フレシェ代数

数学、特に関数解析 において、モーリス・ルネ・フレシェにちなんで名付けられたフレシェ代数は、実数または複素数上の結合代数であり、同時に（局所凸）フレシェ空間でもある。に対する乗算は、 と共連続であることが求められる。が の位相に対する半ノルムの増加族^[a]である場合、乗算の共連続性は、すべての に対して となる定数と整数がそれぞれに存在することと同値である。^{[b]フレシェ代数は}B ₀代数とも呼ばれる。^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (a,b)\mapsto a*b}$ ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle \{\|\cdot \|_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{n}>0}$ ${\displaystyle m\geq n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\|ab\right\|_{n}\leq C_{n}\left\|a\right\|_{m}\left\|b\right\|_{m}}$ ${\displaystyle a,b\in A}$

フレシェ代数が凸であるとは、となるような半ノルムの族が存在する場合である。その場合、半ノルムを再スケールすることにより、それぞれ に対してをとることもでき、半ノルムは未満乗法的であると言われる。すべての^[c]に対して、凸フレシェ代数はフレシェ代数とも呼ばれる。^[2]${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle C_{n}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \|ab\|_{n}\leq \|a\|_{n}\|b\|_{n}}$ ${\displaystyle a,b\in A.}$ ${\displaystyle m}$

フレシェ代数は単位元を持つ場合と持たない場合があります。が単位元である場合、バナッハ代数の場合のように単位元を持つことは要求されません。 ${\displaystyle 1_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|1_{A}\|_{n}=1,}$

プロパティ

• 乗法の連続性。乗法は、 のフレシェ位相に収束する任意の列とに対して、 かつとなる場合、別々に連続である。乗法は、かつとなる場合、共線的に連続である。乗法の共線的連続性は、フレシェ代数の定義の一部である。代数構造を持つフレシェ空間において、乗法が別々に連続であれば、自動的に共線的に連続する。^[3]${\displaystyle a_{k}b\to ab}$ ${\displaystyle ba_{k}\to ba}$ ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle a_{k}\to a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{k}\to a}$ ${\displaystyle b_{k}\to b}$ ${\displaystyle a_{k}b_{k}\to ab}$
• 可逆元の群。が の可逆元の集合であるとき、逆写像 が連続となるのは、 が集合である場合に限ります。^[4]バナッハ代数とは異なり、は開集合ではない可能性があります。が開集合である場合、 は-代数と呼ばれます。( が非ユニタルである場合は、^[d]にユニットを付加してを扱うか、 の代わりに準可逆集合^[e]を使用することができます。)${\displaystyle invA}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\begin{cases}invA\to invA\\u\mapsto u^{-1}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle invA}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$ ${\displaystyle invA}$ ${\displaystyle invA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle invA^{+}}$ ${\displaystyle invA}$
• -凸性の条件。${\displaystyle m}$ フレシェ代数が-凸であるための必要十分条件。任意の に対してであり、1 つの に対してを位相化する半ノルムの増加族であり、各 に対して が存在して、すべての および に対してとなる。^[5]可換フレシェ代数は-凸であるが、^[6]非可換フレシェ代数で-凸ではない例も存在する。^[7]${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \{\|\cdot \|_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p\geq m}$ ${\displaystyle C_{m}>0}$ $${\displaystyle \|a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\|_{m}\leq C_{m}^{n}\|a_{1}\|_{p}\|a_{2}\|_{p}\cdots \|a_{n}\|_{p},}$$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle m}$
• -凸フレシェ代数の性質${\displaystyle m}$ 。フレシェ代数が-凸であることと、それがバナッハ代数の可算射影極限であることは同値である。 ^[8]の元が可逆であることと、その射影極限の各バナッハ代数におけるその像が可逆であることは同値である。^{[f] [9] [10]}${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$

例

• ゼロ乗算。が任意のフレシェ空間である場合、すべての に対してと設定することでフレシェ代数構造を作成できます。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e*f=0}$ ${\displaystyle e,f\in E}$
• 円上の滑らかな関数。 を1 次元球面とします。これは境界 を持たない1次元のコンパクト微分可能多様体です。を 上の無限に微分可能な複素数値関数の集合とします。これは明らかに、点ごとの乗算のための複素数上の代数です。(微分 の積の法則を使用します。) これは可換であり、定数関数 は恒等関数として機能します。 による上の可算なセミノルムのセミノルム集合を定義します。ここでは番目の導関数の絶対値の上限を表します。^[g]すると、微分の積の法則により、次の式が得られます。ここで は二項係数を表し、で再スケーリングすると、ダッシュ付きのセミノルムは乗法的になります。${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle A=C^{\infty }(S^{1})}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \left\|\varphi \right\|_{n}=\left\|\varphi ^{(n)}\right\|_{\infty },\qquad \varphi \in A,}$$ $${\displaystyle \left\|\varphi ^{(n)}\right\|_{\infty }=\sup _{x\in {S^{1}}}\left|\varphi ^{(n)}(x)\right|}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi ^{(n)}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\|\varphi \psi \|_{n}&=\left\|\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\varphi ^{(i)}\psi ^{(n-i)}\right\|_{\infty }\\&\leq \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\|\varphi \|_{i}\|\psi \|_{n-i}\\&\leq \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\|\varphi \|'_{n}\|\psi \|'_{n}\\&=2^{n}\|\varphi \|'_{n}\|\psi \|'_{n},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}},}$$ $${\displaystyle \|\cdot \|'_{n}=\max _{k\leq n}\|\cdot \|_{k}.}$$ ${\displaystyle C_{n}=2^{n}}$
• 上の数列。${\displaystyle \mathbb {N} }$ 自然数上の複素数列の空間を とする。によって上の半ノルムの増加族を定義する。点ごとの乗法を用いると、は可換なフレシェ代数となる。実際、各半ノルムは に対して部分乗法的である。この-凸フレシェ代数は、定数列が に含まれるため、単位的である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$ $${\displaystyle \|\varphi \|_{n}=\max _{k\leq n}|\varphi (k)|.}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \|\varphi \psi \|_{n}\leq \|\varphi \|_{n}\|\psi \|_{n}}$ ${\displaystyle \varphi ,\psi \in A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 1(k)=1,k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A}$
• コンパクト集合上の一様収束の位相と点ごとの乗算を備えた は、複素平面上のすべての連続関数の代数、または上の正則関数の代数になります。${\displaystyle C(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {Hol} (\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 有限生成離散群上の急速に消失する関数の畳み込み代数。 を離散位相 を持つ有限生成群とします。これは、次を満たす有限個の元の集合が存在することを意味します。の単位元が に含まれているによって関数を定義します次にを定義するので、なります。 ^[h]を-ベクトル空間とし、半ノルムが によって定義されるもの^とし[i]は畳み込み乗算の -凸フレシェ代数です^[j]は離散的であるため単位的であり、 がアーベルの場合にのみ可換です。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U=\{g_{1},\dots ,g_{n}\}\subseteq G}$ $${\displaystyle \bigcup _{n=0}^{\infty }U^{n}=G.}$$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ell :G\to [0,\infty )}$ $${\displaystyle \ell (g)=\min\{n\mid g\in U^{n}\}.}$$ ${\displaystyle \ell (gh)\leq \ell (g)+\ell (h)}$ ${\displaystyle \ell (e)=0}$ ${\displaystyle U^{0}=\{e\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle S(G)={\biggr \{}\varphi :G\to \mathbb {C} \,\,{\biggl |}\,\,\|\varphi \|_{d}<\infty ,\quad d=0,1,2,\dots {\biggr \}},}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{d}}$ $${\displaystyle \|\varphi \|_{d}=\|\ell ^{d}\varphi \|_{1}=\sum _{g\in G}\ell (g)^{d}|\varphi (g)|.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \varphi *\psi (g)=\sum _{h\in G}\varphi (h)\psi (h^{-1}g),}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$
• 非凸フレシェ代数。${\displaystyle m}$ アレン代数は、不連続反転を持つ可換非凸フレシェ代数の一例である。位相はノルムによって与えられ、乗法は上のルベーグ測度に関する関数の畳み込みによって与えられる。^[11]$${\displaystyle A=L^{\omega }[0,1]=\bigcap _{p\geq 1}L^{p}[0,1]}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{0}^{1}|f(t)|^{p}dt\right)^{1/p},\qquad f\in A,}$$ ${\displaystyle [0,1]}$

一般化

代数が局所凸であるという条件は無視できるが、それでも完備距離空間であることは変わりない。この場合、基礎空間はフレシェ空間^[12]またはF空間^[13]と呼ばれる。

半ノルムの数が可算であるという要件がなくなると、代数は局所凸（LC）または局所乗法的凸（LMC）になる。^[14]完全なLMC代数はアレンズ・マイケル代数と呼ばれる。^[15]

マイケルの予想

凸フレシェ代数上のすべての線形乗法関数が連続であるかどうかという問題は、マイケル予想として知られています。^[16]この予想は、おそらく位相代数理論における 最も有名な未解決問題です。${\displaystyle m}$

注記

1. 家族が増えるということは、${\displaystyle a\in A,}$

   ${\displaystyle \|a\|_{0}\leq \|a\|_{1}\leq \cdots \leq \|a\|_{n}\leq \cdots }$ 。

2. 乗法の同時連続性とは、零点の絶対凸近傍のすべてに対して、半ノルム不等式が従う 零点の絶対凸近傍が存在することを意味する。逆に、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{2}\subseteq V,}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\|a_{k}b_{k}-ab\|_{n}\\&=\|a_{k}b_{k}-ab_{k}+ab_{k}-ab\|_{n}\\&\leq \|a_{k}b_{k}-ab_{k}\|_{n}+\|ab_{k}-ab\|_{n}\\&\leq C_{n}{\biggl (}\|a_{k}-a\|_{m}\|b_{k}\|_{m}+\|a\|_{m}\|b_{k}-b\|_{m}{\biggr )}\\&\leq C_{n}{\biggl (}\|a_{k}-a\|_{m}\|b\|_{m}+\|a_{k}-a\|_{m}\|b_{k}-b\|_{m}+\|a\|_{m}\|b_{k}-b\|_{m}{\biggr )}.\end{aligned}}}$

3. 言い換えれば、-凸フレシェ代数は位相代数であり、その位相は部分乗法半ノルムの可算な族によって与えられ、代数は完全である。${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p(fg)\leq p(f)p(g),}$
4. が体上の代数である場合、の単位化は直和であり、乗法は次のように定義される。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\oplus k1}$ ${\displaystyle (a+\mu 1)(b+\lambda 1)=ab+\mu b+\lambda a+\mu \lambda 1.}$
5. の場合、 はの準逆です。${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+b-ab=0}$
6. が非ユニタルの場合、可逆を準可逆で置き換えます。${\displaystyle A}$
7. 完全性を確認するために、 をコーシー列とします。すると、各導関数はの超ノルムのコーシー列となり、したがって上の連続関数に一様収束します。 が の 番目の導関数であることを確認しれば十分です。しかし、微積分学の基本定理を用い、積分内部の極限（一様収束を使用）をとると、 次式が得られます。${\displaystyle \varphi _{k}}$ ${\displaystyle \varphi _{k}^{(l)}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \psi _{l}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \psi _{l}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\psi _{l}(x)-\psi _{l}(x_{0})\\=&{}\lim _{k\to \infty }\left(\varphi _{k}^{(l)}(x)-\varphi _{k}^{(l)}(x_{0})\right)\\=&{}\lim _{k\to \infty }\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{k}^{(l+1)}(t)dt\\=&{}\int _{x_{0}}^{x}\psi _{l+1}(t)dt.\end{aligned}}}$

8. 生成集合を に置き換えると となる。すると は追加の性質 を満たし、 は上の長さ関数となる。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\cup U^{-1}}$ ${\displaystyle U=U^{-1}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell (g^{-1})=\ell (g)}$ ${\displaystyle G}$
9. がフレシェ空間である ことを確認するために、をコーシー列とします。すると、各 に対して、は におけるコーシー列となります。 を極限と定義します。すると、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \varphi _{n}(g)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi (g)}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi (g)|\\&\leq \sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi _{m}(g)|+\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{m}(g)-\varphi (g)|\\&\leq \|\varphi _{n}-\varphi _{m}\|_{d}+\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{m}(g)-\varphi (g)|,\end{aligned}}}$

   ここで、和は の任意の有限部分集合にわたって変化する。とし、 がに対してとなるものとする。 を とすると、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\epsilon }>0}$ ${\displaystyle \|\varphi _{n}-\varphi _{m}\|_{d}<\epsilon }$ ${\displaystyle m,n\geq K_{\epsilon }}$ ${\displaystyle m}$

   ${\displaystyle \sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi (g)|<\epsilon }$

   について。 を全て足し合わせると、についてとなる。推定値によれば、 ${\displaystyle n\geq K_{\epsilon }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \left\|\varphi _{n}-\varphi \right\|_{d}<\epsilon }$ ${\displaystyle n\geq K_{\epsilon }}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi (g)|\\&{}\leq \sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)-\varphi (g)|+\sum _{g\in S}\ell (g)^{d}|\varphi _{n}(g)|\\&{}\leq \|\varphi _{n}-\varphi \|_{d}+\|\varphi _{n}\|_{d},\end{aligned}}}$

   を得る。これは各 に対して成り立つので、フレシェ位相においてと が成り立ち、したがって は完全である。${\displaystyle \|\varphi \|_{d}<\infty }$ ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \varphi \in A}$ ${\displaystyle \varphi _{n}\to \varphi }$ ${\displaystyle A}$

10. ${\displaystyle {\begin{aligned}&\|\varphi *\psi \|_{d}\\&\leq \sum _{g\in G}\left(\sum _{h\in G}\ell (g)^{d}|\varphi (h)|\left|\psi (h^{-1}g)\right|\right)\\&\leq \sum _{g,h\in G}\left(\ell (h)+\ell \left(h^{-1}g\right)\right)^{d}|\varphi (h)|\left|\psi (h^{-1}g)\right|\\&=\sum _{i=0}^{d}{d \choose i}\left(\sum _{g,h\in G}\left|\ell ^{i}\varphi (h)\right|\left|\ell ^{d-i}\psi (h^{-1}g)\right|\right)\\&=\sum _{i=0}^{d}{d \choose i}\left(\sum _{h\in G}\left|\ell ^{i}\varphi (h)\right|\right)\left(\sum _{g\in G}\left|\ell ^{d-i}\psi (g)\right|\right)\\&=\sum _{i=0}^{d}{d \choose i}\|\varphi \|_{i}\|\psi \|_{d-i}\\&\leq 2^{d}\|\varphi \|'_{d}\|\psi \|'_{d}\end{aligned}}}$

引用

1. ミティアギン、ロレヴィッツ、ジェラズコ、1962年。ジェラスコ 2001。
2. フセイン 1991; ジェラスコ 2001.
3. Waelbroeck 1971、第7章、命題1；Palmer 1994、2.9 。${\displaystyle \S }$
4. Waelbroeck 1971、第7章、命題2。
5. Mitiagin、Rolewicz & Żelazko 1962、補題 1.2。
6. ジェラズコ 1965、定理 13.17。
7. ジェラズコ、1994 年、283–290 ページ。
8. Michael 1952、定理5.1。
9. Michael 1952、定理5.2。
10. Palmer 1994、定理2.9.6も参照。
11. Fragoulopoulou 2005、例6.13（2）。
12. ワエルブローク 1971.
13. ルディン1973、1.8(e)。
14. マイケル1952; フセイン1991。
15. Fragoulopoulou 2005、第1章。
16. マイケル 1952, 12, 質問1; パーマー 1994, 3.1${\displaystyle \S }$ ${\displaystyle \S }$

出典

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• マイケル、アーネスト A. (1952).局所的に乗法的に凸な位相代数. アメリカ数学会報. 第11巻. MR  0051444.
• ミティアギン、B.ロレウィッツ、S.ジェラスコ、W. (1962)。 「B0代数の関数全体」。ステューディア マセマティカ。21 (3): 291–306。土井: 10.4064/sm-21-3-291-306。MR  0144222。
• パーマー, TW (1994).バナッハ代数と*-代数の一般理論 第1巻：代数とバナッハ代数. 数学とその応用百科事典 第49巻. ニューヨーク市: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-052136637-3。
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• Waelbroeck, Lucien (1971).位相ベクトル空間と代数. 数学講義ノート. 第230巻. doi :10.1007/BFb0061234. ISBN 978-354005650-8. MR  0467234。
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• Żelazko, W. (2001) [1994]. 「フレシェ代数」.数学百科事典. EMS Press.