フラクタル弦

フラクタル弦の例であるカントール三元集合の構築における7回の反復

通常のフラクタル文字列は、 実数直線の有界な開部分集合である。このような部分集合は、関連する長さが非増加順に書かれた連結した開区間の、最大可算な和集合として表すことができる。また、 をフラクタル文字列とも呼ぶ。例えば、はカントール集合に対応するフラクタル文字列である。フラクタル文字列は1次元の「フラクタルドラム」の類似体であり、典型的には、その集合はカントール集合のようなフラクタルに対応する境界を持つ。フラクタル文字列の発見的な考え方は、「フラクタルの周囲の空間」を用いて（1次元の）フラクタルを研究することである。集合の長さの列自体は「本質的」であることが判明している。つまり、フラクタル文字列自体（これらの長さを集合の選択に対応するものとして特定の幾何学的実現とは独立して）は、それが対応するフラクタルに関する情報を含んでいるということである。^[1]${\displaystyle \Omega}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\ell _{1},\ell _{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \Omega}$ ${\displaystyle \partial \Omega}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \Omega}$

各フラクタル列 は、幾何学的ゼータ関数、すなわちディリクレ級数に関連付けることができます。非公式には、幾何学的ゼータ関数は、その基礎となるフラクタルに関する幾何学的情報、特にその極の位置と、それらの極におけるゼータ関数の留数を保持しています。幾何学的ゼータ関数（の解析接続）のこれらの極は、フラクタル列の複素次元と呼ばれ、これらの複素次元はフラクタルの幾何学を記述する式に現れます。^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)=\sum _{j\in \mathbb {J} }\ell _{j}^{s}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

カントール集合のような、基本長さの有理数冪である削除区間から構成される集合に関連付けられたフラクタル文字列の場合、複素次元は虚軸に平行な等差数列に現れ、格子フラクタル文字列と呼ばれます（例えば、カントール集合の複素次元は であり、これは虚軸方向の等差数列です）。そうでない場合は、非格子と呼ばれます。実際、通常のフラクタル文字列がミンコフスキー測定可能であるのは、それが非格子である場合のみです。 ${\displaystyle s={\frac {\log 2+2\pi ik}{\log 3}}}$

一般化フラクタル文字列は 、何らかの に対して となるような上の局所的な正または複素測度として定義されます。ここで、正測度はに関連付けられた全変分測度です。これらの一般化フラクタル文字列では、長さに非整数倍数（その他の可能性の中でも）を与えることができ、通常のフラクタル文字列はそれぞれ、それを一般化フラクタル文字列にする測度に関連付けられます。 ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (0,+\infty )}$ ${\displaystyle |\eta |(0,x_{0})=0}$ ${\displaystyle x_{0}>0}$ ${\displaystyle |\eta |}$ ${\displaystyle \eta }$

通常のフラクタル文字列

通常のフラクタル文字列は、実数直線の有界な開部分集合です。そのような部分集合は、関連する長さが非増加順に書かれた、連結された開区間の高々可算な和集合として表すことができます。有限個の開区間で構成されることを許容し、その場合、有限個の長さで構成されます。をフラクタル 文字列と呼びます${\displaystyle \Omega}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\ell _{1},\ell _{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \Omega}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

例

中央3分の1のカントール集合は、単位区間から中央3分の1を削除し、その後、後続の区間の中央3分の1を無限に削除することによって構成されます。削除された区間は対応する長さを持ちます。帰納的に、長さのそれぞれに対応する区間が存在することを示すことができます。したがって、長さの重複度はであると言えます。カントール集合のフラクタル文字列はカントール文字列と呼ばれます。^[1]${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \Ω =\left\{\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),\left({\frac {1}{9}},{\frac {2}{9}}\right),\left({\frac {7}{9}},{\frac {8}{9}}\right),\ldots \right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ${\displaystyle 3^{-n}}$ ${\displaystyle 3^{-n}}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$

ヒューリスティック

上記の例におけるカントール集合の幾何学的情報は、通常のフラクタル文字列に含まれています。この情報から、カントール集合のボックスカウンティング次元を計算できます。このフラクタル次元の概念は複素次元の概念に一般化でき、フラクタルの幾何学における局所的な振動に関する幾何学的情報を推論するために使用できます。例えば、フラクタル文字列（カントール文字列など）の複素次元は、フラクタル文字列の -近傍の体積を表す明示的なチューブ式を書くために使用でき、非実複素次元の存在は、この展開における振動項に対応します。^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \varepsilon}$

幾何学的ゼータ関数

がにおいて幾何学的に実現されるとすると、 はにおける区間であり、すべての長さ を重複してとったものである。^[1]${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {J} }{\ell _{j}}$ ${\displaystyle \Omega}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i=1}^{\infty }I_{i}}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{\ell _{j}\}_{j\in \mathbb {J} }}$

各フラクタル弦には、ディリクレ級数として定義される幾何学的ゼータ関数を関連付けることができます。^[2]幾何学的ゼータ関数の極は、フラクタル弦の複素次元と呼ばれます。フラクタル弦の複素次元理論の一般的な考え方は、複素次元がフラクタル弦の幾何学、スペクトル、およびダイナミクス^{（曖昧な表現）}における固有の振動を記述するというものです。^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)=\sum _{j\in \mathbb {J} }\ell _{j}^{s}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

の収束の横軸はと定義される。^[2]${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$ ${\displaystyle \sigma =\inf \left\{\alpha \in \mathbb {R} :\sum _{j=1}^{\infty }\ell _{j}^{\alpha }<\infty \right\}}$

無限に多くの非零の長さを持つフラクタル弦の場合、収束の横軸は弦の境界のミンコフスキー次元と一致する。^[2]この例の場合、境界カントール弦はカントール集合そのものである。したがって、幾何学的ゼータ関数の収束の横軸はカントール集合のミンコフスキー次元であり、これは^[3]である。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$ ${\displaystyle {\frac {\log 2}{\log 3}}}$

複素次元

無限の長さの列からなるフラクタル文字列の場合、フラクタル文字列の複素次元は、フラクタル文字列に関連付けられた幾何学的ゼータ関数の解析接続の極です。（幾何学的ゼータ関数の解析接続が複素平面全体に定義されていない場合、「ウィンドウ」と呼ばれる複素平面のサブセットを取り、そのウィンドウ内に存在する「可視」複素次元を探します。^[1]）^[2]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

例

ミドルサードカントール集合に関連するフラクタル文字列の例を続け、 を計算します。^{[2] [4]}収束の横座標はを満たすの値となるように計算します。つまり、はカントール集合のミンコフスキー次元です。^[3]複素 に対して、は の無限個の解に極を持ちます。この例では、すべての整数 に対して、に極が存在します。この点の集合は、ミドルサードカントール集合の複素次元の集合と呼ばれます。^{[2] [4]}${\displaystyle \zeta _{\mathbb {C} }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n-1}}{3^{ns}}}={\frac {\frac {1}{3^{s}}}{1-{\frac {2}{3^{s}}}}}={\frac {1}{3^{s}-2}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 3^{s}=2}$ ${\displaystyle s=\log _{3}2={\frac {\log 2}{\log 3}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathbb {C} }(s)}$ ${\displaystyle 3^{s}=2}$ ${\displaystyle s={\frac {\log 2+2\pi ik}{\log 3}}}$ ${\displaystyle k}$

アプリケーション

通常のフラクタル文字列および一般化フラクタル文字列は、（1次元）フラクタルの幾何学を研究するために、また、物体の幾何学とスペクトルを関連付けるために使用することができます。例えば、フラクタル文字列に関連付けられた幾何学的ゼータ関数は、フラクタルの近傍の体積を表す明示的な管状式を書くために使用することができます。^[1]幾何学とスペクトルの関係に関して、フラクタル文字列のスペクトルゼータ関数（幾何学的ゼータ関数とリーマンゼータ関数の積）は、スペクトル計数関数を記述する明示的な式を書くために使用することができます。^[1]

フラクタル弦の枠組みは、フラクタル幾何学と数論幾何学の側面を統合する役割も果たす。例えば、フラクタル弦の長さ（逆数）を数えるための一般的な明示的公式は、適切な一般化フラクタル弦を用いてリーマンの明示的公式を証明するために用いることができる。この場合、そのフラクタル弦は素数冪に支えられており、それぞれの冪の重なりは冪の素数の底の対数で与えられる。^[1]

カントール集合のような、基本長の有理数冪である区間を削除した集合に関連付けられたフラクタル弦の場合、複素次元は虚軸に平行な等差数列に規則的に現れ、格子フラクタル弦と呼ばれる。この性質を持たない集合は非格子集合と呼ばれる。このような物体の測度の理論には二分法が存在する。通常のフラクタル弦がミンコフスキー測定可能であるのは、それが非格子集合である場合のみである。^[1]

ミシェル・ラピダスとマキエル・ファン・フランケンホイセンは、正の実部を持つ非実複素次元の存在がフラクタル物体の特徴的な特徴であると提唱した。^[1]正式には、彼らは「フラクタル性」を、正の実部を持つ少なくとも1つの非実複素次元の存在と定義することを提案している。^{[1]この新しいフラクタル性の定義は、フラクタル幾何学におけるいくつかの古い問題を解決する。例えば、}マンデルブロの意味で提案されたフラクタル性の定義によれば、カントールの悪魔の階段は、ハウスドルフ次元と位相次元が一致するためフラクタルではない。^[1]しかし、カントール階段関数は自己相似性など、フラクタルとみなされるべき多くの特徴を有しており、この新しいフラクタル性の定義では、カントール階段関数は非実複素次元を持つためフラクタルとみなされる。^[1]

一般化フラクタル文字列

一般化フラクタル文字列は、何らかの に対して となるような上の局所正測度または局所複素測度として定義される。ここで、正測度は に関連付けられた全変化測度である。^{[1] [2]}一般化フラクタル文字列では、フラクタル文字列が整数でない重複度を持つ長さの集合を持つことや、離散的ではなく連続的な長さを持つことが許される。慣例により、一般化フラクタル文字列は、（減少または非増加）長さの多重集合である通常のフラクタル文字列とは対照的に、逆数の長さに基づいてサポートされる。これを踏まえると、測度が「ゼロ付近に質量がない」という条件、より正確には、に関して区間が測度ゼロを持つような正の数が存在するという条件は、通常のフラクタル文字列の有界性の類似物と見なすことができる。 ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (0,+\infty )}$ ${\displaystyle |\eta |(0,x_{0})=0}$ ${\displaystyle x_{0}>0}$ ${\displaystyle |\eta |}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle x_{0}>0}$ ${\displaystyle (0,x_{0})}$ ${\displaystyle |\eta |}$

例えば、 が多重度 を持つ通常のフラクタル文字列である場合、に関連付けられた測度（ここで は点 に集中したディラックのデルタ測度を指す）は、一般化フラクタル文字列の例です。^[2]デルタ関数は、通常のフラクタル文字列 の長さの逆数に対応するシングルトン集合上でサポートされていることに注意してください。多重度が正の整数でない場合、 は通常のフラクタル文字列としては実現できない一般化フラクタル文字列です。このような一般化フラクタル文字列の具体的な例としては、に対する一般化カントール文字列が挙げられます。^[2]${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{l_{j}\}_{j=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle \eta _{\mathcal {L}}:=\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}\delta _{l_{j}^{-1}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \delta _{\{x\}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{\ell _{j}^{-1}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle \eta _{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \eta _{CS}:=\sum _{j=1}^{\infty }b^{j}\delta _{a^{j}}}$ ${\displaystyle 1<b<a}$

が一般化フラクタル文字列である場合、その次元は次の ようにその計数関数として定義される。${\displaystyle \eta }$ $${\displaystyle D_{\eta }:=\inf(\sigma \in \mathbb {R} :\int _{0}^{\infty }x^{-\sigma }|\eta |(dx)<\infty ),}$$

$${\displaystyle N_{\eta }(x):=\int _{0}^{x}\eta (dx)=\eta (0,x)+{\frac {1}{2}}\eta (\{x\})}$$ そしてその幾何学的ゼータ関数（そのメリン変換）は

$${\displaystyle \zeta _{\eta }(s):=\int _{0}^{\infty }x^{-s}\eta (dx).}$$ ^[2]（カウント関数はジャンプ不連続点で、非ゼロの測定値を持つ任意のシングルトンの値の半分になるように正規化されることに注意してください。）

参照

• フラクタル列

参考文献

1. ML Lapidus, M. van Frankenhuijsen, Fractal Geometry, Complex Dimensions and Zeta Functions: Geometry and Spectra of Fractal Strings, Monographs in Mathematics, Springer, New York, Second Revised and Expanded edition, 2012. doi :10.1007/978-1-4614-2176-4
2. ヘリチ、ハーフェド;ラピダス、ミシェル L. (2012-09-01)。 「フラクタル文字列のスペクトル演算子によるリーマン零点と位相遷移」。Journal of Physs A: 数学および一般。45 (37) 374005.arXiv : 1203.4828。ビブコード:2012JPhA...45K4005H。土井：10.1088/1751-8113/45/37/374005。ISSN  0305-4470。S2CID  55352853。
3. Falconer, KJ (2003).フラクタル幾何学：数学的基礎と応用（第2版）. チチェスター: Wiley. ISBN 0-470-87135-0 OCLC  53970546
4. ラドゥノヴィッチ、ゴラン（2019年6月28日）。複素次元とフラクタルゼータ関数の理論の概要（PDF）。ドゥブロヴニク IX - トポロジー＆ダイナミカルシステム 2019