フーコーの振り子
パリのパンテオンにあるフーコーの振り子

フーコーの振り子、あるいはフーコーの振り子は、フランスの物理学者レオン・フーコーにちなんで名付けられたシンプルな装置で、地球の自転を実証するための実験として考案されました。円形の空間の上の高い屋根から吊り下げられた長く重い振り子を長期間観察すると、地球が24時間ごとに自転するにつれて、振り子の振動面が自発的に変化するように見えます。この効果は極地で最大となり、緯度が低くなるにつれて減少し、地球の赤道では見られなくなります。

フーコーは1851年、地球の自転を単純かつ直接的に証明する最初の実験として振り子を導入し、1852年にはジャイロスコープを用いた実験でさらにそのことを証明しました。フーコーの振り子は科学博物館や大学で人気を博しています。[ 1 ]

歴史

フーコーの振り子の版画、1895年
COSIコロンバスのフーコー振り子がボールを倒す

フーコーは、旋盤の軸上にある細い柔軟な棒が旋盤の支持フレームの回転にもかかわらず同じ平面内で振動しているのを観察してインスピレーションを得た。[ 2 ]

フーコーの振り子が初めて公開されたのは、1851年2月、パリ天文台の子午線上でした。数週間後、フーコーは28キログラム（62ポンド）の真鍮で覆われた鉛の錘を、長さ67メートル（220フィート）のワイヤーで吊り下げ、パリのパンテオンのドームから、最も有名な振り子を製作しました。

振り子の位置の緯度は であったため、振り子の振れ面は約 で一周し、時計回りに1時間あたり約11.3°回転しました。振り子の固有周期は約 であったため、1回の振動で振り子は約 回転します。フーコーは、振り子の振れ角が1回の振動で2.3mm振れることを報告しており、これは振り子の振れ角が2.1°の場合に達成される値です。[ 2 ]ϕ＝48∘52′北{\displaystyle \phi =\mathrm {48^{\circ }52'N} }23h56′罪⁡ϕ≈31.8h（31h50メートル私n）{\textstyle {\frac {\mathrm {23h56'} }{\sin \phi }}\about \mathrm {31.8\,h} \;(\mathrm {31\,h\,50\,min} )}2πl/グラム≈16.5s{\textstyle 2\pi {\sqrt {l/g}}\approx 16.5\,\mathrm {s} }9.05×10−4r1つのd{\displaystyle 9.05\times 10^{-4}\mathrm {rad} }

フーコーは1851年に科学アカデミー紀要に掲載された「振り子による地球の自転運動の物理的実証」と題する論文の中で、この研究結果を説明した。彼は北極について次のように記している。[ 3 ]

...振り子の質量の振動運動は、その平面が周知の円弧を描き、物質の慣性によって空間における不変の位置が保証される。この振動が一定時間継続すると、西から東へ自転を続ける地球の運動は、振動面の不動性とは対照的に敏感になり、地上における振動面の軌跡は天球の見かけの運動と一致する動きで動いているように見える。そして、この振動が24時間継続すると、その平面の軌跡は、吊り下げ点の垂直投影の周りを一周することになる。

1851年にパンテオンで使用されたオリジナルのボブは、1855年にパリの国立工芸院に移されました。2つ目の仮設展示は、1902年の50周年記念に行われました。[ 4 ]

1990年代の博物館改築工事の間、オリジナルの振り子は一時的にパンテオン（1995年）に展示されたが、後に2000年に再開される前に工芸博物館に返還された。 [ 5 ] 2010年4月6日、工芸博物館で振り子の錘を吊るすケーブルが切れ、振り子の錘と博物館の大理石の床に修復不可能な損傷が発生した。[ 6 ] [ 7 ]損傷したオリジナルの振り子の錘は、現在の振り子の展示の隣にある別のケースに展示されている。

オリジナルの振り子の正確な複製は1995年からパリのパンテオンのドームの下で稼働している。[ 8 ]

機構

北半球におけるフーコー振り子のアニメーション。地球の自転速度と振幅は大幅に誇張されている。緑色の線は、振り子の重心が地面（回転する基準系）上を移動する軌跡を示しており、重心は対応する鉛直面内を移動する。実際の振り子面は地球に対して回転しているように見える。ブランコのように重心の上にまたがると、コリオリの仮想力は消え、観測者は「自由回転」基準にある。ワイヤーはできるだけ長くする必要があり、12～30メートル（40～100フィート）が一般的である。[ 9 ]
フーコー振り子のアニメーションですが、地上での軌道は初速度なしで打ち上げられた錘とは一致しません。
北極のフーコー振り子：地球が回転するにつれて、振り子は単一の平面内で振動する。
このアニメーションは、北緯30度におけるフーコー振り子の運動を表しています。振り子の振動面は1日で-180度回転し、2日後には元の方向に戻ります。

地理学的北極または地理学的南極のいずれにおいても、振り子の振動面は宇宙の遠方にある質量に対して固定されていますが、地球は振り子の下を自転しており、一回転するのに1恒星日かかります。したがって、地球を基準として、北極にある振り子の振動面（上空から見た場合）は1日で時計回りに完全に回転し、南極にある振り子は反時計回りに回転します。

フーコーの振り子が赤道上に吊り下げられている場合、振動面は地球に対して固定されたままです。他の緯度では、振動面は地球に対して歳差運動しますが、極よりも遅くなります。角速度ω （時計回りの度数で測定、恒星日あたり）は、緯度の正弦φに比例します。

ω＝360∘罪⁡φ /d1つのy、{\displaystyle \omega =360^{\circ }\sin \varphi \ /\mathrm {day} ,}

ここで、赤道の北緯と南緯はそれぞれ正と負と定義されます。「振り子日」とは、自由に吊り下げられたフーコー振り子の面が、その地表鉛直方向の見かけの回転を完了するのに必要な時間です。これは、1恒星日を緯度の正弦で割った値です。[ 10 ] [ 11 ]例えば、南緯30度にあるフーコー振り子は、地上の観測者から上空から見ると、2日間で反時計回りに360度回転します。

十分な長さのワイヤを使用することで、記述された円は、2 つの振動間の測定円に沿った接線方向の変位を目で確認できるほど広くなり、フーコー振り子は壮大な実験になります。たとえば、パンテオンにあるオリジナルのフーコー振り子は、6 メートルの振り子振幅で、周期ごとに約 5 mm ずつ円運動します。

フーコーの振り子は、不正確な構成によって余計な方向転換が生じ、地球の影響が隠れてしまう可能性があるため、設置には注意が必要です。ハイケ・カメルリング・オンネス（1913年のノーベル賞受賞者）は精密な実験を行い、博士論文（1879年）のためにフーコーの振り子のより完全な理論を展開しました。彼は、振り子が1時間で直線振動から楕円振動に移行するのを観察しました。摂動解析によって、彼はシステムの幾何学的な不完全性または支持ワイヤの弾性により、2つの水平振動モード間でうなりが生じる可能性があることを示しました。[ 12 ]振り子の最初の打ち上げも重要です。これを行う伝統的な方法は、一時的に振り子を最初の位置に保持する糸を炎で燃やすことで、不要な横方向の動きを防ぐことです（1902年の50周年記念式典での打ち上げの詳細を参照）。

注目すべきことに、振り子の方向転換は、ガリレオの弟子であるヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニによって 1661 年にすでに観察されていましたが、彼がその効果を地球の自転と関連づけた証拠はありません。むしろ、彼はそれを研究上の厄介な問題とみなし、おもりを 1 本ではなく 2 本のロープで吊るすことで克服すべき問題としていました。

空気抵抗は振動を減衰させるため、博物館に展示されているフーコー振り子の中には、振り子の振動を維持するために電磁力などの駆動装置を組み込んだものもあれば、定期的に再始動するものもあり、中には進水式が催されるなど、特別な催し物として行われるものもある。空気抵抗（重くて対称的な振り子を使用するのは、主に空気抵抗による摩擦力を低減するためである）に加えて、今日1メートルのフーコー振り子を製造する上でのもう一つの大きな技術的課題は、特定の方向への振動が起こらないようにすることだと言われている。[ 13 ]

ホイートストンによって記述された装置。

多くの物理系はフーコーの振り子と同様の歳差運動をする。スコットランドの数学者エドワード・サングは、1836年という早い時期に、回転するコマの歳差運動を考案し、説明した。[ 14 ] 1851年、チャールズ・ホイートストン[ 15 ]は、振動するバネを円盤上に取り付け、円盤に対して一定の角度φをなすようにした装置を説明した。バネは平面内で振動するように叩かれる。円盤を回転させると、振動面は緯度φにおけるフーコーの振り子のように変化する。

同様に、回転せず、完全にバランスの取れた自転車の車輪がディスク上に取り付けられ、その回転軸がディスクに対して角度φを成すとします。ディスクが時計回りに1回転しても、自転車の車輪は元の位置には戻らず、正味回転角2π sin φだけ回転します。

フーコーのような歳差運動は、異方性振動子[ 16 ]や、質量のない粒子が回転軸に対して傾斜した回転面上に留まるように制約された仮想システムでも観測される。 [ 17 ]

円軌道を運動する相対論的粒子のスピンは、フーコーの振り子の振り面と同様に歳差運動する。ミンコフスキー時空における相対論的速度空間は、虚半径と虚時間的座標を持つ4次元ユークリッド空間の球面S 3として扱うことができる。このような球面に沿った偏光ベクトルの平行移動はトーマス歳差運動を引き起こし、これは3次元ユークリッド空間における球面S 2に沿った平行移動によるフーコーの振り子の振り面の回転に類似している。[ 18 ]

物理学では、このようなシステムの発展は幾何学的位相によって決定される。[ 19 ] [ 20 ]数学的には平行移動を通じて理解される。

振り子の絶対参照フレーム

フーコーの振り子のような振り子の運動は、通常、慣性系を基準として解析され、この慣性系は「恒星」で近似されます。[ 21 ] これらの恒星は地球から非常に遠いため、短い時間スケールでは互いの相対運動が無視できるため、物理計算の実用的なベンチマークとなります。恒星は物理解析には十分ですが、絶対座標系の概念は哲学的および理論的な考察をもたらします。

ニュートン絶対空間

  • アイザック・ニュートンは「絶対空間」の存在を提唱した。これは、いかなる物質的対象からも独立した、普遍的で不動の基準系である。ニュートンは著書『プリンキピア・マテマティカ』の中で、絶対空間を真の運動が生じる背景として記述した。[ 22 ]
  • この概念はエルンスト・マッハなどの後代の思想家によって批判され、彼らは運動は宇宙の他の質量との相対関係でのみ定義されるべきだと主張した。[ 22 ]

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）

  • ビッグバンの残留放射であるCMBは、宇宙論的観測における普遍的な基準を提供しています。CMBを基準とした運動を測定することで、科学者は地球を含む天体の、宇宙の初期状態に対する速度を決定することができます。このことから、CMBは絶対基準系の現代版であると考える人もいます。[ 23 ]

マッハの原理と遠距離質量

  • エルンスト・マッハは、慣性は物体と宇宙の遠方の質量との相互作用から生じると提唱した。この見解によれば、振り子の基準系は抽象的な絶対空間ではなく、宇宙におけるすべての物質の分布によって定義される可能性がある。[ 22 ]
  • 「宇宙の遠方にある質量」は慣性系を定義する上で重要な役割を果たしており、振り子の見かけの運動はこれらの質量の集合的な重力効果によって影響を受ける可能性があることを示唆している。この視点は、局所的現象と宇宙的現象の相互関連性を強調するマッハの原理と一致する。[ 22 ] [ 23 ]
  • しかし、マッハの原理とアインシュタインの一般相対性理論との関連性は未だ解明されていない。アインシュタインは当初マッハの考えを取り入れたいと考えていたが、後にその困難さを認めた。[ 24 ]

一般相対性理論と時空

  • 一般相対性理論は、時空自体が基準系として機能し得ることを示唆している。振り子の運動は、近傍および遠方の質量の影響を受ける時空の曲率に相対的なものとして理解できるかもしれない。この見解は、曲がった時空における測地線の概念と整合する。[ 23 ]
  • 一般相対性理論の予測であるレンズ・サーリング効果[25]は、地球のような質量の大きい自転物体が時空をわずかに「引きずる」ことを示唆しており[26]、これが振り子の振動に影響を与える可能性がある。この効果は理論的には重要であるものの、現時点ではフーコー振り子で測定するには小さすぎる。

フーコー振り子の方程式の定式化

フーコーの振り子をモデル化するために、長さL、質量mの、微小振幅で振動する振り子を考える。地球と共に角速度 Ω で回転する基準系において、コリオリの力を考慮する必要がある。水平面 ( x , y ) における運動方程式は以下の通りである。

ר+ω02×＝2Ω罪⁡（φ）y˙、y¨+ω02y＝−2Ω罪⁡（φ）×˙、{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x&=2\Omega \sin(\varphi ){\dot {y}},\\{\ddot {y}}+\omega _{0}^{2}y&=-2\Omega \sin(\varphi ){\dot {x}},\end{aligned}}}

どこ：

  • ω0＝グラムL{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{L}}}}振り子の固有角周波数である。
  • φ{\displaystyle \varphi }緯度は
  • グラム{\displaystyle g}重力による加速度です。

これらの連立微分方程式は、地球の自転によるコリオリの力を考慮した振り子の運動を記述する。[ 27 ]

歳差速度の計算

振り子の振動面の歳差運動速度は緯度に依存します。角歳差運動速度は次のように表されます。 Ωp{\displaystyle \Omega_{p}}

Ωp＝Ω罪⁡（φ）、{\displaystyle \Omega _{p}=\Omega \sin(\varphi ),}

ここで地球の角回転速度（おおよそラジアン/秒）である。[ 28 ]Ω{\displaystyle \オメガ}7.2921×10−5{\displaystyle 7.2921\times 10^{-5}}

歳差運動周期の例

振り子の面が完全に 1 回転するのにかかる 時間は次のとおりです。Tp{\displaystyle T_{p}}

Tp＝2πΩp＝2πΩ罪⁡（φ）。{\displaystyle T_{p}={\frac {2\pi }{\Omega _{p}}}={\frac {2\pi }{\Omega \sin(\varphi )}}.}

特定の場所の計算:

  • フランス、パリ（緯度）：φ≈48.8566∘{\displaystyle \varphi \approx 48.8566^{\circ}}
Ωp＝Ω罪⁡（48.8566∘）≈7.2921×10−5×0.7547≈5.506×10−5ラジアン/秒、Tp＝2π5.506×10−5≈114、105秒≈31.7時間。{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{p}&=\Omega \sin(48.8566^{\circ })\approx 7.2921\times 10^{-5}\times 0.7547\\&\approx 5.506\times 10^{-5}\,{\text{ラジアン/秒}},\\T_{p}&={\frac {2\pi }{5.506\times 10^{-5}}}\approx 114,105\,{\text{秒}}\\&\approx 31.7\,{\text{時間}}.\end{aligned}}}[ 29 ]
  • アメリカ合衆国ニューヨーク市（緯度）：φ≈40.7128∘{\displaystyle \varphi \approx 40.7128^{\circ}}
Ωp＝Ω罪⁡（40.7128∘）≈7.2921×10−5×0.6523≈4.757×10−5ラジアン/秒、Tp＝2π4.757×10−5≈132、000秒≈36.7時間。{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{p}&=\Omega \sin(40.7128^{\circ })\approx 7.2921\times 10^{-5}\times 0.6523\\&\approx 4.757\times 10^{-5}\,{\text{radians/second}},\\T_{p}&={\frac {2\pi }{4.757\times 10^{-5}}}\approx 132,000\,{\text{seconds}}\\&\approx 36.7\,{\text{hours}}.\end{aligned}}}[ 30 ]

これらの計算により、振り子の歳差運動の周期は緯度によって変化し、緯度が高いほど早く一回転することが分かります。

設備

世界中の大学や科学博物館などにフーコーの振り子が数多く設置されている。ニューヨークの国連本部にある国連総会ビルにもフーコーの振り子が設置されている。オレゴン・コンベンション・センターの振り子は世界最大とされており、長さは約27メートル（89フィート）である[ 31 ] [ 32 ]。しかし、記事にはさらに大きな振り子も掲載されており、例えばコロラド大学のガモフ・タワーにある39.3メートル（129フィート）の振り子などがある。かつてはロシアのサンクトペテルブルクにある聖イサアク大聖堂にある98メートル（322フィート）の振り子など、はるかに長い振り子もあった[ 33 ] [ 34 ]。

この実験は南極でも行われ、地球の自転が最大の影響を及ぼすと想定された。[ 35 ] [ 36 ]アムンゼン・スコット南極基地で建設中の新基地の6階建ての階段に振り子が設置された。振り子の長さは33メートル（108フィート）、おもりの重さは25キログラム（55ポンド）だった。この場所は理想的な場所で、空気の運動によって振り子が乱されることはなかった。研究者たちは、振動面の自転周期が約24時間であることを確認した。

参照

参考文献

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さらに読む

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