正式な配布

数学において、形式的分布は形式変数のべきの無限和であり、通常は形式的分布の理論で表されます。これらの無限和の係数は、ベクトル空間や環などのさまざまな数学的構造にすることができますが、アプリケーションでは、ほとんどの場合、体 上の代数内の値を取ります。これらの無限和は、無限個の正および負のべきを持つことができ、収束する必要がないため、形式的変数の関数を定義しません。むしろ、これらは分布、つまり適切なテスト関数の空間 上の線型関数として解釈されます。これらは形式ローラン級数と密接に関連していますが、有限個の負のべきを持つ必要はありません。特に、これは、係数が環値であっても、2 つの形式的分布を乗算することが必ずしも可能ではないことを意味します。 ${\displaystyle z}$

これらは頂点作用素環の研究において重要である。なぜなら、理論で中心的な役割を果たす頂点作用素は、自己準同型値形式超関数の空間で値を取るからである。^[1]

定義C-代数

を 上の代数とします。これは頂点代数への応用の場合と同様です。変数における 値の形式的超関数は、 各 を持つ任意の級数です 。これらの級数はベクトル空間を形成し、 と表記されます。^[2]形式的超関数の空間では、いくつかの元のペアを乗算することは可能ですが、一般に空間全体に積は存在しません。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z_{1},\cdots ,z_{n}}$ $${\displaystyle A(z_{1},\cdots ,z_{n})=\sum _{i_{1}\in \mathbb {Z} }\cdots \sum _{i_{n}\in \mathbb {Z} }A_{i_{1},\cdots ,i_{n}}z_{1}^{i_{1}}\cdots z_{n}^{i_{n}},}$$ ${\displaystyle A_{i_{1},\cdots ,i_{n}}\in R}$ ${\displaystyle R[[z_{1},z_{1}^{-1},\cdots ,z_{n},z_{n}^{-1}]]}$

実際には、考慮される変数の数は 1 つか 2 つだけであることが多いです。

製品

2 つの形式分布の変数が互いに素である場合、積は明確に定義されます。

形式分布とローラン多項式の積も明確に定義されています。

単一変数の形式分布

このセクションでは、 を検討します。 ${\displaystyle R[[z,z^{-1}]]}$

形式残留物

形式的留数は線型写像であり、 で与えられる。 の形式的留数はまたはと書くこともできる。これは複素解析の留数にちなんで名付けられ、 が複素平面上の零近傍上の有理型関数であるとき、2つの概念は一致する。 ${\displaystyle \operatorname {Res} :R[[z,z^{-1}]]\rightarrow R}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} f(z)=\operatorname {Res} \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}z^{n}=f_{-1}.}$$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{z}f(z),\operatorname {Res} _{z=0}f(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} f(z)dz}$ ${\displaystyle f(z)}$

形式的導関数

形式的な微分は線型写像 である。元 に対して、その作用は を 線型的に拡張して空間全体への写像を与える で与えられる。 ${\displaystyle \partial _{z}:R[[z,z^{-1}]]\rightarrow R[[z,z^{-1}]]}$ ${\displaystyle az^{n}}$ $${\displaystyle az^{n}\mapsto \partial _{z}az^{n}=naz^{n-1},}$$

特に、正式な配布の場合、 ${\displaystyle f(z)}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} \partial _{z}f(z)=0}$$

分布としての解釈

これが、なぜこれらが超関数と呼ばれるのかの理由である。「テスト関数」の空間をローラン多項式の空間とみなすと、任意の形式的超関数はテスト関数上の線型関数を定義する。がローラン多項式である場合、形式的超関数は次式で線型関数を定義する 。${\displaystyle \varphi \in \mathbb {C} [z,z^{-1}]}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [[z,z^{-1}]]}$ $${\displaystyle \varphi \mapsto \langle f,\varphi \rangle :=\operatorname {Res} f(z)\varphi (z).}$$

2変数の形式分布

このセクションでは、 を検討します。 ${\displaystyle R[[z,z^{-1},w,w^{-1}]]}$

デルタ分布

最も重要な分布の 1 つはデルタ関数であり、実際には 2 変数の正式な分布として実現できます。

これは定義されて おり、任意の正式な分布に対して を満たします。この場合、の 添え字は、どの変数から剰余を読み取るかを識別するために必要です。 $${\displaystyle \delta(zw):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }z^{-n-1}w^{n}={\frac {1}{z}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left({\frac {w}{z}}\right)^{n},}$$ ${\displaystyle f(z)}$ $${\displaystyle \langle \delta (zw),f(z)\rangle =\operatorname {Res} _{z}\delta (zw)f(z)=f(w),}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{z}}$

ゼロの展開

2 変数の正式な分布に関して考慮すべき微妙な点は、分布の空間では単純にゼロになるが、実際にはゼロではない表現が存在することです。

式 を2つの複素変数の関数として考えると、のときは の級数展開となり、 のときはの級数展開となる。 ${\displaystyle (zw)^{-1}}$ ${\displaystyle |z|>|w|}$ ${\displaystyle (zw)_{+}^{-1}:=-{\frac {1}{z}}\sum _{n>0}\left({\frac {z}{w}}\right)^{n}}$ ${\displaystyle |z|<|w|}$ ${\displaystyle (zw)_{+}^{-1}:={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {w}{z}}\right)^{n}}$

それから $${\displaystyle 0=(zw)^{-1}-(zw)^{-1}{\overset {?}{=}}(zw)_{+}^{-1}-(zw)_{-}^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left({\frac {w}{z}}\right)^{n}=\delta (zw)。}$$

したがって、等式は成立しません。

参照

• 形式冪級数
• 頂点作用素代数

参考文献

1. カック、ビクター G. (1998)。初心者のための頂点代数(第 2 版)。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会。 p. 17.ISBN​ 082181396X。
2. フレンケル、エドワード (2004).頂点代数と代数曲線（第2版）. プロビデンス、ロードアイランド. ISBN 9781470413156。