フォスターの定理

確率論において、ゴードン・フォスターにちなんで名付けられたフォスターの定理[ ^1]は、可算状態空間を持つマルコフ連鎖の正の回帰性について結論を導くために使用されます。この定理は、正の回帰性マルコフ連鎖が、有限の時間間隔内で任意の状態から開始して、その状態に戻るという 「リアプノフ安定性」の概念を示すという事実を利用しています

定理

可算状態空間上の、遷移確率行列を持つ既約離散時間マルコフ連鎖を考える。このマルコフ連鎖は、リアプノフ関数が 存在し、かつ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V(i)\geq 0{\text{}}\forall {\text{}}i\in S}$

1. ${\displaystyle \sum _{j\in S}p_{ij}V(j)<{\infty }}$ に対して${\displaystyle i\in F}$
2. ${\displaystyle \sum _{j\in S}p_{ij}V(j)\leq V(i)-\varepsilon }$ すべてに対して${\displaystyle i\notin F}$

ある有限集合と真に正な集合に対して。^[2]${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

関連リンク

• リアプノフ最適化

参考文献

1. Foster, FG (1953). 「特定の待ち行列プロセスに関連する確率行列について」.数理統計年報. 24 (3): 355–360 . doi : 10.1214/aoms/1177728976 . JSTOR  2236286
2. ブレモー、P. (1999)。 「リアプノフ関数とマルチンゲール」。マルコフ連鎖。 pp. 167.土井:10.1007/978-1-4757-3124-8_5。ISBN 978-1-4419-3131-3。