={\frac{f(x)}{1-F(x)}}.}

同様に、が微分可能な場合、それは対数生存関数[2]の負の導関数である。 S {\displaystyle S} μ （ × ） ＝ − d d × ln ⁡ S （ × ） 。 {\displaystyle \mu(x)=-{\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\ln S(x).}

死亡の力は確率ではなく瞬間的な率である。短い期間 において、年齢の直後に死亡する条件付き確率は、 が十分に小さく、期間を通じて率が大きく変化しないという条件下では、およそ となる。[1] μ （ × ） {\displaystyle \mu (x)} Δ × {\displaystyle \Delta x} × {\displaystyle x} μ （ × ） Δ × {\displaystyle \mu (x)\,\Delta x} Δ × {\displaystyle \Delta x}

生存分析では、ハザード関数が用いられる。[2]信頼性理論では、同じ数学的対象は一般に故障率と呼ばれる。[3] μ （ × ） {\displaystyle \mu (x)}

累積死亡力（累積ハザードとも呼ばれる）は、その力を年齢で積分したものである。これを書き表すと、 生存関数は[2] のように表される。 H （ × ） ＝ ∫ 0 × μ （ あなた ） d あなた {\displaystyle H(x)=\int _{0}^{x}\mu (u)\,\mathrm {d} u} S （ × ） ＝ 経験 （ − H （ × ） ） 。 {\displaystyle S(x)=\exp \!{\bigl (}-H(x){\bigr )}.}

これらの恒等式は微分関係を意味し 、連続寿命分布の場合、密度は次のように表される[2] d d × S （ × ） ＝ − μ （ × ） S （ × ） {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}S(x)=-\mu (x)\,S(x)} f （ × ） ＝ μ （ × ） S （ × ） 。 {\displaystyle f(x)=\mu(x)\,S(x).}

生存確率と生命表

保険数理記法では、ある年齢の人がさらに何年も生き続ける確率はと表記される。生涯確率変数 で表すと、[1]となる。 × {\displaystyle x} t {\displaystyle t} t p × {\displaystyle {}_{t}p_{x}} X {\displaystyle X} t p × ＝ 広報 （ X > × + t ∣ X > × ） ＝ S （ × + t ） S （ × ） 。 {\displaystyle {}_{t}p_{x}=\Pr(X>x+t\mid X>x)={\frac {S(x+t)}{S(x)}}.}

死亡率の力を用いると、この条件付き生存確率は積分力の指数として表すことができる[1] [2]。 t p × ＝ 経験 （ − ∫ × × + t μ （ あなた ） d あなた ） 。 {\displaystyle {}_{t}p_{x}=\exp \!\left(-\int _{x}^{x+t}\mu (u)\,\mathrm {d} u\right).}

生命表は、整数年齢における生存確率と死亡確率を表にまとめることが多い。この場合、1年間の生存確率は、1年間の死亡確率は となる。[1]死亡率の力は、上記の積分関係を通して、異なる期間における確率を関連付けることができる連続年齢の記述を提供する。[1] p × ＝ 1 p × {\displaystyle p_{x}={}_{1}p_{x}} q × ＝ 1 − p × {\displaystyle q_{x}=1-p_{x}}

死亡率モデルの例

死亡率が年齢とともにどのように変化するかを記述するために、いくつかのパラメトリックモデルが用いられている。死亡率が一定である場合（ ）は、の指数分布に対応し、記憶のない生存パターンを与える。[2] μ （ × ） ＝ λ {\displaystyle \mu (x)=\lambda } λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} X {\displaystyle X}

保険数理の分野では、ゴンペルツ・メイクハムの死亡率の法則は、年齢に依存しない要素と指数関数的に増加する要素の和として表されることが多く、例えば 、、、およびとなる 。[ 1]ゴンペルツモデルは の特殊なケースであり、次式を与える: [1] μ （ × ） ＝ あ + B c × {\displaystyle \mu (x)=A+B\,c^{x}} あ ≥ 0 {\displaystyle A\geq 0} B > 0 {\displaystyle B>0} c > 1 {\displaystyle c>1} あ ＝ 0 {\displaystyle A=0} μ （ × ） ＝ B c × {\displaystyle \mu (x)=B\,c^{x}}

生存分析と信頼性解析における一般的なモデルとして、ワイブルハザードモデルが用いられます。ワイブルハザードモデルは、 形状とスケールがの形をとります 。このファミリーには、 の値に応じて、死亡率の減少、一定、増加の力が含まれます。[2] [3] μ （ × ） ＝ け λ （ × λ ） け − 1 {\displaystyle \mu (x)={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}} け > 0 {\displaystyle k>0} λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} け {\displaystyle k}

参照

参考文献

  1. ^ abcdefghi ディクソン, David CM; ハーディ, Mary R.; ウォーターズ, Howard R. (2013). 『生命保険の偶発リスクのための保険数理』（第2版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9781107044074。
  2. ^ abcdefghijk Klein, John P.; Moeschberger, Melvin L. (2003).生存分析：打ち切りデータと切断データのための手法（第2版）. Springer. ISBN 9780387953991。
  3. ^ abc ラウサンド, マーヴィン; ホイランド, アーンヨット (2004).システム信頼性理論：モデル、統計手法、および応用（第2版）. ワイリー・インターサイエンス. ISBN 9780471471332。
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