相対論的角運動量

物理学において、相対論的角運動量とは、特殊相対論（SR）および一般相対論（GR）において角運動量を定義する数学的形式論および物理的概念を指す。この相対論的量は、古典力学における3次元量とは微妙に異なる。

角運動量は、位置と運動量から導かれる重要な力学量です。これは、物体の回転運動と、その回転変化に対する抵抗の尺度です。また、運動量保存則が並進対称性に対応するのと同様に、角運動量保存則は回転対称性に対応しています。対称性と保存則の関係は、ノイマンの定理によって示されます。これらの概念はもともと古典力学で発見されましたが、特殊相対論および一般相対論においても真であり、重要です。抽象代数学の観点から見ると、角運動量不変性、四元運動量、および時空におけるその他の対称性は、ローレンツ群、より一般的にはポアンカレ群によって記述されます。

古典物理学では独立して存在していた物理量は、相対性理論と一般相対性理論では相対性公理を強制することで自然に統合されます。特に注目すべきは、空間座標と時間座標が4元位置ベクトルに、エネルギーと運動量が4元運動量ベクトルに統合されることです。これらの4元ベクトルの成分は、使用される参照系に依存し、ローレンツ変換によって他の慣性系や加速系に変化します。

相対論的角運動量はそれほど明白ではありません。角運動量の古典的な定義は、位置xと運動量pの外積として擬似ベクトルx × pを得る、または外積として二次反対称テンソルx ∧ pを得ることです。これは、もし何かと組み合わされるのであれば、何と組み合わされるのでしょうか。あまり議論されない別のベクトル量があります。それは、システムの質量中心のブーストに関連する、時間で変化する質量モーメント極ベクトル（慣性モーメントではありません）です。これは、古典的な角運動量擬似ベクトルと組み合わされて、二次の反対称テンソルを形成します。これは、電場極ベクトルが磁場擬似ベクトルと組み合わされて電磁場反対称テンソルを形成するのとまったく同じです。点状粒子ではなく、回転する質量エネルギー分布（ジャイロスコープ、惑星、恒星、ブラックホールなど）の場合、角運動量テンソルは回転物体の 応力エネルギーテンソルで表されます。

特殊相対論のみでは、回転する物体の静止系には、量子力学および相対論的量子力学における「スピン」に類似した固有角運動量が存在するが、これは点粒子ではなく拡張された物体に対するものである。相対論的量子力学では、素粒子はスピンを持ち、これが軌道角運動量演算子への追加的な寄与となり、全角運動量テンソル演算子を生み出す。いずれにせよ、物体の軌道角運動量への固有の「スピン」の付加は、パウリ・ルバンスキー擬ベクトルで表される。^{[ 1 ]}

定義

瞬間的な3次元位置xと3次元運動量pを持つ質量mの粒子の、双ベクトル（平面要素）と軸ベクトルとしての3次元角運動量

軌道3D角運動量

参考と背景として、角運動量の密接に関連した 2 つの形式を示します。

古典力学では、瞬間的な3次元位置ベクトルx = ( x、y、z )と運動量ベクトルp = ( p _x、p _y、p _z )を持つ粒子の軌道角運動量は、直交座標方向の循環的な順列 によって体系的に与えられる3つの成分を持つ軸ベクトル として定義されます（例：x をyに変更、y をzに変更、zをxに変更、これを繰り返す）。 $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\,,\\L_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\,,\\L_{z}&=xp_{y}-yp_{x}\,.\end{aligned}}}$$

関連する定義として、軌道角運動量を平面要素として捉えるという方法がある。これは、外積を外積に置き換えることで実現でき、外積代数の言語では、角運動量は反変二階反対称テンソルとなる^{[ 2 ]。}$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} }$$

またはx = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = ( x , y , z )、運動量ベクトルp = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z )と書くと、各成分はテンソルのインデックス表記 で簡潔に省略することができ 、インデックスiとjはそれぞれ 1、2、3 という値を取る。一方、各成分は 3 × 3 の反対称行列で体系的に完全に表示することができる。$${\displaystyle L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&- L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

この量は加算的であり、孤立したシステムの場合、システムの全角運動量は保存されます。

動的質量モーメント

古典力学では、速度u ^{[ 2 ] [ 3 ]}で運動する質量mの粒子の3次元量は、質量モーメント-長さに質量を掛けた次元 を持ちます。これは、実験室系で測定された時間原点 ( t = 0 )における粒子または粒子系の質量に、空間原点から質量中心(COM) までの距離を掛けたものに等しくなります。この量には、普遍的な記号はおろか、普遍的な名前さえありません。著者によって、別の記号 (たとえばμ ) で表したり、別の名前を指定したり、N をここで使用されているものの負数として定義したりする場合もあります。上記の形式には、位置に関するよく知られたガリレイ変換に似ているという利点があり、これは慣性系間の非相対論的ブースト変換です。 $${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p} }$$

このベクトルも加法的である。粒子のシステムでは、ベクトルの和は システムの質量中心の位置と速度、および総質量がそれぞれ $${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\text{tot}}(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\sum _{n}m_{n}.\end{aligned}}}$$

孤立系の場合、Nは時間に関して保存されます。これは時間微分によって確認できます。角運動量Lは擬ベクトルですが、Nは「通常の」（極性）ベクトルであるため、逆変換に対して不変です。

多粒子系におけるN _totの結果として得られる物理的な視覚化は、すべての粒子の複雑な運動がどのようなものであっても、系の重心が直線的に動くように運動するというものです。これは必ずしもすべての粒子が重心に「追従する」という意味でも、すべての粒子がほぼ同時に同じ方向に動くという意味でもありません。粒子の集団運動が重心に対して制約されているという意味です。

特殊相対論において、粒子が実験系に対して 速度uで運動する場合、 はローレンツ因子 、mは粒子の質量（すなわち静止質量）で ある 。同じ実験系における m、u、p、Eに関する相対論的質量モーメントは、$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {u})m_{0}c^{2},&\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {u})m_{0}\mathbf {u} \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u} )(\mathbf {x} -\mathbf {u} t).}$$

直交座標成分は $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u)(x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\gamma (u)(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\gamma (u)(z-u_{z}t)\end{aligned}}}$$

特殊相対性理論

x方向のブーストのための座標変換

座標系F′が別の座標系 F に対して速度v = ( v , 0, 0 )で、一致するxx′軸の方向に沿って移動すると仮定する。2 つの座標系の原点は時刻t = t ′ = 0で一致する。物体の質量エネルギーE = mc ²と運動量成分p = ( p _x , p _y , p _z )、および座標系 F の位置座標x = ( x , y , z )と時刻tは、ローレンツ変換により、F′ではE ′ = m ′ c ²、p ′ = ( p _x ′, p _y ′, p _z ′)、x ′ = ( x ′, y ′, z ′)、t ′に変換される 。$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z'&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{aligned}}}$$

ここでのローレンツ因子は、フレーム間の相対速度である速度vに適用されます。これは必ずしも物体の 速度uと同じではありません。

擬ベクトルとしての 軌道3角運動量Lについては、$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\gamma (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{aligned}}}$$

導出

x成分については、 y成分 とz成分 $${\displaystyle L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}}$$

L _y ′とL _z ′の2番目の項では、外積v × Nのy成分とz成分は、 Nの成分とv _x = vおよびv _y = v _z = 0の循環置換を認識することによって推論できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{aligned}}}$$

ここで、L _{x は}相対速度vに平行であり、他の成分L _yとL _zはvに垂直である。平行・垂直対応は、各フレームにおいて、 3次元角運動量擬似ベクトル全体をvに平行（‖）と垂直（⊥）の成分に分割することで容易に実現できる。$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\parallel }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.}$$

そして、成分方程式は擬似ベクトル方程式にまとめられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}}$$

したがって、角運動量の運動方向に沿った成分は変化しませんが、垂直方向の成分は変化します。空間と時間の変換とは対照的に、時間と空間座標は運動方向に沿って変化しますが、垂直方向の成分は変化しません。

これらの変換は、 xx′軸に沿った動きだけでなく、すべてのvに当てはまります。

Lをテンソルとして 考えると、同様の結果が得られる 。 $${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}}$$

x方向の動的質量モーメントのブーストは $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y}'t'=\gamma (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z'-p_{z}'t'=\gamma (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\right)\\\end{aligned}}}$$

導出

x成分については、 y成分 とz成分 $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}}$$

これまでと同様に平行成分と垂直成分を集める $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf {N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}}$$

繰り返しますが、相対運動の方向に平行な成分は変化しませんが、垂直な成分は変化します。

あらゆる方向へのブーストのためのベクトル変換

ここまではベクトルの平行分解と垂直分解のみについて述べてきました。これらを用いて、ベクトル全体への変換を以下のように構築することができます（Lは具体性とベクトル代数との互換性のために擬ベクトルとして扱っています）。

v方向にn = v / vで与えられる単位ベクトルを導入する。平行成分はLまたはNをnに射影したベクトルで与えられ 、垂直成分はLまたはNをnからベクトル除去したベクトルで与えられ 、変換は v = v n を復元するか、 $${\displaystyle \mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

これらは電場Eと磁場Bのローレンツ変換と非常によく似ています。「古典電磁気学と特殊相対論」を参照してください。

あるいは、速度vのブーストに対する時間、空間、エネルギー、運動量のベクトル ローレンツ変換から始めて、これら を定義に挿入すると、 変換が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)\,,\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,&\mathbf {N} '&={\frac {E'}{c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '\end{aligned}}}$$

ベクトル変換の直接導出

各フレームの軌道角運動量は、 変換の外積を取るので $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}}$$

三重積の法則 を用いると、 N の定義と合わせて次の 式が得られる 。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]}$$

単位ベクトルnを復元すると、 $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]}$$

変換では左側にnとのクロス積がある ので 、 $${\displaystyle \mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\gamma -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+\beta \gamma c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\gamma (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )}$$

4次元角運動量を双ベクトルとして

相対論的力学では、回転する物体の重心のブーストと軌道3空間角運動量は、物体の4つの位置Xと4つの運動量Pの観点から4次元のバイベクトルに結合されます^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }$$

全部で6つの独立した量からなる成分である 。XとP の成分は座標系に依存するため、Mも座標系に依存する。3つの成分 は、よく知られている古典的な3次元軌道角運動量の成分であり、残りの3つは 相対論的質量モーメントに- c を乗じたものである。テンソルは反対称である。 $${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}$$ $${\displaystyle M^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=L^{ij}}$$ $${\displaystyle M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^{i}p^{0}=c\,\left(tp^{i}-x^{i}{\frac {E}{c^{2}}}\right)=-cN^{i}}$$ $${\displaystyle M^{\alpha \beta }=-M^{\beta \alpha }}$$

テンソルの成分は、 最後の配列がブロック行列である行列として体系的に表示できます。ブロック行列は、N を行ベクトルとして扱い、これを列ベクトルN ^Tに転置し、x ∧ pを3 × 3反対称行列として扱います。線は、ブロックの位置を示すために挿入されているだけです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}}$$

このテンソルも加法的です。つまり、システムの全角運動量は、システムの各構成要素の角運動量テンソルの合計です。 $${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{tot}}=\sum _{n}\mathbf {M} _{n}=\sum _{n}\mathbf {X} _{n}\wedge \mathbf {P} _{n}\,.}$$

6 つのコンポーネントはそれぞれ、他のオブジェクトやフィールドの対応するコンポーネントと集計されたときに保存量を形成されます。

角運動量テンソルM は実際にはテンソルであり、その成分はローレンツ変換行列 Λ に従って変化します。これは、通常のテンソル インデックス表記法で示されます。 ここで、正規化された速度β = v / c でのブースト (回転なし) の場合、ローレンツ変換行列の要素はであり 、 βの 共変β _i成分と反変β ⁱ成分は、単なるパラメーターであるため同じです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{\alpha \beta }&={X'}^{\alpha }{P'}^{\beta }-{X'}^{\beta }{P'}^{\alpha }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }X^{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }P^{\delta }-{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }X^{\delta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }P^{\gamma }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }\left(X^{\gamma }P^{\delta }-X^{\delta }P^{\gamma }\right)\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }M^{\gamma \delta }\\\end{aligned}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0}&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{j}\end{aligned}}}$$

言い換えれば、4 つの位置と 4 つの運動量を別々にローレンツ変換し、それらの新しく見つかった成分を反対称化して、新しいフレームの角運動量テンソルを取得することができます。

テンソル変換から導かれるベクトル変換

ブーストコンポーネントの変換は

$${\displaystyle {\begin{aligned}M'^{k0}&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{0}}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\\end{aligned}}}$$ 軌道角運動量に関しては $${\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{k\ell }&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{\ell }}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\end{aligned}}}$$

ローレンツ変換の項の式は 、ベクトル形式ではcで割るかβ = v / c を復元するか、 ベクトル表記の 擬似ベクトル形式に変換する か β = v / c を復元するかのいずれかで 与え られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {N} \right)-{\frac {1}{c}}\gamma {\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} }$$ $${\displaystyle \mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\right)\mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {N} \right)-\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {L} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{k\ell n}L'_{n}&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+\varepsilon ^{k\ell n}L_{n}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\left(\beta ^{\ell }\beta _{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}-\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{\ell in}L_{n}\right)\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma c{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\times ({\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {v} \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)}$$

剛体の回転

曲線上を運動する粒子の場合、角速度ω（擬似ベクトル）と位置xの外積は接線速度を与えます $${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }$$

SRでは質量を持つ物体の並進速度は光速cを超えることができないため、 cを超えることはできない。数学的にはこの制約は0 ≤ | u | < cであり、縦棒はベクトルの大きさを表す。ωとxの間の角度がθ（0でないと仮定する。そうでなければuは0となり、全く運動していないことになる）の場合、| u | = | ω | | x | sin θとなり、角速度は $${\displaystyle 0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}}$$

したがって、質量を持つ物体の最大角速度は物体の大きさに依存します。与えられた| x |に対して、 ωとxが垂直になり、θ = π /2、sin θ = 1となるとき、最小の上限が生じます。

角速度ωで回転する剛体の場合、uは物体内部の点xにおける接線速度です。物体内の各点には、最大角速度が存在します。

角速度（擬似ベクトル）は、慣性モーメントテンソルI （点・は一方の添え字におけるテンソル収縮を表す）を介して角運動量（擬似ベクトル）と関連している。相対論的角運動量は物体の大きさによっても制限される。 $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_{ij}\omega _{j}}$$

特殊相対論におけるスピン

四スピン

粒子は、その運動とは独立して、スピンと呼ばれ、 sと表記される「組み込み」角運動量を持つことがあります。 これは、軌道角運動量Lのような3次元擬似ベクトルです

スピンには対応するスピン磁気モーメントがあるため、粒子が相互作用（電磁場やスピン軌道結合など）の影響を受けると、粒子のスピン ベクトルの方向は変化しますが、その大きさは一定になります。

特殊相対論への拡張は簡単である。^{[ 6 ]}ある実験系F に対して、 F′ を粒子の静止系とし、粒子が一定の 3 次元速度uで運動するとする。すると F′ は同じ速度で加速され、ローレンツ変換は通常どおり適用される。β = u / cを使用する方が便利である。特殊相対論における4次元ベクトルとして、 4 次元スピンSは一般に、実験系で は時間的要素s _tと空間的要素sを持つ通常の 4 次元ベクトルの形をとる が、粒子の静止系では時間的要素がゼロで空間的要素が粒子の実際のスピンベクトルの要素となるように定義され、ここでの表記はs ′ であるため、粒子の系では $${\displaystyle \mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z})}$$ $${\displaystyle \mathbf {S} '\equiv \left({S'}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\right)=\left(0,s_{x}',s_{y}',s_{z}'\right)}$$

ノルムを等しくすると不変関係が導かれるため 、スピンの大きさが粒子の静止フレームと観測者の実験フレームで与えられる場合、時間的成分s _tの大きさも実験フレームで与えられます。 $${\displaystyle s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '}$$

テンソル変換から導かれるベクトル変換

実験フレームに対する4つのスピンのブーストされた成分は $${\displaystyle {\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}}$$

ここでγ = γ ( u )です。S ′は粒子の静止系にあるため、その時間的成分はゼロ、つまりS ′ ⁰ = 0であり、S ^{0ではありません。また、最初の式は4元速度（} cで割ったもの）と4元スピン の内積に相当します。これらの事実を組み合わせると 、不変量である次の式が得られます。次に、これを時間的成分の変換と組み合わせると、実験系における知覚される成分が得られます。 $${\displaystyle {S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$$ $${\displaystyle S^{0}=\beta _{i}S^{i}}$$

逆の関係は $${\displaystyle {\begin{aligned}S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^{j}+\gamma \beta ^{i}{S'}^{0}\end{aligned}}}$$

スピンに対する共変制約は速度ベクトルに直交する。 $${\displaystyle U_{\alpha }S^{\alpha }=0}$$

明示的な3ベクトル表記では、変換は $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}}$$

逆関係は 、実験系におけるスピンの成分であり、粒子の静止系における成分から計算されます。粒子のスピンは特定の粒子に対して一定ですが、実験系では異なるように見えます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}}$$

パウリ・ルバンスキー擬ベクトル

パウリ・ルバンスキー擬ベクトルは 、 質量のある粒子と質量のない粒子の両方に適用されます$${\displaystyle S_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$$

スピン軌道分解

一般に、全角運動量テンソルは軌道成分とスピン成分に分割されます。 これは、粒子、質量・エネルギー・運動量分布、または場に適用されます。 $${\displaystyle J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.}$$

質量・エネルギー・運動量分布の角運動量

質量・エネルギー・運動量テンソルからの角運動量

以下はMTWからの要約である。^{[ 7 ]}簡潔にするため、全体を通して直交座標系を仮定する。特殊相対論および一般相対論では、流体や恒星などの質量・エネルギー・運動量の分布は、応力エネルギーテンソルT ^βγ （空間と時間に依存する2次テンソル場）によって記述される。T 00^はエネルギー密度、j = 1, 2, 3に対するT ^{j 0}は物体の単位体積あたりの3次元運動量のj番目の成分、そしてT ^{ij は}せん断応力と法線応力を含む応力テンソルの成分を形成するため、位置4ベクトルX ^βの周りの軌道角運動量密度は3次テンソルで与えられる。 $${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left(X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha }\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta }-{\bar {X}}^{\beta }\right)T^{\alpha \gamma }}$$

これはαとβに関して反対称である。特殊相対論および一般相対論ではTは対称テンソルであるが、他の文脈（例えば量子場の理論）ではそうではない場合がある。

Ω を4次元時空の領域とする。境界は3次元時空超曲面（「空間表面積」ではなく「時空表面体積」）であり、∂Ω と表記される。ここで「∂」は「境界」を意味する。3次元時空超曲面上で角運動量密度を積分すると、X に関する角運動量テンソルが得られる。 ここで、dΣ _{γは、通常の3次元ユークリッド空間において2次元曲面に垂直な}単位ベクトルの役割を果たす体積1形式である。積分は座標X （すなわちY ）上で行われる。一定時間の時空的表面内での積分は、 これらが集合的に角運動量テンソルを形成する。 $${\displaystyle M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }d\Sigma _{\gamma }}$$ $${\displaystyle M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\,dy\,dz}$$

重心の周りの角運動量

重心系には固有の角運動量、つまり 物体の重心のワードライン上のあらゆる事象に関する角運動量が存在する。T ^{00 は}物体のエネルギー密度であるため、重心の空間座標は次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0},X_{\text{COM}}^{1},X_{\text{COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)}$$ $${\displaystyle X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz}$$

Y = X _COMに設定すると、物体の質量中心の周りの軌道角運動量密度が得られます。

角運動量保存

エネルギー運動量保存則は、連続方程式 によって微分形式で与えられます 。ここで、_∂γは4次勾配です。（非直交座標系と一般相対論では、これは共変微分に置き換えられます。）全角運動量保存則は、別の連続方程式によって与えられます $${\displaystyle \partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0}$$ $${\displaystyle \partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0}$$

積分方程式は時空における ガウスの定理を用いる$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}}$$

特殊相対論におけるトルク

点状粒子に作用するトルクは、上記角運動量テンソルの固有時間に関する微分として定義される。^{[ 8 ] [ 9 ]} またはテンソル成分では次のように定義される。 ここで、Fは事象Xにおいて粒子に作用する4次元の力である。角運動量と同様に、トルクは加法的であるため、拡張された物体の場合は質量分布にわたって合計または積分する。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }$$ $${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}$$

時空のブーストと回転のジェネレータとしての角運動量

角運動量テンソルは、ローレンツ群のブーストと回転を生成する。^{[ 10 ] [ 11 ]}ローレンツブーストは、ラピディティとブーストの方向を指す3次元単位ベクトルnでパラメータ化でき、これらを合わせて「ラピディティベクトル」となる。 ここで、β = v / cは相対運動の速度を光速で割った値である。空間回転は、軸-角度表現、角度θ 、および軸の方向を指す単位ベクトルaでパラメータ化でき、これらを合わせて「軸-角度ベクトル」となる。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta }$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a} }$$

各単位ベクトルは2つの独立成分のみを持ち、3つ目の成分は単位ベクトルの大きさから決定されます。ローレンツ群には合計6つのパラメータがあり、回転に3つ、ブーストに3つです。（同次）ローレンツ群は6次元です。

ブースト生成器Kと回転生成器Jは、ローレンツ変換のための一つの生成器に統合することができる。Mは反対称角運動量テンソルであり、その成分は それぞれ以下の通りである。ブーストおよび回転パラメータは、別の反対称4次元行列ωにまとめられ、その要素は以下の通りである。 ここで、重複するインデックスi、j、kに対する総和規則は、総和の符号が不自然になるのを防ぐため用いられている。一般的なローレンツ変換は行列指数で与えられ、この総和規則は重複する行列インデックスαおよびβ にも適用されている。 $${\displaystyle M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.}$$ $${\displaystyle \omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\,,}$$ $${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)}$$

一般ローレンツ変換Λは、任意の4元ベクトルA = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ )に対する変換則であり、この同じ4元ベクトルの成分を別の慣性座標系で表す。 $${\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A} }$$

角運動量テンソルはポアンカレ群の 10 個の生成元のうち 6 個を形成し、残りの 4 個は時空変換の 4 元運動量の成分です。

一般相対論における角運動量

緩やかに曲がった背景における試験粒子の角運動量は一般相対論ではより複雑ですが、簡単に一般化できます。ラグランジアンを一般化座標として角変数に関して表すと、角運動量はラグランジアンの角速度に関する関数微分です。直交座標系で表すと、これらは通常、応力エネルギーテンソルの空間的部分の非対角せん断項によって与えられます。時空が円に接するキリングベクトル場を支持する場合、軸の周りの角運動量は保存されます。

コンパクトな回転質量が周囲の時空に与える影響を研究したいという要望もある。その原型的な解はカー計量であり、これは軸対称ブラックホールの周囲の時空を記述する。カーブラックホールの事象の地平線上に点を描き、それが回転するのを見ることは明らかに不可能である。しかし、この解は、数学的には角運動量と同様に振舞う系の定数を支持する。

重力波が存在する一般相対論において、漸近平坦時空における漸近対称群は、特殊相対論で期待される10次元ポアンカレ群ではなく、1962年にボンディ、ファン・デル・バーグ、メッツナー、サックスによって定式化された無限次元群、いわゆるBMS群である。BMS群は、超並進と呼ばれる4つの時空並進の無限のスーパーセットを含む。半世紀にわたる研究にもかかわらず、「超並進の曖昧さ」に関する困難は、重力波によって運ばれる角運動量のような基本的な概念において依然として残っていた。2020年には、様々な研究者によって、角運動量の超並進不変な新しい定義が定式化され始めた。一般相対論における角運動量やその他のローレンツ電荷の超並進不変性は、依然として活発な研究分野である。^{[ 12 ]}

参照

• トーマス歳差運動 - 相対論的補正
• 光の角運動量 - 光子が運ぶ物理量
• 一般相対性理論における二体問題
• 相対論的力学 – 光速に近い物体の運動と力の理論
• マティソン・パパペトルー・ディクソン方程式 – 一般相対性方程式

参考文献

1. 、 KKAウーレンベック（1995年）。『幾何学と量子場の理論（第2版）』。高等研究所（ニュージャージー州プリンストン）：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-8683-5。
2. R. ペンローズ (2005). 『現実への道』 . ヴィンテージブックス. 433ページ. ISBN 978-0-09-944068-0。ペンローズはウェッジ積に2の因数を含めていますが、他の著者も同様に含めている可能性があります
3. M. Fayngold (2008).特殊相対性理論とその仕組み. John Wiley & Sons . p. 138. ISBN 978-3-527-40607-4。
4. R. ペンローズ( 2005). 『現実への道』 . ヴィンテージブックス.  437–438 , 566–569ページ. ISBN 978-0-09-944068-0。注:時空内のベクトルとテンソルにはギリシャ語のインデックスを使用するのが一般的ですが、ペンローズを含む一部の著者は、この定義ではラテン文字を使用しています。
5. M. Fayngold (2008).特殊相対性理論とその仕組み. John Wiley & Sons. pp.  137– 139. ISBN 978-3-527-40607-4。
6. JD Jackson (1975) [1962]. 「第11章」 .古典電気力学（第2版）. John Wiley & Sons . pp.  556–557 . ISBN 0-471-43132-X。ジャクソン記法：S（Fにおけるスピン、実験系）、s（F′におけるスピン、粒子の静止系）、S ⁰（実験系における時間的成分）、S′ ⁰ = 0（粒子の静止系における時間的成分）、4次元スピンを4次元ベクトルとして表す記号なし
7. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). 『重力』 WH Freeman & Co. pp.  156– 159, §5.11. ISBN 0-7167-0344-0。
8. S. Aranoff (1969). 「特殊相対論における平衡系におけるトルクと角運動量」 . American Journal of Physics . 37 (4): 453–454 . Bibcode : 1969AmJPh..37..453A . doi : 10.1119/1.1975612この著者はトルクを表すためにT を使用していますが、 Tはほとんどの場合応力エネルギーテンソルを表すために予約されているため、ここでは大文字のガンマΓを使用しています。
9. S. Aranoff (1972). 「特殊相対論における平衡」(PDF) . Nuovo Cimento . 10 (1): 159. Bibcode : 1972NCimB..10..155A . doi : 10.1007/BF02911417 . S2CID 117291369.オリジナル(PDF)から2012年3月28日にアーカイブ. 2013年10月27日閲覧。 
10. E. Abers (2004).量子力学. アディソン・ウェスレー. pp. 11, 104, 105, 410–411 . ISBN 978-0-13-146100-0。
11. HL Berk、K. Chaicherdsakul、T. Udagawa (2001). 「適切な同次ローレンツ変換演算子e ^L = e ^{− ω​​ · S − ξ · K}、それはどこに向かうのか、何がひねりなのか」(PDF) . American Journal of Physics . 69 (996). doi : 10.1119/ 1.1371919
12. R. Javadinezhad; M. Porrati (2024). 「角運動量フラックスの共変性と超並進不変性を持つ3つのパズルとその解答」 . Physical Review Letters . 132 (15) 151604. arXiv : 2312.02458 . Bibcode : 2024PhRvL.132o1604J . doi : 10.1103/PhysRevLett.132.151604 . PMID 38683011. 2025年2月25日閲覧。 

• C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado; E. Okon (2009). 「特殊および一般相対論における質量中心と時空の有効な記述におけるその役割」. J. Phys. Conf. Ser . 174 (1) 012026. メキシコ. arXiv : 0901.3349 . Bibcode : 2009JPhCS.174a2026C . doi : 10.1088/1742-6596/174/1/012026 . S2CID  17734387 .
• UEシュローダー（1990年）特殊相対論 物理学講義ノートシリーズ 第33巻 ワールドサイエンティフィック p.139 ISBN 981-02-0132-X。

さらに詳しく

特殊相対性理論

• R. Torretti (1996). 『相対性理論と幾何学』 . ドーバー物理学シリーズ. クーリエ・ドーバー出版. ISBN 0-486-69046-6。

一般相対性理論

• N. アシュビー、DF バートレット、W. ワイス (1990)。『一般相対性理論と重力 1989：第12回一般相対性理論と重力国際会議議事録』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-38428-1。
• L. ブランシェット、A. スパリッチ、B. ホワイティング (2011).一般相対論における質量と運動. 物理学の基礎理論. 第162巻. シュプリンガー. p. 87. ISBN 978-90-481-3015-3。
• M. Ludvigsen (1999).一般相対性理論：幾何学的アプローチ.ケンブリッジ大学出版局. p. 77. ISBN 0-521-63976-X。
• BL Hu、MP Ryan、CV Vishveshwara編 (2005)。一般相対性理論の方向性：第1巻：1993年メリーランド国際シンポジウム議事録。一般相対性理論の方向性：1993年メリーランド国際シンポジウム議事録：チャールズ・ミスナー記念論文集。第1巻。ケンブリッジ大学出版局。347ページ。ISBN 0-521-02139-1。
• A. パパペトロウ (1974).一般相対性理論講義. シュプリンガー. ISBN 90-277-0514-3。

外部リンク

• N. Menicucci (2001). 「相対論的角運動量」(PDF )
• 「特殊相対性理論」（PDF） 。 2013年11月4日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2013年10月30日閲覧。
• M. Wang (2023). 「一般相対論における角運動量と超並進」. arXiv : 2303.02424 [ gr-qc ].