形式的に滑らかな写像

代数幾何学と可換代数において、環準同型写像は、次の微小持ち上げ特性 を満たす場合、形式的に滑らか（フランス語：Formellement lisseから）と呼ばれます${\displaystyle f:A\to B}$

Bに写像fを介してA -代数の構造が与えられているとする。可換A -代数Cと冪零イデアルが与えられれば、任意のA -代数準同型写像はA -代数写像に持ち上げられる。さらに、そのような持ち上げが一意であるとき、f は形式的にエタールであると言われる。^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle N\subseteq C}$ ${\displaystyle B\to C/N}$ ${\displaystyle B\to C}$

形式的に滑らかなマップは、 Alexander GrothendieckによってÉléments de géométrie algébrique IVで定義されました。

有限に提示された射の場合、形式的な滑らかさは通常の滑らかさの概念と同等です。

例

滑らかな射

すべての滑らかな射は、有限表示の局所的に形式的に滑らかな射と同値である。したがって、形式的な滑らかさは滑らかな射のわずかな一般化である。^{[ 3 ]}${\displaystyle f:X\to S}$

非例

スキームの形式的な滑らかさを検出する1つの方法は、無限小リフティング基準を使用することです。例えば、打ち切り射を用いると、無限小リフティング基準は可換平方を用いて記述できます${\displaystyle k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{3})\to k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\leftarrow &{\text{Spec}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{2})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\S&\leftarrow &{\text{Spec}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{3})}}\right)\end{matrix}}}$

ここで、例えば、${\displaystyle X,S\in Sch/S}$

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y]}{(xy)}}\right)}$ そして${\displaystyle Y={\text{Spec}}(k)}$

次に、環射によって与えられた原点における接ベクトルを考えます${\displaystyle (0,0)\in X(k)}$

${\displaystyle {\frac {k[x,y]}{(xy)}}\to {\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{2})}}}$

送信

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto \varepsilon \\y&\mapsto \varepsilon \end{aligned}}}$

なので、これは可換環の有効な射であることに注意してください。そして、この射を${\displaystyle xy\mapsto \varepsilon ^{2}=0}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{3})}}\right)\to X}$

形式は次の通りである

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto \varepsilon +a\varepsilon ^{2}\\y&\mapsto \varepsilon +b\varepsilon ^{2}\end{aligned}}}$

そして、これは非零なので無限小リフトは存在できず、したがって形式的に滑らかではない。これはまた、有限表示の局所的に形式的に滑らかな射と滑らかな射との同値性から、この射が滑らかではないことを証明している。 ${\displaystyle xy\mapsto \varepsilon ^{2}+(a+b)\varepsilon ^{3}=\varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle X\in Sch/k}$

参照

• 双対数
• 滑らかな射影
• 変形理論

参考文献

1. アレクサンドル・グロタンディーク、ジャン・ディドゥドネ(1964). 「代数幾何学の要素：IV．図式的局所性と図式的写像の研究、第一部」 . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 20 : 5–259 . doi : 10.1007/bf02684747 . MR  0173675
2. アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1967)。「幾何学的計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、Quatrième party」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。32 : 5– 361.土井: 10.1007/bf02732123。MR 0238860。 
3. 「補題37.11.7 (02H6): 無限小持ち上げ基準—Stacksプロジェクト」 . stacks.math.columbia.edu . 2020年4月7日閲覧。

外部リンク

• 滑らかな繊維を持ち、形式的には滑らかですが、滑らかではありませんhttps://mathoverflow.net/q/333596
• 形式的には滑らかだが滑らかではないhttps://mathoverflow.net/q/195