フレシェの意味
Generalization of centroids to metric spaces

数学と統計学において、フレシェ平均は、点群の代表点または中心傾向を単一の代表点として与える、計量空間への重心の一般化である。モーリス・フレシェにちなんで名付けられた。ケルヒャー平均は、カルステン・グローブとヘルマン・ケルヒャーによって開発されたリーマンの質量中心構成の改名である。[1] [2]実数においては、算術平均、中央値、幾何平均、調和平均はすべて、異なる距離関数のフレシェ平均として解釈できる。

意味

( M , d )を完備計量空間とする。x 1 , x 2 , …, x NをM内の点とする。 M内の任意の点pについて、フレシェ分散をpからx iまでの距離の二乗和として定義する。

Ψ ( p ) = ∑ i = 1 N d 2 ( p , x i ) {\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{2}(p,x_{i})}

ケルヒャー平均はΨを最小化するMのm点である：[2]

m = arg min p ∈ M ⁡ ∑ i = 1 N d 2 ( p , x i ) {\displaystyle m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}d^{2}(p,x_{i})}

Ψを厳密に最小化するMの唯一のmが存在する場合、それはフレシェ平均です。

フレシェ手段の例

算術平均と中央値

実数の場合、算術平均は距離関数として 通常のユークリッド距離を使用するフレシェ平均です。

関数Ψの定義を非二次関数に一般化すれば、中央値はフレシェ平均でも ある。

Ψ ( p ) = ∑ i = 1 N d α ( p , x i ) , {\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{\alpha }(p,x_{i}),}

ここで、ユークリッド距離は距離関数dである。[3]高次元空間では、これは幾何中央値となる。 α = 1 {\displaystyle \alpha =1}

幾何平均

正の実数に対しては、（双曲型）距離関数を定義できる。幾何平均は対応するフレシェ平均である。実際、 はユークリッド空間からこの「双曲型」空間への等長変換であり、フレシェ平均を遵守しなければならない。 のフレシェ平均は、の（ユークリッド的意味での）フレシェ平均の による像であり、すなわち、次の式でなければならない。 d ( x , y ) = | log ⁡ ( x ) − log ⁡ ( y ) | {\displaystyle d(x,y)=|\log(x)-\log(y)|} f : x ↦ e x {\displaystyle f:x\mapsto e^{x}} x i {\displaystyle x_{i}} f {\displaystyle f} f − 1 ( x i ) {\displaystyle f^{-1}(x_{i})}

f ( 1 n ∑ i = 1 n f − 1 ( x i ) ) = exp ⁡ ( 1 n ∑ i = 1 n log ⁡ x i ) = x 1 ⋯ x n n {\displaystyle f\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f^{-1}(x_{i})\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}} 。

調和平均

正の実数では、距離関数は次のようになります。

d H ( x , y ) = | 1 x − 1 y | {\displaystyle d_{\operatorname {H} }(x,y)=\left|{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}\right|}

定義できる。調和平均は対応するフレシェ平均である。[要出典]

パワーとは

非ゼロの実数が与えられた場合、べき乗平均は、メトリック[要出典]を導入することによってフレシェ平均として得られる。 m {\displaystyle m}

d m ( x , y ) = | x m − y m | {\displaystyle d_{m}(x,y)=\left|x^{m}-y^{m}\right|}

f平均

可逆かつ連続な関数が与えられた場合、f平均は、次の計量法を使って得られるフレシェ平均として定義できる。[引用が必要] f {\displaystyle f}

d f ( x , y ) = | f ( x ) − f ( y ) | {\displaystyle d_{f}(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|}

これは、一般化 f 平均または準算術平均と呼ばれることもあります。

加重平均

フレシェ平均の一般的な定義（観測値の重み付けの可能性を含む）は、上記のすべての種類の平均の重み付けバージョンを導き出すために使用できます。

算術平均の場合、x iに重みw iが割り当てられます。そして、フレシェ分散とフレシェ平均は以下のように定義されます。

Ψ ( p ) = ∑ i = 1 N w i d 2 ( p , x i ) , m = arg min p ∈ M ⁡ ∑ i = 1 N w i d 2 ( p , x i ) . {\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,d^{2}(p,x_{i}),\;\;\;\;m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}w_{i}d^{2}(p,x_{i}).}

参照

参考文献

  1. ^ グローブ、カルステン; Karcher、Hermann (1973)、「C1 近接群作用を活用する方法、Math.Z. 132」、Mathematische Zeitschrift、132 (1): 11–20、doi :10.1007/BF01214029。
  2. ^ ab ニールセン、フランク; バティア、ラジェンドラ (2012)、マトリックス情報幾何学、シュプリンガー、p. 171、ISBN 9783642302329。
  3. ^ ニールセン＆バティア（2012）、136ページ。
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